2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法高效演練 新人教A版選修4-5.doc

4.1 數(shù)學(xué)歸納法A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：123(2n1)(n1)(2n1)時，在驗證n1成立時，左邊所得的代數(shù)式為()A1B13C123 D1234解析：當(dāng)n1時左邊所得的代數(shù)式為123.答案：C2設(shè)f(n)1(nN*)，則f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因為f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).答案：D3已知a1，an1，猜想an等于()A. B.C. D.解析：a2，a3，a4，猜想an.答案：D4一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立推得當(dāng)nk2時命題也成立，則()A該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取什么值無關(guān)D以上答案都不對解析：由題意當(dāng)n2時成立可推得n4，6，8，都成立，因此該命題對所有正偶數(shù)都成立答案：B5記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸(k1)邊形的內(nèi)角和f(k1)等于f(k)加上()A2 BC. D.解析：從nk到nk1時，內(nèi)角和增加.答案：B二、填空題6當(dāng)f(k)1，則f(k1)f(k)_解析：f(k1)1，所以f(k1)f(k).答案：7觀察下列等式：132332，13233362，13233343102，根據(jù)上述規(guī)律，猜想132333435363_解析：已知等式可寫為：132332(12)2，13233362(123)2，13233343102(1234)2，根據(jù)上述規(guī)律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128已知平面上有n(nN*，n3)個點，其中任何三點都不共線，過這些點中任意兩點作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：當(dāng)nk時，有f(k)條直線當(dāng)nk1時，增加的第k1個點與原k個點共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k1)f(k)k.又f(2)1，所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3610n三、解答題9求證：1(nN*)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即1.則當(dāng)nk1時，1.所以當(dāng)nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，對任何nN*等式都成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明n35n能被6整除證明：(1)當(dāng)n1時，左邊13516，能被6整除，結(jié)論正確(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論正確，即k35k能被6整除則(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因為k35k能被6整除，(k1)(k2)必為偶數(shù)，3(k1)(k2)能被6整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被6整除即當(dāng)nk1時結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，n35n對于任何nN都能被6整除B級能力提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)時，從“nk到nk1”左端需乘以的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：當(dāng)nk時，等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)當(dāng)nk1時，左邊(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比較nk和nk1時等式的左邊，可知左端需乘以2(2k1)答案：B2用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被14整除，當(dāng)nk1時，對于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_解析：34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：81(34k152k1)5652k13平面內(nèi)有n(n2，nN*)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點，那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論解：當(dāng)n2時，f(2)1；當(dāng)n3時，f(3)3；當(dāng)n4時，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN*)下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n2時，兩條相交直線有一個交點，又f(2)2(21)1.所以n2時，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN*)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)k(k1)，當(dāng)nk1時，其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線之間的交點個數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點共有k個，所以f(k1)f(k)kk，所以當(dāng)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，命題對一切nN*且n2時成立