新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第9章學(xué)案45
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第九章解析幾何學(xué)案45直線與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式,了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系自主梳理1直線的傾斜角與斜率(1)在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按_方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的_稱為這條直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為_(2)傾斜角的范圍為_(3)傾斜角與斜率的關(guān)系:90°時(shí),k_,傾斜角是90°的直線斜率_(4)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1x2)的直線的斜率公式為k_.2直線方程的五種基本形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含直線xx0斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用自我檢測1若A(2,3),B(3,2),C三點(diǎn)共線,則m的值為_2直線l與兩條直線xy70,y1分別交于P、Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為(1,1),則直線l的斜率為_3下列四個(gè)命題中,假命題是_(填序號)經(jīng)過定點(diǎn)P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示;經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)來表示;與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程1表示;經(jīng)過點(diǎn)Q(0,b)的直線都可以表示為ykxb.4如果A·C<0,且B·C<0,那么直線AxByC0不通過第_象限5已知直線l的方向向量與向量a(1,2)垂直,且直線l過點(diǎn)A(1,1),則直線l的方程為_探究點(diǎn)一傾斜角與斜率例1已知兩點(diǎn)A(1,5)、B(3,2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半,求l的斜率變式遷移1直線xsin y10的傾斜角的變化范圍是_探究點(diǎn)二直線的方程例2過點(diǎn)M(0,1)作直線,使它被兩直線l1:x3y100,l2:2xy80所截得的線段恰好被M所平分,求此直線方程變式遷移2求適合下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等;(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍探究點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用例3過點(diǎn)P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn),求使:(1)AOB面積最小時(shí)l的方程;(2)PA·PB最小時(shí)l的方程變式遷移3為了綠化城市,擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖),另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用,經(jīng)測量AB100 m,BC80 m,AE30 m,AF20 m,應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大?數(shù)形結(jié)合思想例(14分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足yx22x2(1x1)試求的最大值與最小值【答題模板】解由的幾何意義可知,它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(2,3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x,y)的直線的斜率k,4分由圖可知:kPAkkPB,由已知可得:A(1,1),B(1,5),k8,10分故的最大值為8,最小值為.14分【突破思維障礙】解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合,將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題,簡化了運(yùn)算過程,收到事半功倍的效果1要正確理解傾斜角的定義,明確傾斜角的范圍為0°<180°,熟記斜率公式k,該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1x2),根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率,而x1x2,y1y2時(shí),直線斜率不存在,此時(shí)直線的傾斜角為90°.2當(dāng)直線沒有斜率(x1x2)或斜率為0(y1y2)時(shí),不能用兩點(diǎn)式求直線方程,但都可以寫成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都可以化成一般式,但是有些直線的一般式方程不能化成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式或截距式3使用直線方程時(shí),一定要注意限制條件以免解題過程中丟解,如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率,截距式的使用條件是截距存在且不為零,兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1,m2) (mR)兩點(diǎn),那么直線l的傾斜角的取值范圍是_2若直線l:ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是_3點(diǎn)P(x,y)在經(jīng)過A(3,0),B(1,1)兩點(diǎn)的直線上,那么2x4y的最小值是_4(2011·淮安期末)點(diǎn)A(ab,ab)在第一象限內(nèi),則直線bxayab0一定不經(jīng)過第_象限5經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為_6過兩點(diǎn)A(m22,m23),B(3mm2,2m)的直線l的傾斜角為45°,則m_.7過點(diǎn)P(1,2),且方向向量為a(1,2)的直線方程為_8設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且PAPB,若直線PA的方程為xy10,則直線PB的方程是_二、解答題(共42分)9(14分)已知兩點(diǎn)A(1,2),B(m,3),求:(1)直線AB的斜率k;(2)求直線AB的方程;(3)已知實(shí)數(shù)m,求直線AB的傾斜角的范圍10(14分)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1)、(2,2),若直線l:xmym0與線段PQ有交點(diǎn),求m的范圍11(14分)已知直線l:kxy12k0 (kR)(1)證明:直線l過定點(diǎn);(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,AOB的面積為S,求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程學(xué)案45直線與方程答案自主梳理1(1)逆時(shí)針最小正角0°(2)0°<180°(3)tan 不存在(4)2.yy0k(xx0)ykxb1AxByC0(A、B不全為0)自我檢測1.2.3.4.三5.x2y30課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系,本題需要挖掘隱含條件,判斷角的范圍關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型解設(shè)直線l的傾斜角為,則直線AB的傾斜角為2,由題意可知:tan 2,.整理得3tan28tan 30.解得tan 或tan 3,tan 2>0,0°<2<90°,0°<<45°,tan >0,故直線l的斜率為.變式遷移1解析直線xsin y10的斜率是ksin ,又1sin 1,1k1.當(dāng)0k1時(shí),傾斜角的范圍是,當(dāng)1k<0時(shí),傾斜角的范圍是.例2解題導(dǎo)引(1)對直線問題,要特別注意斜率不存在的情況(2)求直線方程常用方法待定系數(shù)法待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程,然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)解方法一過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸,它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是和(0,8),顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件故可設(shè)所求直線方程為ykx1,與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn),聯(lián)立方程組由解得xA,由解得xB.點(diǎn)M平分線段AB,xAxB2xM,即0,解得k.故所求直線方程為x4y40.方法二設(shè)所求直線與已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)B在直線l2:2xy80上,故可設(shè)B(t,82t)又M(0,1)是AB的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得A(t,2t6)A點(diǎn)在直線l1:x3y100上,(t)3(2t6)100,解得t4.B(4,0),A(4,2),故所求直線方程為x4y40.變式遷移2解(1)方法一設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a0,即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2),l的方程為yx,即2x3y0.若a0,則設(shè)l的方程為1,l過點(diǎn)(3,2),1,a5,l的方程為xy50,綜上可知,直線l的方程為2x3y0或xy50.方法二由題意知,所求直線的斜率k存在且k0,設(shè)直線方程為y2k(x3),令y0,得x3,令x0,得y23k,由已知323k,解得k1或k,直線l的方程為:y2(x3)或y2(x3),即xy50或2x3y0.(2)由已知:設(shè)直線y3x的傾斜角為,則所求直線的傾斜角為2.tan 3,tan 2.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),因此所求直線方程為y3(x1),即3x4y150.例3解題導(dǎo)引先設(shè)出A、B所在的直線方程,再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),表示出ABO的面積,然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值確定直線方程可分為兩個(gè)類型:一是根據(jù)題目條件確定點(diǎn)和斜率或確定兩點(diǎn),進(jìn)而套用直線方程的幾種形式,寫出方程,此法稱直接法;二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì),先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù)),再確定參數(shù)值,然后寫出方程,這種方法稱為間接法解設(shè)直線的方程為1 (a>2,b>1),由已知可得1.(1)2 1,ab8.SAOBab4.當(dāng)且僅當(dāng),即a4,b2時(shí),SAOB取最小值4,此時(shí)直線l的方程為1,即x2y40.(2)由1,得aba2b0,變形得(a2)(b1)2,PA·PB·.當(dāng)且僅當(dāng)a21,b12,即a3,b3時(shí),PA·PB取最小值4.此時(shí)直線l的方程為xy30.變式遷移3解如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則E(30,0),F(xiàn)(0,20),線段EF的方程為1(0x30)在線段EF上取點(diǎn)P(m,n),作PQBC于點(diǎn)Q,PRCD于點(diǎn)R,設(shè)矩形PQCR的面積為S,則SPQ·PR(100m)(80n)又1(0m30),n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)當(dāng)m5時(shí),S有最大值,這時(shí)5.所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上,一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上,且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成51時(shí),草坪面積最大課后練習(xí)區(qū)1.2.3.44三解析由已知得即a>0,b>0.由bxayab0知yxb.該直線的斜率k<0且在y軸上的截距b>0,故該直線一定不經(jīng)過第三象限52xy30或x2y0解析當(dāng)截距不等于零時(shí),設(shè)l的方程1,點(diǎn)P在l上,1,則a.l的方程為2xy3.當(dāng)截距等于零時(shí),設(shè)l的方程為ykx,又點(diǎn)P在l上,k.x2y0.綜上,所求直線l的方程為2xy3或x2y0.62解析由題意得:1,解得:m2或m1.又m223mm2,m1且m,m2.72xy0解析由已知方向向量得直線斜率k2,由點(diǎn)斜式方程得2xy0.8xy50解析易知A(1,0),PAPB,P在AB的中垂線即x2上B(5,0)PA、PB關(guān)于直線x2對稱,kPB1.lPBy0(x5)xy50.9解(1)當(dāng)m1時(shí),直線AB的斜率不存在;(1分)當(dāng)m1時(shí),k.(3分)(2)當(dāng)m1時(shí),AB的方程為x1,(5分)當(dāng)m1時(shí),AB的方程為y2(x1),即y.(7分)直線AB的方程為x1或y.(8分)(3)當(dāng)m1時(shí),;(10分)當(dāng)m1時(shí),k(,.(13分)綜合,知直線AB的傾斜角.(14分)10.解方法一直線xmym0恒過A(0,1)點(diǎn)(4分)kAP2,kAQ,(8分)則或2,m且m0.(12分)又m0時(shí)直線xmym0與線段PQ有交點(diǎn),(13分)所求m的范圍是m.(14分)方法二過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y1(x1)(5分)即yx,代入xmym0,整理得:x,由已知12,(12分)解得:m.(14分)11(1)證明直線l的方程是:k(x2)(1y)0,令,解之得,無論k取何值,直線總經(jīng)過定點(diǎn)(2,1)(4分)(2)解由方程知,當(dāng)k0時(shí)直線在x軸上的截距為,在y軸上的截距為12k,要使直線不經(jīng)過第四象限,則必須有,解之得k>0;(7分)當(dāng)k0時(shí),直線為y1,符合題意,故k0.(9分)(3)解由l的方程,得A,B(0,12k)依題意得解得k>0.(11分)S·OA·OB··|12k|·×(2×24)4,“”成立的條件是k>0且4k,即k,Smin4,此時(shí)l:x2y40.(14分)