2019-2020年高一數(shù)學教案：3.5.1 對數(shù)函數(shù)的概念（北師大版必修1）.doc

2019-2020年高一數(shù)學教案：3.5.1 對數(shù)函數(shù)的概念（北師大版必修1）真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號，要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于等于零， 底數(shù)則要大于0且不為1 對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？ 【在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根據(jù)定義運算公式：loga Mn = nloga M 如果a<0，那么這個等式兩邊就不會成立 （比如，log(-2) 4(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一個等于4，另一個等于-4）】 通常我們將以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)（mon logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學技術中常使用以無理數(shù)e=2.71828為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)（natural logarithm),并且把loge N 記為In N. 根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系： 當a 0，a 1時，ax=NX=logaN。 由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的這個關系，可以得到關于對數(shù)的如下結論： 負數(shù)和零沒有對數(shù) loga 1=0 loga a=1(a為常數(shù)) 編輯本段對數(shù)的定義和運算性質(zhì)一般地，如果a（a>0，且a1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log(a)（N）=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。 底數(shù)則要>0且1 真數(shù)>0 對數(shù)的運算性質(zhì)當a>0且a1時，M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） (4)log(an)(M)=1/nlog(a)(M)(nR) （5）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b1） (6)a(log(b)n)=n(log(b)a) 證明： 設a=nx則a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (7)對數(shù)恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b （8）由冪的對數(shù)的運算性質(zhì)可得(推導公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n次根號下的a 為底)(以 n次根號下的M 為真數(shù))=log(a)M , log(以 n次根號下的a 為底)(以 m次根號下的M 為真數(shù))=(n/m)log(a)M 5.log(a)blog(b)clog(c)a=1 對數(shù)與指數(shù)之間的關系當a>0且a1時，ax=N x=(a)N 編輯本段對數(shù)函數(shù)右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。 （1） 對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。 （2） 對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。 （3） 函數(shù)圖像總是通過（1，0）點。 （4） a大于1時，為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸；a大于0小于1時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。X k b 1 . c o m（5） 顯然對數(shù)函數(shù)無界。 對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)： 如果a0，且a不等于1,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n屬于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 對數(shù)與指數(shù)之間的關系 當a大于0,a不等于1時，a的X次方=N等價于log(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 換底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然對數(shù) 以e為底 e為無限不循環(huán)小數(shù)(約為2.718281828454590) lg 常用對數(shù) 以10為底 編輯本段常用簡略表達方式（1）常用對數(shù)：lg(b)=log(10)(b) （2）自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590.通常情況下只取e=2.71828對數(shù)函數(shù)的定義 對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=(a)x，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a>0且a1），同樣適用于對數(shù)函數(shù)。 右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。 編輯本段性質(zhì)w w w .x k b 1.c o m定義域求解：對數(shù)函數(shù)y=loga x 的定義域是x x>0，但如果遇到對數(shù)型復合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意真數(shù)大于0以外，還應注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域，需滿足x>0且x1 。 2x-1>0 ，x>1/2且x1，即其定義域為 x x>1/2且x1值域：實數(shù)集R 定點：函數(shù)圖像恒過定點（1，0）。 單調(diào)性：a>1時，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸 0<a<1時，在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。 奇偶性：非奇非偶函數(shù)，或者稱沒有奇偶性。 周期性：不是周期函數(shù) 零點：x=1 注意：負數(shù)和0沒有對數(shù)。 兩句經(jīng)典話：底真同對數(shù)正新課標第一網(wǎng)底真異對數(shù)負 指數(shù)函數(shù)的求導: e的定義：e=lim(x)(1+1/x)x=2.718281828.設a>0,a!=1-(log a(x)=lim(x)(log a(x+x)-log a(x)/x)=lim(x)(1/x*x/x*log a(x+x)/x)=lim(x)(1/x*log a(1+x/x)(x/x)=1/x*lim(x)(log a(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(lim(x0)(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(e)特殊地，當a=e時，(log a(x)=(ln x)=1/x。-設y=ax兩邊取對數(shù)ln y=xln a兩邊對求x導y/y=ln ay=yln a=axln a特殊地，當a=e時，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。