新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第8章學(xué)案41

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案41空間的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題自主梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也_這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)_直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_垂直于同一直線的兩個(gè)平面_2直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的_所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角一條直線垂直于平面，說(shuō)它們所成的角為_(kāi)；直線l或l，說(shuō)它們所成的角是_角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面4二面角的平面角以二面角的棱上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作_棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角自我檢測(cè)1(2010·浙江改編)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是_(填序號(hào))若lm，m，則l；若l，lm，則m；若l，m，則lm；若l，m，則lm.2對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l，直線m，使得lm；存在異面直線l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定與平行的條件有_個(gè)3(2009·四川卷改編)如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_PBAD；平面PAB平面PBC；直線BC平面PAE；直線PD與平面ABC所成的角為45°.4如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)5(2011·大綱全國(guó)，16)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)探究點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)例1RtABC所在平面外一點(diǎn)S，且SASBSC，D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC.求證：BD平面SAC.變式遷移1四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD.已知ABC45°，SASB.證明：SABC.探究點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.變式遷移2(2011·江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.探究點(diǎn)三直線與平面、平面與平面所成的角例3(2009·湖北)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(0<2)(1)求證：對(duì)任意的(0,2，都有ACBE；(2)設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若tan tan 1，求的值變式遷移3(2009·北京)如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60°，BCA90°，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求證：BC 平面PAC.(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在點(diǎn)E使得二面角ADEP為直二面角？并說(shuō)明理由轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)已知四棱錐PABCD，底面ABCD是A60°的菱形，又PD底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明：DN平面PMB；(2)證明：平面PMB平面PAD.【答題模板】證明(1)取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，所以QNBCMD，且QNMD，故四邊形QNDM是平行四邊形，于是DNMQ.4分又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面PMB.7分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.9分又因?yàn)榈酌鍭BCD是A60°的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.14分【突破思維障礙】1立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖2在解決線面、面面平行或垂直的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線”到“線面”，再到“面面”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”1證明線面垂直的方法：(1)定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質(zhì)：，aa；(5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(4)線面垂直的性質(zhì)：a，bab.3證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a. (滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·揚(yáng)州月考)已知直線a，b和平面，且a，b，那么是ab的_條件2已知兩個(gè)不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若m，mn，n，則；若m，n，則mn.其中正確命題是_(填序號(hào))3設(shè)直線m與平面相交但不垂直，給出以下說(shuō)法：在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直；過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直；與直線m垂直的直線不可能與平面平行；與直線m平行的平面不可能與平面垂直其中錯(cuò)誤的是_4(2009·江蘇)設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行，則l和平行；設(shè)和相交于直線l，若內(nèi)有一條直線垂直于l，則和垂直；直線l與垂直的充分必要條件是l與內(nèi)的兩條直線垂直上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))5如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_(kāi)6(2011·福建)三棱錐PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積為_(kāi)7如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)是1，過(guò)A點(diǎn)作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下列三個(gè)命題：點(diǎn)H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號(hào)是_8正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PEAC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)二、解答題(共42分)9(12分)(2011·安徽)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF；(2)求棱錐FOBED的體積10(14分)(2009·天津)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E為PC的中點(diǎn)，ADCD1，DB2.(1)證明PA平面BDE；(2)證明AC平面PBD；(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值11(16分) 如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明平面MBD平面PAD.(2)求四棱錐PABCD的體積學(xué)案41空間的垂直關(guān)系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角0°3.(1)一條垂線(2)交線4.垂直于自我檢測(cè)12.23.4.DMPC(或BMPC等)5.解析方法一如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)面ABC的法向量為n1(0,0,1)，面AEF的法向量為n2(x，y，z)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(xiàn)(0,1，)，(0,1，)，(1,0，)，則取x1，則y1，z3.故n2(1，1,3)，cosn1，n2，面AEF與面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，tan .方法二如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則由題意知CF2，BE1，分別延長(zhǎng)FE、CB交于點(diǎn)M，連結(jié)AM，作BNAM于點(diǎn)N，連結(jié)EN.EB平面ABM，AM平面ABM，EBAM.又BNAM，EBBNB，AM平面BEN，AMEN.BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角BECF，即，MB3，AM3.由AM·BNBM·AB得BN.又EB平面ABM，EBBN，tanBNE.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引線面垂直的判定方法是：證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即從“線線垂直”到“線面垂直”證明(1)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，在RtABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB為等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D為AC的中點(diǎn)，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而B(niǎo)D面ABC，SDBD.又SDACD，BD平面SAC.變式遷移1證明作SOBC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因?yàn)镾ASB，所以AOBO.又ABC45°，故AOB為等腰直角三角形，且AOBO，又SOBC，SOAOO，BC面SAO.又SA面SAO，SABC.例2解題導(dǎo)引證明面面垂直，可先證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行證明如圖所示，連結(jié)AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點(diǎn)，O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)由棱柱的性質(zhì)知：A1O1OC，且A1O1OC，四邊形A1OCO1為平行四邊形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.變式遷移2證明(1)如圖，在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)連結(jié)BD.因?yàn)锳BAD，BAD60°，所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.例3解題導(dǎo)引高考中對(duì)直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一有時(shí)在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)認(rèn)(指)求(1)證明如圖所示，連結(jié)BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE.(2)解如圖所示，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD.又SDADD，CD平面SAD.過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DFAE于F，連結(jié)CF，則CFAE，故CFD是二面角CAED的平面角，即CFD.在RtBDE中，BD2a，DEa，tan .在RtADE中，ADaCD，DEa，AEa，從而DF.在RtCDF中，tan ，由tan ·tan 1，得·1222.由(0,2，解得.變式遷移3(1)證明PA底面ABC，PABC.又BCA90°，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解D為PB的中點(diǎn)，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP為等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60°，BCAB.在RtADE中，sinDAE.AD與平面PAC所成角的正弦值為.(3)解DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90°.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC.這時(shí)，AEP90°，故存在點(diǎn)E使得二面角ADEP是直二面角課后練習(xí)區(qū)1充要2.3.4.5.6.解析PA底面ABC，PA為三棱錐PABC的高，且PA3.底面ABC為正三角形且邊長(zhǎng)為2，底面面積為×22×sin 60°，VPABC××3.78.9.(1)證明方法一(綜合法)如圖所示，設(shè)G是線段DA延長(zhǎng)線與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)由于OAB與ODE都是正三角形，且OD2，所以O(shè)B綊DE，(3分)OGOD2.(5分)同理，設(shè)G是線段DA延長(zhǎng)線與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OC綊DF，OGOD2.又由于G和G都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G重合(10分)在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.(12分)方法二(向量法)過(guò)點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，從而FQQE，F(xiàn)QDQ.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(4分)由條件知E(，0,0)，F(xiàn)(0,0，)，B(，0)，C(0，)，則(，0，)，(，0，)所以2，即BCEF.(7分)(2)由OB1，OE2，EOB60°，知SOBE，而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故SOED.所以S四邊形OBEDSOBESOED.(10分)過(guò)點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQ·S四邊形OBED.(12分)10(1)證明設(shè)ACBDH，連結(jié)EH.在ADC中，因?yàn)锳DCD，且DB平分ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又由題設(shè)，知E為PC的中點(diǎn)，故EHPA.又EH平面BDE，且PA平面BDE，所以PA平面BDE.(4分)(2)證明因?yàn)镻D平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDBD，故AC平面PBD.(8分)(3)解由AC平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以CBH為直線BC與平面PBD所成的角由ADCD，ADCD1，DB2，可得DHCH，BH.在RtBHC中，tanCBH.所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為.(14分)11(1)證明在ABD中，由于AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB2.故ADBD.(2分)又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD.(6分)(2)解過(guò)點(diǎn)P作POAD交AD于點(diǎn)O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因此PO為四棱錐PABCD的高又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，因此PO×42.(10分)在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB上的高為，此即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為S×24.故VPABCD×24×216.(16分)