新編人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【選修41】幾何證明選講

選修41幾何證明選講A第1講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)最新考綱了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理知 識(shí) 梳 理1平行截割定理(1)平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例2相似三角形的判定與性質(zhì)(1)相似三角形的判定定理兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(2)相似三角形的性質(zhì)定理相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)如圖，在RtABC中，CD是斜邊上的高，則有CD2AD·BD，AC2AD·AB，BC2BD·AB. 診 斷 自 測(cè)1. 如圖，已知abc，直線m，n分別與a，b，c交于點(diǎn)A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，則BC_.解析由平行線等分線段定理可直接得到答案答案2.如圖，ABCAFE，EF8，且ABC與AFE的相似比是32，則BC等于_解析ABCAFE，.又EF8，BC12.答案123. (20xx·揭陽模擬)如圖，BDAE，C90°，AB4，BC2，AD3，則EC_.解析在RtADB中，DB，依題意得，ADBACE，可得EC2.答案24.如圖，C90°，A30°，E是AB中點(diǎn)，DEAB于E，則ADE與ABC的相似比是_解析E為AB中點(diǎn)，即AEAB，在RtABC中，A30°，ACAB，又RtAEDRtACB，相似比為.故ADE與ABC的相似比為1.答案15. (20xx·湛江模擬)如圖，在ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交于BC于F，則_.解析如圖，過點(diǎn)D作DGAF，交BC于點(diǎn)G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF為BDG的中位線，故BFFG，因此.答案考點(diǎn)一平行截割定理的應(yīng)用【例1】 如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長(zhǎng)為_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案規(guī)律方法 利用平行截割定理解決問題，特別注意被平行線所截的直線，找準(zhǔn)成比例的線段，得到相應(yīng)的比例式，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危瑥亩玫阶罱K的結(jié)果【訓(xùn)練1】 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_解析如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于一點(diǎn)O，作OHAB于點(diǎn)H.，得x2h1，得h1h2. S梯形ABFE×(34)×h2h2， S梯形EFCD×(23)×h1h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案75考點(diǎn)二相似三角形的判定及性質(zhì)【例2】 如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB，E為AC的中點(diǎn)，ED、CB延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)F.求證：FD2FB·FC.證明E是RtACD斜邊中點(diǎn)，EDEA，A1，12，2A，F(xiàn)DCCDB290°2，F(xiàn)BDACBA90°A，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)是公共角，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)D2FB·FC.規(guī)律方法 判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊證明線段乘積相等的問題一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)線段成比例問題(2)相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等【訓(xùn)練2】 (20xx·陜西卷)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知AC，PD2DA2，則PE_.解析PEBC，CPED，又CA，則有APED，又為公共角，所以PDEPEA，即PE2PD·PA2×36，故PE. 答案考點(diǎn)三直角三角形射影定理及其應(yīng)用【例3】 如圖所示，AD、BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，直線FD交BE于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于H，求證：DF2GF·HF.證明HBAC90°，GBFBAC90°，HGBF.AFHGFB90°，AFHGFB.，AF·BFGF·HF.因?yàn)樵赗tABD中，F(xiàn)DAB，DF2AF·BF，所以DF2GF·HF.規(guī)律方法 (1)在使用直角三角形射影定理時(shí)，要注意將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”(2)證題時(shí)，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解決直角三角形問題時(shí)常用的方法【訓(xùn)練3】 如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D， AD4，sinACD，則CD_，BC_.解析在RtADC中，AD4，sinACD，得AC5，CD3，又由射影定理AC2AD·AB，得AB.BDABAD4，由射影定理BC2BD·AB×，BC.答案3三角形相似與圓的交匯問題【典例】 如圖所示，O和O相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E，證明：(1)AC·BDAD·AB；(2)ACAE.審題視點(diǎn) (1)根據(jù)待證等式可將各邊回歸到ACB，DAB中，再證兩三角形相似；(2)本問可先證明EADABD，再結(jié)合第(1)問結(jié)論得證證明(1)由AC與O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.從而，即AC·BDAD·AB.(2)由AD與O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.從而，即AE·BDAD·AB.綜合(1)的結(jié)論知，ACAE.反思感悟1.易失分點(diǎn)：(1)證明本題第(2)問時(shí)，想不到證明EADABD，從而無法解答(2)證明本題第(2)問時(shí)，沒有應(yīng)用第(1)問的結(jié)論從而無法證明結(jié)論成立2防范措施：(1)證明等積式成立，應(yīng)先把它寫成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似，若不相似，則進(jìn)行線段替換或等比替換(2)在有多個(gè)結(jié)論的題目中，如果結(jié)論帶有普遍性，已經(jīng)證明的結(jié)論，可作為證明下一個(gè)結(jié)論成立的條件使用【自主體驗(yàn)】(20xx·江蘇卷)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD證明連接OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以ADOACB90°.又因?yàn)锳A，所以RtADO RtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.一、填空題1如圖，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有與ACE相似的三角形為_解析由RtACE與RtFCD和RtABD各共一個(gè)銳角，因而它們均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD2.(20xx·西安模擬)如圖，在ABC中，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，AN，CM交于點(diǎn)O，那么MON與AOC面積的比是_解析M，N分別是AB、BC中點(diǎn)，故MN綉AC，MONCOA，2.答案143.(20xx·渭南模擬)如圖，BD，AEBC，ACD90°，且AB6，AC4，AD12，則AE_.解析由于ACDAEB90°，BD，ABEADC，.又AC4，AD12，AB6，AE2.答案24.(20xx·佛山質(zhì)檢)如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF_.解析連接DE和BD，依題知，EBDC，EBDC，CBAB，EBCD為矩形，DEAB，又E是AB的中點(diǎn)，所以ABD為等腰三角形故ADDBa，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，EFDBa.答案5已知圓的直徑AB13，C為圓上一點(diǎn)，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，則AD_.解析如圖，連接AC，CB，AB是O的直徑，ACB90°.設(shè)ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2AD·DB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案96(20xx·廣東卷)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_.解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60°.因?yàn)锽EAC，AB，所以AE，在EAD中，EAD30°，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AE·AD·cosEAD92××3×，故ED.答案7.(20xx·茂名模擬)如圖，已知ABEFCD，若AB4，CD12，則EF_.解析ABCDEF，4(BCBF)12BF，BC4BF，4，EF3.答案38.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于O，過O的直線分別交AB、CD于E、F，且EFBC，若AD12，BC20，則EF_.解析EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF2××2015.答案159(20xx·廣東卷)如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足ABC30°，過點(diǎn)A做圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA_.解析連接AO，AC，因?yàn)锳BC30°，所以CAP30°，AOC60°，AOC為等邊三角形，則ACP120°，APC30°，ACP為等腰三角形，且ACCP1，PA2×1×sin 60°.答案二、解答題10.如圖，已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：(1)ACEBCD；(2)BC2BE·CD.證明(1)因?yàn)椋訟BCBCD.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因?yàn)镋CBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BE·CD.11(20xx·遼寧卷)如圖，AB為O的直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.證明(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.同理可證RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.12.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，過點(diǎn)D作AC的平行線DE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：(1)ABCDCB；(2)DE·DCAE·BD.證明(1)四邊形ABCD是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB.ACBDBC，ABCDCB.ADBC，DACACB，EADABC.DACDBC，EADDCB.EDAC，EDADAC.EDADBC，ADECBD.DEBDAECD.DE·DCAE·BD.第2講直線與圓最新考綱1理解圓周角定理及其推論；掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論2掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.知 識(shí) 梳 理1圓周角定理與圓心角定理(1)圓周角定理及其推論定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半推論：(i)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(ii)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)2弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角3圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑(2)推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心4與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB、CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PA·PBPC·PD(2)ACPBDP(1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一(2)求弦長(zhǎng)及角割線定理PAB、PCD是O的割線(1)PA·PBPC·PD(2)PACPDB(1)求線段PA、PB、PC、PD(2)應(yīng)用相似求AC、BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PB·PC(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切線長(zhǎng)定理PA、PB是O的切線(1)PAPB(2)OPAOPB(1)證線段相等，已知PA求PB(2)求角5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角(2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓診 斷 自 測(cè)1.如圖，ABC中，C90°，AB10，AC6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)為_解析連接CP.由推論2知CPA90°，即CPAB，由射影定理知，AC2AP·AB.AP3.6，BPABAP6.4.答案6.42.如圖，AB、AC是O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點(diǎn)，已知BAC80°， 那么BDC_.解析連接OB、OC，則OBAB，OCAC，BOC180°BAC100°，BDCBOC50°.答案50°3.如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交 于點(diǎn)P.若PB1，PD3，則的值為_解析ABCD為圓內(nèi)接四邊形，PBCADP，又PP，BCPDAP，.答案4. (20xx·廣州調(diào)研)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BC是直徑，MN與O相切，切點(diǎn)為A，MAB35°，則D_.解析連接BD，由題意知，ADBMAB35°，BDC90°，故ADCADBBDC125°.答案125°5如圖所示，過點(diǎn)P的直線與O相交于A，B兩點(diǎn)若PA1，AB2，PO3，則O的半徑r_.解析設(shè)O的半徑為r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延長(zhǎng)PO交O于點(diǎn)C，則PCPOr3r.設(shè)PO交O于點(diǎn)D，則PD3r.由圓的割線定理知，PA·PBPD·PC，1×3(3r)(3r)，則r.答案考點(diǎn)一圓周角、弦切角及圓的切線問題【例1】 如圖所示，O的直徑為6，AB為O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E.(1)求DAC的度數(shù)；(2)求線段AE的長(zhǎng)解(1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30°，由于直線l與O相切，由弦切角定理知BCF30°，由DCAACBBCF180°，又ACB90°，知DCA60°，故在RtADC中，DAC30°.(1)(2)法一連接BE，如圖(1)所示，EAB60°CBA，則RtABERtBAC，所以AEBC3.法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，DCECAE30°，又DCA60°，故ECA30°，(2)又因?yàn)镃AB30°，故ECACAB，從而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因?yàn)镺AOC，故四邊形AOCE是菱形，故AEAO3.規(guī)律方法 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小(2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【訓(xùn)練1】 如圖，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SAD·AE，求BAC的大小(1)證明由已知條件，可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACD是同弧所對(duì)的圓周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)解因?yàn)锳BEADC，所以，即AB·ACAD·AE又SAB·ACsinBAC，且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，則sinBAC1.又BAC為ABC的內(nèi)角，所以BAC90°.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的比例線段【例2】 如圖，PA切O于點(diǎn)A，割線PBC交O于點(diǎn)B，C，APC的角平分線分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，求證：(1)ADAE；(2)AD2DB·EC.證明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分線，故EPCAPD.又PA是O的切線，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切線，PBC是割線PA2PB·PC.故，又ADAE，故AD2DB·EC.規(guī)律方法 涉及與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理【訓(xùn)練2】 (20xx·天津卷)如圖，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長(zhǎng)為_解析由切割線定理得AE2EB·ED，解得EB4.因?yàn)锳BAC，所以ABCACBADB.由弦切角定理得EABEDA，所以EABABC，則AEBC，因?yàn)锳CBD，所以四邊形AEBC是平行四邊形所以AEBC6，ACEB4，又由題意可得CAFCBA，所以，CF.答案考點(diǎn)三圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用【例3】 (20xx·銀川一中月考)如圖，已知AP是O的切線，P為切點(diǎn)，AC是O的割線，與O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)(1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓；(2)求OAMAPM的大小(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P與O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)PAP.因?yàn)镸是O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC，于是OPAOMA180°.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，所以O(shè)AMOPM，由(1)得OPAP，因?yàn)閳A心O在PAC的內(nèi)部，所以O(shè)PMAPM90°，所以O(shè)AMAPM90°.規(guī)律方法 (1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓【訓(xùn)練3】 如圖，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點(diǎn)H，ABC60°，F(xiàn)在AC上，且AEAF.求證：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓；(2)CE平分DEF.證明(1)在ABC中，ABC60°，BACBCA120°.AD，CE分別是ABC的角平分線，HACHCA60°，AHC120°.EHDAHC120°.EBDEHD180°.B，D，H，E四點(diǎn)共圓(2)連接BH，則BH為ABC的平分線，EBHHBD30°.由(1)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，CEDHBD30°，HDEEBH30°.HEDHDE30°.AEAF，AD平分BAC，EFAD.又EHAHDECED60°，CEF30°.CE平分DEF.關(guān)于圓的綜合應(yīng)用【典例】 如圖所示，已知O1和O2相交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作O1的切線交O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交O1，O2于點(diǎn)D，E，DE與AC相交于點(diǎn)P.(1)求證：ADEC；(2)若AD是O2的切線，且PA6，PC2，BD9，求AD的長(zhǎng)審題視點(diǎn)(1)連接AB，在O1中使用弦切角定理，在O2中使用圓周角定理，即可證明DE；(2)根據(jù)切割線定理，只要求出BE的長(zhǎng)度即可，在O2中根據(jù)相交弦定理可得BP·PE，根據(jù)(1)中ADPCEP，又可得BP，PE的一個(gè)方程，解方程組求出BP，PE的長(zhǎng)度即可(1)證明連接AB，如圖所示AC是O1的切線，BACD.又BACE.DE.ADEC.(2)解設(shè)BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根據(jù)(1)，可得ADPCEP，即，由，可得或(負(fù)值舍去)DE9xy16.AD是O2的切線，AD2DB·DE9×16.AD12.反思感悟 在平面幾何的有關(guān)計(jì)算中往往要使用比例線段，產(chǎn)生比例線段的一個(gè)主要根據(jù)是兩三角形相似，本題中使用三角形的相似把O2中兩條待求的線段聯(lián)系起來，發(fā)揮了相似三角形的橋梁作用在涉及兩圓的公共弦時(shí)，通常是作出兩圓的公共弦，如果有過公共點(diǎn)的切線就可以使用弦切角定理，在兩個(gè)圓內(nèi)實(shí)現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個(gè)圓相交且在交點(diǎn)處有圓的切線問題的基本思考方向【自主體驗(yàn)】如圖，梯形ABCD內(nèi)接于O，ADBC，過B引O的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于E、F.(1)求證：AB2AE·BC；(2)已知BC8，CD5，AF6，求EF的長(zhǎng)(1)證明BE切O于B，ABEACB.又ADBC，EABABC，EABABC，.AB2AE·BC.(2)解由(1)EABABC，.又AEBC，.又ADBC，ABCD，EF.一、填空題1.如圖，AB是O的直徑，MN與O切于點(diǎn)C，ACBC，則sinMCA_.解析由弦切角定理得，MCAABC，sin ABC.答案2.如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，DAB80°，則ACO_.解析CD是O的切線，OCCD，又ADCD，OCAD.由此得，ACOCAD，OCOA，CAOACO，CADCAO，故AC平分DAB.CAO40°，ACO40°.答案40°3.(20xx·天津卷)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長(zhǎng)為_解析因?yàn)锳F·BFEF·CF，解得CF2，所以，即BD.設(shè)CDx，AD4x，所以4x2，所以x.答案4.如圖，在ABC中，ABAC，C72°，O過A、B兩點(diǎn)且與BC相切于點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，連接BD，若BC1，則AC_.解析由題易知，CABC72°，ADBC36°，所以BCDACB，所以BCACCDCB，又易知BDADBC，所以BC2CD·AC(ACBC)·AC，解得AC2.答案25.(20xx·陜西卷)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DF·DB_.解析由題意知，AB6，AE1，BE5.CE·DEDE2AE·BE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DF·DBDE25.答案56.(20xx·廣東卷)如圖，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，PBADBA.若ADm，ACn，則AB_.解析PB切O于點(diǎn)B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，ABDACB.，AB2AD·ACmn，AB.答案7.如圖，O和O相交于A、B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D.若BC2，BD4，則AB的長(zhǎng)為_解析AC、AD分別是兩圓的切線，C2，1D，ACBDAB.，AB2BC·BD2×48.AB2(舍去負(fù)值)答案28(20xx·湖南卷)如圖，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_解析根據(jù)相交弦定理求出PC的長(zhǎng)，過O作弦CD的垂線由相交弦定理得PA·PBPC·PD.又PAPB2，PD1，則PC4，CDPCPD5.過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點(diǎn)，OE.答案9.(20xx·重慶卷)如圖，在ABC中，ACB90°，A60°，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_解析在RtACB中，ACB90°，A60°，ABC30°.AB20，AC10，BC10.CD為切線，BCDA60°.BDC90°，BD15，CD5.由切割線定理得DC2DE·DB，即(5)215DE，DE5.答案5二、解答題10.如圖，已知AB是O的直徑，直線CD與O相切于點(diǎn)C，AC平分DAB，ADCD.(1)求證：OCAD；(2)若AD2，AC，求AB的長(zhǎng)(1)證明直線CD與O相切于點(diǎn)C，DCODCAACO90°，AOCO，OACACO，AC平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解由(1)OCAD且OCDC，ADDC，即ADC90°，連接BC，AB是O的直徑，ACB90°，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，AD2，AC，AB.11.(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑(1)證明如圖，連接DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以BECE.又因?yàn)镈BBE，所以DE為圓的直徑，DCE90°.由勾股定理可得DBDC.(2)解由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC邊的中垂線，所以BG.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，則BOG60°，從而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑為.12.如圖，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C.(1)求證：FBFC；(2)求證：FB2FA·FD；(3)若AB是ABC外接圓的直徑，EAC120°，BC6 cm，求AD的長(zhǎng)(1)證明因?yàn)锳D平分EAC，所以EADDAC.因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接于圓，所以DACFBC.因?yàn)镋ADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)證明因?yàn)镕ABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以，所以FB2FA·FD.(3)解因?yàn)锳B是圓的直徑，所以ACB90°，又EAC120°，所以ABC30°，DACEAC60°，因?yàn)锽C6，所以ACBCtanABC2，所以AD4(cm)