新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第13章學(xué)案5

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案65隨機(jī)變量的均值和方差導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題自主梳理1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)方差2V(X)_xpi2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_，其_為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，即.2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)V(aXb)_(a，b為實(shí)數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_，V(X)_.(2)若XB(n，p)，則E(X)_，V(X)_.自我檢測1若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)_.X012345P2x3x7x2x3xx2.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)2.4，V(X)1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值分別為_和_3(2010·課標(biāo)全國改編)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為_4(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.5隨機(jī)變量的概率分布如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則V()_.探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的概率分布、期望和方差；(2)若ab，E()1，V()11，試求a，b的值變式遷移1編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的概率分布；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差探究點(diǎn)二二項(xiàng)分布的期望與方差例2A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn)每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. (1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望變式遷移2(2010·泰州模擬)在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是，每次命中與否互相獨(dú)立(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的概率分布及的數(shù)學(xué)期望探究點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量期望與方差的實(shí)際應(yīng)用例3購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；(2)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元)變式遷移3(2010·江蘇)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立(1)記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的概率分布；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率1若ab，則E()aE()b，V()a2V()2若B(n，p)，則E()np，V()np(1p)3求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常用方法有：(1)已知隨機(jī)變量的概率分布求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的線性函數(shù)ab的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·福州質(zhì)檢)已知某一隨機(jī)變量的概率分布如下，且E()6.3，則a的值為_.4a9P0.50.1b2.設(shè)B(n，p)，若有E()12，V()4，則n、p的值分別為_3隨機(jī)變量X的概率分布為X124P0.40.30.3則E(5X4)_.4(2010·成都畢業(yè)班第一次診斷)已知拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量為“|ab|的取值”，則的數(shù)學(xué)期望E()_.5(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.6設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的均值E(X)3，則ab_.7(2010·遼寧改編)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的概率為_8(2010·重慶)某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_二、解答題(共42分)9(14分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一次測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的概率分布；(2)求此員工月工資的期望10(14分)(2011·山東)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望E()11(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1)設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為，對乙項(xiàng)目投資十萬元，取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量1、2分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤(1)求1、2的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(1)、E(2)；(2)當(dāng)E(1)<E(2)時(shí)，求p的取值范圍學(xué)案65隨機(jī)變量的均值和方差答案自主梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn數(shù)學(xué)期望平均水平(2)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn平均偏離程度算術(shù)平方根2.(1)aE(X)b(2)a2V(X)3.(1)pp(1p)(2)npnp(1p)自我檢測1 260.4 32004解析由題意知P(X0)(1p)2，p.隨機(jī)變量X的概率分布為：X0123PE(X)0×1×2×3×.5解析由得，故V()(1)2·(0)2×(1)2×.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引要求期望，需先求出概率分布，要求概率分布，需先求隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，而求概率離不開常見事件概率的計(jì)算方法第(2)小題注意性質(zhì)E(ab)aE()b，V(ab)a2V()的應(yīng)用解(1)的概率分布為01234PE()0×1×2×3×4×1.5.V()(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由V()a2V()，得a2×2.7511，即a±2.又E()aE()b，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4.或變式遷移1解(1)P(X0)；P(X1)；P(X3).隨機(jī)變量X的概率分布為X013P(2)E(X)0×1×3×1.V(X)(10)2×(11)2×(31)2×1.例2解題導(dǎo)引(1)準(zhǔn)確理解事件“甲類組”的含義，把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個(gè)互斥的基本事件的和來表示；(2)第(2)小題首先判斷隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再求其概率分布和均值解(1)設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2，Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依題意有P(A1)2××，P(A2)×.P(B0)×，P(B1)2××.所求的概率為PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)×××.(2)的可能值為0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C××2，P(2)C×2×，P(3)3.的概率分布為0123P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×3×.變式遷移2解(1)記“油罐被引爆”為事件A，其對立事件為，則P()C()()4()5，P(A)1C()()4()5.故油罐被引爆的概率為.(2)射擊次數(shù)的可能取值為2,3,4,5，P(2)()2，P(3)C×××，P(4)C××()2×，P(5)C×()()3()4.故的概率分布為2345PE()2×3×4×5×.例3解題導(dǎo)引各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，投保人中出險(xiǎn)人數(shù)B(104，p)，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)求解解各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則B(104，p)(1)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)0，P(A)1P()1P(0)1(1p)104，又P(A)10.999104，故p0.001.(2)該險(xiǎn)種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望為E()10 000a10 000E()50 000，由B(104,103)知，E()10 000×103，E()104a104E()5×104104a104×104×1035×104.E()0104a104×105×1040a1050a15(元)故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元變式遷移3解(1)由題意知，X的可能取值為10,5,2，3.P(X10)0.8×0.90.72，P(X5)0.2×0.90.18，P(X2)0.8×0.10.08，P(X3)0.2×0.10.02，所以X的概率分布為X10523P0.720.180.080.02(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n(n4且nN*)件，則二等品有(4n)件由題設(shè)知4n(4n)10，解得n.又nN*，得n3或n4.所以PC×0.83×0.2C×0.840.819 2.故所求概率為0.819 2.課后練習(xí)區(qū)17 218， 315 452解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1·x2×(12x)3xx24x3x2.6.7解析設(shè)事件A：“一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品”，事件B：“另一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品”，由于A、B相互獨(dú)立，則恰有一個(gè)一等品的概率PP(A)P(B)P(A)·P()P()·P(B)××.8解析設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為p，則1p2，p.9解(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.(2分)P(Xi)(i0,1,2,3,4)(4分)即X01234P(7分)(2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500.(9分)則P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2).E(Y)3 500×2 800×2 100×2 280.(12分)所以此員工月工資的期望為2 280元(14分)10解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件因?yàn)镻(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.(2分)紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，(4分)因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(7分)(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.(9分)又由(1)知 F，E，D 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，(11分)因此P(0)P( )0.4×0.5×0.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由對立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4. (12分)所以的概率分布為：0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352×0.43×0.151.6.(14分)11解(1)1的概率分布為11.21.181.17PE(1)1.2×1.18×1.17×1.18.(3分)由題設(shè)得B(2，p)，即的概率分布為012P(1p)22p(1p)p2(5分)故2的概率分布為21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以2的數(shù)學(xué)期望是E(2)1.3×(1p)21.25×2p(1p)0.2×p21.3×(12pp2)2.5×(pp2)0.2×p2p20.1p1.3.(8分)(2)由E(1)<E(2)，得p20.1p1.3>1.18，整理得(p0.4)(p0.3)<0，解得0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1，所以，當(dāng)E(1)<E(2)時(shí)，p的取值范圍是0<p<0.3.(14分)