新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題：24 不等式恒成立問(wèn)題的處理方法

不等式恒成立問(wèn)題的處理方法1、轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值恒成立的最大值；恒成立的最小值。例1、已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)。（1）試確定的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值。要使恒成立，只需，即，從而，解得或，的取值范圍為。例2、已知對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：等價(jià)于對(duì)任意恒成立，又等價(jià)于時(shí)，的最小值成立。由于在上為增函數(shù)，則，所以。例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由得到：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故有恒成立，又因?yàn)闉闇p函數(shù)，從而有對(duì)恒成立；設(shè)，則對(duì)于恒成立，函數(shù)，對(duì)稱軸為。當(dāng)時(shí)，即，又當(dāng)，即時(shí)，即，又，當(dāng)時(shí)，恒成立。故由可知：。2、主參換位例4、若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 例5、若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：例6、已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。若不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)知，對(duì)任意，不等式都成立，即，都成立。設(shè)（），則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對(duì)任意，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。3、分離參數(shù)（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式（或），得的取值范圍。適用題型：參數(shù)與變量能分離；函數(shù)的最值易求出。例7、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。解：當(dāng)時(shí)，由得。令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則。例8、已知函數(shù)，其中。（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，取得極值；（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍。解：（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立，；設(shè)，令得或（舍），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，。綜上，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，。4、數(shù)形結(jié)合例9、若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。解：，不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖象知，即。例10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例11、已知關(guān)于的函數(shù)，其中，若當(dāng)在區(qū)間內(nèi)任意取值時(shí)，的值恒為正，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：，令，則，則有，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。因?yàn)槭顷P(guān)于的一次函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立的充要條件是，解得。所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。