新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第5講直線與圓錐曲線

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第5講 直線與圓錐曲線一、填空題1已知雙曲線x21的一條漸近線與直線x2y30垂直，則a_.解析 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知a>0，其漸近線方程為x±y0，可得漸近線xy0與直線x2y30垂直，所以a4.答案 42以雙曲線x24y24的中心頂點，右焦點為焦點的拋物線方程是_解析 設(shè)拋物線的方程為y22px，則由焦點相同的條件可知p2，所以拋物線的方程為y24x.答案 y24x3過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，則AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析由題知拋物線的焦點為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知：ABAFBFx1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，因此M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.答案4設(shè)雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點，則雙曲線的離心率為_解析雙曲線1的一條漸近線為yx，由方程組消去y得，x2x10有唯一解，所以240，2，e .答案5若斜率為1的直線l與橢圓y21交于不同兩點A、B，則AB的最大值為_解析設(shè)直線l的方程為yxt，代入y21消去y得x22txt210，由題意得(2t)25(t21)0，即t25，弦長AB·.答案6已知雙曲線方程是x21，過定點P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點，并使P(2,1)為P1P2的中點，則此直線方程是_解析設(shè)點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由x1，x1，得k4，從而所求方程為4xy70.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x256x510，0，故此直線滿足條件答案4xy707已知橢圓1(a>b>0)，A為左頂點，B為短軸一頂點，F(xiàn)為右焦點，且，則此橢圓的離心率為_解析 AB，BFa，AFac.又，AB2BF2AF2，即2a2b2a2c22ac，c2aca20，.所求的離心率為.答案 8已知點A(0,2)，拋物線y22px(p0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線于點B，過B作l的垂線，垂足為M，若AMMF，則p_.解析依題意，設(shè)點B，點F，M，則，.由得×(2)(y12)0，即yy1p20.由AMMF得·y1(y12)0，即y2y10，由得y1，把代入，解得p.答案9已知橢圓x22y220的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，B為短軸的一個端點，則BF1F2的外接圓方程是_解析 F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(0,1)，則BF1F2為等腰直角三角形，故它的外接圓方程為x2y21.來源答案 x2y2110已知拋物線y24x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則xx的最小值是_解析設(shè)過點P的直線為yk(x4)，當(dāng)k不存在時，A(4,4)，B(4，4)，則xx32，當(dāng)k存在時，有k2x2(8k24)x16k20，則x1x28，x1·x216，故xx(x1x2)22x1x23232，故(xx)min32.答案32二、解答題11如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P(1，)到拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分(1)求p，t的值；(2)求ABP面積的最大值解 (1)由題意知得(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為Q(m，m)由題意知，設(shè)直線AB的斜率為k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k·2m1，所以直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1·y22m2m.從而|AB| ·|y1y2|·.設(shè)點P到直線AB的距離為d，則d.設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|·d|12(mm2)|·.由4m4m20，得0m1.令u，0u，則Su(12u2)設(shè)S(u)u(12u2)，0u，則S(u)16u2.由S(u)0，得u，所以S(u)maxS.故ABP面積的最大值為.12設(shè)A、B分別為橢圓1(a，b0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x4為它的右準(zhǔn)線(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內(nèi)(1)解依題意得a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為1.(2)證明由(1)得A(2,0)，B(2,0)設(shè)M(x0，y0)M點在橢圓上，y0(4x)又點M異于頂點A、B，2x02，由P、A、M三點共線可以得P.從而(x02，y0)，.·2x04(x43y)將代入，化簡得·(2x0)2x00，·0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)13已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，ABC的三個頂點都在拋物線上，且ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4xy200.(1)求拋物線C的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點，P，Q是拋物線C上的兩動點，且滿足POOQ，證明：直線PQ過定點(1)解設(shè)拋物線C的方程為y22mx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2y2my20m0，0，m0或m160.解得y1,2，則y1y2，x1x210.再設(shè)C(x3，y3)，由于ABC的重心為F，則解得點C在拋物線上，22m.m8，拋物線C的方程為y216x.(2)證明當(dāng)PQ的斜率存在時，設(shè)PQ的方程為ykxb，顯然k0，b0，POOQ，kPOkOQ1，設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，xPxQyPyQ0，將直線ykxb代入拋物線方程，得ky216y16b0，yPyQ.從而xPxQ，0，k0，b0，直線PQ的方程為ykx16k，PQ過點(16,0)；當(dāng)PQ的斜率不存在時，顯然PQx軸，又POOQ，POQ為等腰三角形，由得P(16,16)，Q(16，16)，此時直線PQ過點(16,0)，直線PQ恒過定點(16,0).14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A(2，1)橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，短軸端點為B1、B2，·2b2.(1)求a、b的值；(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R.過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P.若AQ·AR3 OP2，求直線l的方程解 (1)因為F(c,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以(c，b)，(c，b)因為·2b2，所以c2b22b2.因為橢圓C過A(2，1)，代入得，1.由解得a28，b22.所以a2，b.(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.因為x20，所以x2，即xQ2.由題意，直線OP的方程為ykx.由得(14k2)x28.則x.因為AQ·AR3OP2.所以|xQ(2)|×|0(2)|3x.即|×23×.解得k1，或k2.當(dāng)k1時，直線l的方程為xy10，當(dāng)k2時，直線l的方程為2xy50.