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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專(zhuān)題2.4 等比數(shù)列試題 新人教A版必修5.doc

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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專(zhuān)題2.4 等比數(shù)列試題 新人教A版必修5.doc

2.4 等比數(shù)列1等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于_,那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母表示定義也可敘述為:在數(shù)列中,若為常數(shù)且,則是等比數(shù)列2等比中項(xiàng)如果在與中間插入一個(gè)數(shù),使,成等比數(shù)列,那么_叫做與的等比中項(xiàng)3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是4等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)(1)等比數(shù)列的圖象等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以改寫(xiě)為,當(dāng)且時(shí),是指數(shù)函數(shù),是指數(shù)型函數(shù),因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點(diǎn)例如,教材第50頁(yè)【探究】(2),的圖象如下圖所示 (2)等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則當(dāng)或時(shí),是_數(shù)列;當(dāng)或時(shí),是_數(shù)列;當(dāng)時(shí),為常數(shù)列;當(dāng)時(shí),為擺動(dòng)數(shù)列,所有的奇數(shù)項(xiàng)(偶數(shù)項(xiàng))同號(hào),奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)K知識(shí)參考答案:1同一常數(shù)234遞增 遞減K重點(diǎn)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用K難點(diǎn)靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題K易錯(cuò)對(duì)等比數(shù)列的定義理解不深刻、忽略等比數(shù)列問(wèn)題中的隱含條件等比數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法:(1)定義法:判斷是否為常數(shù);(2)等比中項(xiàng)法:判斷是否成立;(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列的通項(xiàng)公式形如,則數(shù)列是等比數(shù)列(1)若的通項(xiàng)公式為,試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列(2)若成等比數(shù)列,均不為零,求證:成等比數(shù)列【答案】(1)是等比數(shù)列,證明見(jiàn)解析;(2)成等比數(shù)列,證明見(jiàn)解析【解析】(1),4為非零常數(shù),由定義可知是等比數(shù)列(2)由成等比數(shù)列,可設(shè),因?yàn)榫粸榱?,所以,所以成等比?shù)列【名師點(diǎn)睛】不能僅由數(shù)列的前有限項(xiàng)成等比數(shù)列得出數(shù)列是等比數(shù)列,而要否定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,只需得到其連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用(1)在等比數(shù)列中,若則_;(2)在等比數(shù)列中,已知若,則_【答案】(1);(2)【解析】(1)方法1:因?yàn)?,所以,兩式相除得,即,于是,所以方?:因?yàn)?,所以,即,所以?)方法1:因?yàn)?,兩式相除得,所以,由,可得,解得方?:因?yàn)?,所以,由可得,由,可得,解得【名師點(diǎn)睛】(1)已知數(shù)列為等比數(shù)列時(shí),可利用條件構(gòu)建方程(組)求出基本量與,即可寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)已知等比數(shù)列中的某項(xiàng),求出公比后,可繞過(guò)求而直接寫(xiě)出其通項(xiàng)公式,即等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的定義可得等比數(shù)列具有如下性質(zhì):(1)若,則;若,則推廣:若,則(2)若成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列(3)數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列;數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列(4)成等比數(shù)列,公比為(5)連續(xù)相鄰項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列已知等比數(shù)列滿(mǎn)足(1)若則_;(2)若,則當(dāng)時(shí),_【答案】(1)6;(2)【解析】(1)方法1:因?yàn)橛傻缺葦?shù)列的性質(zhì)可得,所以方法2:由等比數(shù)列的性質(zhì)知成等比數(shù)列,所以,所以(2)方法1:由得又所以故方法2:由等比數(shù)列的性質(zhì),得由于所以所以【名師點(diǎn)睛】在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中,常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算,往往是建立關(guān)于的方程組,但這樣解起來(lái)很麻煩,若能避開(kāi)求,直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解,則比較簡(jiǎn)捷,同時(shí)在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí),需注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)形如的遞推關(guān)系式利用待定系數(shù)法可化為,當(dāng)時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列;由,兩式相減,得當(dāng)時(shí),數(shù)列是公比為的等比數(shù)列(2)形如的遞推關(guān)系式除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外,也可以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以,進(jìn)而化歸為等比數(shù)列(1)在數(shù)列中,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi);(2)在數(shù)列中,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)【答案】(1);(2)【解析】(1)方法1:令即與比較得,又,故數(shù)列是以4為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以,所以方法2:因?yàn)樗运运允堑缺葦?shù)列,首項(xiàng)公比,所以即,即(2)方法1:令即與比較可得,又,所以是以4為首項(xiàng),6為公比的等比數(shù)列,所以,即方法2:由,兩邊同時(shí)除以得由待定系數(shù)法易得故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以即【名師點(diǎn)睛】當(dāng)已知數(shù)列不是等比數(shù)列時(shí),往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的等比數(shù)列利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出包含的關(guān)系式,進(jìn)而求得忽略等比數(shù)列中所有項(xiàng)不為零導(dǎo)致錯(cuò)誤已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為,則_【錯(cuò)解】因?yàn)闉榕c的等比中項(xiàng),所以,解得或【錯(cuò)因分析】若,則這三項(xiàng)為,不符合等比數(shù)列的定義【正解】因?yàn)闉榕c的等比中項(xiàng),所以,解得或由于時(shí),所以應(yīng)舍去,故【名師點(diǎn)睛】因?yàn)榈缺葦?shù)列中各項(xiàng)均不為零,所以解題時(shí)一定要注意將所求結(jié)果代入題中驗(yàn)證,若所求結(jié)果使等比數(shù)列中的某些項(xiàng)為零,則一定要舍去忽略等比數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)導(dǎo)致錯(cuò)誤在等比數(shù)列中,則_【錯(cuò)解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,由可得,故【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了在等比數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同這一隱含條件【正解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,由可得,故又在等比數(shù)列中,所有的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,所以,所以【名師點(diǎn)睛】在等比數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同因此,在求等比數(shù)列的某一項(xiàng)或者某些項(xiàng)時(shí)要注意這些項(xiàng)的正負(fù)問(wèn)題,要充分挖掘題目中的隱含條件1已知五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則的值為ABCD2在等比數(shù)列中,則項(xiàng)數(shù)為A3B4C5D63已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,若,且,則數(shù)列的公比A2或BCD4已知數(shù)列是等比數(shù)列,是1和3的等差中項(xiàng),則A16B8C2D45已知等比數(shù)列中,則的值為A2B4C8D166在等比數(shù)列中,若是方程的兩根,則的值是ABC或D7已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的積為27,它們的平方和為91,則這三個(gè)數(shù)的和為A13B7C7或13D無(wú)法求解8已知,且是成等比數(shù)列的整數(shù),n為大于1的整數(shù),則下列關(guān)于,的說(shuō)法正確的是A成等差數(shù)列B成等比數(shù)列C各項(xiàng)的倒數(shù)成等差數(shù)列D以上都不對(duì)9已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則_10在等比數(shù)列中,公比若成等差數(shù)列,則的值是_11在等比數(shù)列中,則_12已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿(mǎn)足,且是,的等差中項(xiàng),則公比_,通項(xiàng)公式為_(kāi) 13已知等比數(shù)列中,求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式14已知數(shù)列滿(mǎn)足遞推式,其中(1)求;(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列15已知數(shù)列與等比數(shù)列滿(mǎn)足(1)試判斷是何種數(shù)列;(2)若,求16已知是等比數(shù)列,且,則ABCD17已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項(xiàng)都是1,公差和公比都是2,則A24B25C26D2718若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則ABCD19各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列中,與的等比中項(xiàng)為,則的值為A4B3C2D120已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項(xiàng)都是1,公差和公比都是2,則A24B25C26D8421在等比數(shù)列中,公比若成等差數(shù)列,則_22已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則=_23已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則_24等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為,為等比數(shù)列,且(1)求與;(2)求和:25已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,在數(shù)列中,且(1)設(shè),求證:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式26(2018北京文)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率,則第八個(gè)單音頻率為ABCD27(2016四川理)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg20.30)A2018年B2019年C2020年D2021年28(2017北京理)若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足,則=_29(2017新課標(biāo)全國(guó)理)設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=1,a1a3=3,則a4=_30(2018新課標(biāo)全國(guó)文)已知數(shù)列滿(mǎn)足,設(shè)(1)求,;(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;(3)求的通項(xiàng)公式31(2016新課標(biāo)全國(guó)文)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足,(1)求;(2)求的通項(xiàng)公式1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q由題意得,又,所以,故選B2【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式有,解得,故選C5【答案】B【解析】由題意得,所以,因?yàn)椋?,所以,所以,故選B6【答案】B【解析】由是方程的兩根有,故都為正數(shù),而,所以,由于,所以,故選B 7【答案】C【解析】由題意,可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為,a,aq,則或,所以或,故這三個(gè)數(shù)為1,3,9或1,3,9或9,3,1或9,3,1故這三個(gè)數(shù)的和為13或7故選C9【答案】5【解析】因?yàn)椋詳?shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,10【答案】【解析】由題意得或(舍去),從而11【答案】或【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知,又,所以,或,所以或12【答案】 【解析】由題意得,所以或(舍去),所以通項(xiàng)公式為13【答案】或【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,由題意得或所以或,即或,所以或故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為或14【答案】(1),;(2)見(jiàn)解析【解析】(1)由及知解得同理可得(2)由可得,是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列(2)因?yàn)?,所?10m,所以 16【答案】B【解析】由題意知,則,所以,故選B17【答案】B【解析】等比數(shù)列首項(xiàng)是,公比是,所以,等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,所以,故選B18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中,所以,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知,故選C19【答案】B【解析】由與的等比中項(xiàng)為,得,所以,故選B20【答案】D【解析】等差數(shù)列首項(xiàng)是,公差是,所以,等比數(shù)列首項(xiàng)是,公比是,所以,故選D21【答案】【解析】由題意得或(舍去),從而22【答案】【解析】,即數(shù)列是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列,則,即23【答案】【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,設(shè)公差為,所以,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,即,由于與同號(hào),所以,所以,所以24【答案】(1),;(2)【解析】(1)設(shè)的公差為,的公比為,則,依題意有解得或(舍去),故,(2),所以25【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】(1)因?yàn)?,所以 ,得,所以,所以,所以,所以是等比數(shù)列因?yàn)槭醉?xiàng),所以,所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可知,所以故當(dāng)時(shí),又代入上式也符合,所以26【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則,故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若或, 數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且,則數(shù)列是等比數(shù)列 28【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和,則,求得,那么29【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,很明顯,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組:,由可得:,代入可得,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得30【答案】(1),;(2)數(shù)列是等比數(shù)列,理由見(jiàn)解析;(3)【解析】(1)由條件可得,將代入得,而,所以將代入得,所以從而,31【答案】(1);(2)【解析】(1)由題意得(2)由,得因?yàn)榈母黜?xiàng)都為正數(shù),所以,故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,因此

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