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2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

3.2 一般形式的柯西不等式預習案一、預習目標及范圍1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題二、預習要點教材整理1三維形式的柯西不等式設a1,a2,a3,b1,b2,b3R,則(aaa)(bbb).當且僅當 或存在一個數(shù)k,使得aikbi(i1,2,3)時,等號成立我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式設a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實數(shù),則(aaa)(bbb) .當且僅當bi0(i1,2,n)或存在一個數(shù)k,使得ai (i1,2,n)時,等號成立三、預習檢測1.已知x,y,zR且xyz1,則x2y2z2的最小值是()A1B.C.D22.已知aaa1,xxx1,則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D.43設a,b,c為正數(shù),則(abc)的最小值為_.探究案一、合作探究題型一、利用柯西不等式求最值例1已知a,b,c(0,),2,求a2b3c的最小值及取得最小值時a,b,c的值【精彩點撥】由于2,可考慮把已知條件與待求式子結合起來,利用柯西不等式求解再練一題1已知x4y9z1,求x2y2z2的最小值題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍例2已知正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范圍【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值,設法應用柯西不等式求最值再練一題2已知實數(shù)a,b,c,d滿足abcd3,a22b23c26d25,試求a的取值范圍.題型三、利用柯西不等式證明不等式例3已知a,b,cR,求證:9.【精彩點撥】對應三維形式的柯西不等式,a1,a2,a3,b1,b2,b3,而a1b1a2b2a3b31,因而得證再練一題3已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求證:a2b3c9.二、隨堂檢測1設a(2,1,2),|b|6,則ab的最小值為()A18B6C18D.122若aaa1,bbb4,則a1b1a2b2anbn的取值范圍是()A(,2) B2,2C(,2D.1,13設a,b,m,nR,且a2b25,manb5,則 的最小值為_參考答案預習檢測:1.【解析】根據(jù)柯西不等式,x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.【答案】B2.【解析】(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111,當且僅當1時取等號,a1x1a2x2anxn的最大值是1.【答案】A3.【解析】由a,b,c為正數(shù),(abc)()2()2()22121,當且僅當k(k>0)時等號成立故(abc)的最小值是121.【答案】121隨堂檢測:1.【解析】|ab|a|b|,|ab|18.18ab18,當a,b反向時,ab最小,最小值為18.【答案】C2.【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,(a1b1a2b2anbn)24,|a1b1a2b2anbn|2,即2a1b1a2b2anbn2,當且僅當aibi(i1,2,n)時,右邊等號成立;當且僅當aibi(i1,2,n)時,左邊等號成立,故選B.【答案】B3.【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2),得255(m2n2),m2n25,的最小值為.【答案】

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