陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題教案 北師大版選修1 -1.doc

4.2.2 最大值最小值問題 教學(xué)目標(biāo)1能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念2會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. 教學(xué)重點(diǎn)1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題2. 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點(diǎn)，難點(diǎn)。 學(xué)時(shí)難點(diǎn)1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題2. 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點(diǎn)， 教學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)1【講授】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 知識(shí)梳理：（1）如果函數(shù)yf(x)在a，b上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么f(x)在a，b上必有最大值和最小值函數(shù)的最值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì).函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最大值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值_最大值或者_(dá)取得，或者_(dá)取得問題探究一函數(shù)的最值問題1如圖，觀察區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖像，它的極大值、極小值嗎？問題2觀察問題1的函數(shù)yf(x)，你能找出函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值、最小值嗎？問題3函數(shù)的極值和最值有什么區(qū)別和聯(lián)系？(1)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值問題4怎樣求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？只要求出函數(shù)的各個(gè)極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)行比較即可例1 (2014鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解題指導(dǎo)(1)已知：曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(2)分析：由曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行可知f(1)0即可求出k的值；由函數(shù)解析式，求導(dǎo)進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間構(gòu)造函數(shù)證明不等式訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)x33x26x2，x1,1的最值解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f (x)在1,1上為增函數(shù)故x1時(shí)，f(x)最小值12；即f(x)的最小值為12，最大值為2.問題探究二含參數(shù)的最值問題問題1若函數(shù)f(x)已知最值，且函數(shù)關(guān)系式中含有參數(shù)，怎樣根據(jù)函數(shù)最值確定參數(shù)？答案根據(jù)函數(shù)在哪一點(diǎn)處取得最值，采用待定系數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)列方程可以解出參數(shù)值問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的極值或端點(diǎn)處的函數(shù)值以及它們的大小問題2含參數(shù)的函數(shù)，怎樣求函數(shù)的最值？答案由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，因此解決這類問題往往需要分類討論，參數(shù)分界標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)自變量的大小或通過函數(shù)值的大小等方面確定的例2若函數(shù)f(x)ax3bx4，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值 .(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程f(x)k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)由題意可知f(x)3ax2b.故所求的函數(shù)解析式為f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2，或x2因此，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.小結(jié)含參數(shù)的函數(shù)，已知最值可考慮使用待定系數(shù)法確定參數(shù)；求含參數(shù)的最值要分類討論，注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的大小及是否在函數(shù)定義域內(nèi)訓(xùn)練2設(shè)f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值解(1)f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個(gè)子區(qū)間(m，n)(，)使得f(x)>0.由f(x)x2x2a(x)22a，f(x)在區(qū)間，)上單調(diào)遞減，則只需f()>0即可由f()2a>0解得a>，所以，當(dāng)a>時(shí)，f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間(2)令f(x)0，得兩根x1 ，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增，又f(4)f(1)6a<0，即f(4)<f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2)問題探究三函數(shù)最值的應(yīng)用問題函數(shù)最值和“恒成立”問題有什么聯(lián)系？答案解決“恒成立”問題，可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可對(duì)含參不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題，可先分離參數(shù)例3已知f(x)x3x22x5，當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解f(x)x3x22x5，f(x)3x2x2.令f(x)0，即3x2x20，x1或x.當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)當(dāng)x時(shí)，f(x)取得極大值f()5 ；當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極小值f(1) .又f(1)，f(2)7，f(x)在x1,2上的最大值為f(2)7.要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7.所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(7，)小結(jié)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)2x39x212x8c，若對(duì)任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍解f(x)6x218x126(x1)(x2)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(2,3)時(shí)，f(x)>0.當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98c>f(1)，x0,3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c.對(duì)任意的x0,3，有f(x)<c2恒成立，98c<c2，即c<1或c>9.c的取值范圍為(，1)(9，).練習(xí)1函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值，最小值分別是 ()A1，1 B1，17C3，17 D9，192函數(shù)f(x)x2在0,4上的最大值為 ()A1 B0 C1 D43函數(shù)f(x)xex的最小值為_課堂小結(jié)(1)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處函數(shù)值即可；函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，這個(gè)極值就是最值；(2)含參數(shù)的函數(shù)最值，可確定參數(shù)或分類討論；(3)“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.