新版高三數(shù)學(xué) 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)

1 1第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用訓(xùn)練目標(biāo)(1)函數(shù)模型應(yīng)用；(2)審題及建模能力培養(yǎng)訓(xùn)練題型函數(shù)應(yīng)用題解題策略(1)抓住變量間的關(guān)系，準(zhǔn)確建立函數(shù)模型；(2)常見函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)模型；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型；yax型函數(shù)模型.1.為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？3(20xx·濰坊檢測)在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？4.某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖(一條折線)、圖(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖是每件樣品的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系；(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由5(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度答案精析1解設(shè)該單位每月獲利為S元，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因?yàn)?00x600，所以當(dāng)x400時(shí)，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損2解(1)每噸平均成本為(萬元)則482 4832，當(dāng)且僅當(dāng)，即x200時(shí)取等號當(dāng)年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬元(2)設(shè)當(dāng)年獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函數(shù)，當(dāng)x210時(shí)，R(x)有最大值為(210220)21 6801 660.當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1 660萬元3解設(shè)該店月利潤余額為L，則由題設(shè)得LQ(P14)×1003 6002 000，由銷量圖易得Q代入式得L(1)當(dāng)14P20時(shí)，Lmax450元，此時(shí)P19.5元；當(dāng)20<P26時(shí)，Lmax元，此時(shí)P元故當(dāng)P19.5元時(shí)，月利潤余額最大，為450元(2)設(shè)可在n年后脫貧，依題意有12n×45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧4解(1)圖是兩條線段，由一次函數(shù)及待定系數(shù)法，得f(t)圖是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖象，故g(t)t26t(0t40)(2)每件樣品的銷售利潤h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和F(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為F(t)當(dāng)0t20時(shí)，F(xiàn)(t)3tt324t2，F(xiàn)(t)t248tt0，F(xiàn)(t)在0,20上是增函數(shù)，F(xiàn)(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)6 000<6 300.當(dāng)20<t30時(shí)，F(xiàn)(t)60.由F(t)6 300，得3t2160t2 1000，解得t(舍去)或t30.當(dāng)30<t40時(shí)，F(xiàn)(t)60.由F(t)在(30,40上是減函數(shù)，得F(t)<F(30)6 300.故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于6 300萬元，為上市后的第30天5解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí)，g(t)<0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)>0，g(t)是增函數(shù)從而，當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.答當(dāng)t10時(shí)，公路l的長度最短，最短長度為15千米