高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 排列組合與二項式定理教案 蘇教版

考綱導(dǎo)讀排列、組合、二項式定理1掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題2理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題3理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題4掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題知識網(wǎng)絡(luò)組合排列組合二項式定理兩個計數(shù)原理排列排列概念排列數(shù)公式組合概念組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用通項公式二項式定理二項式系數(shù)性質(zhì)應(yīng)用高考導(dǎo)航排列與組合高考重點考察學(xué)生理解問題、綜合運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨特的一個組成部分，是進一步學(xué)習概率論的基礎(chǔ)知識由于這部分內(nèi)容概念性強，抽象性強，思維方法新穎，同時解題過程中極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯誤，而且結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗，因此學(xué)生要學(xué)好本節(jié)有一定的難度解決該問題的關(guān)鍵是學(xué)習時要注意加深對概念的理解，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，嚴謹而周密地去思考分析問題二項式定理是進一步學(xué)習概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，高考重點考查展開式及通項，難度與課本內(nèi)容相當另外利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決一些較簡單而有趣的小題，在高考中也時有出現(xiàn) 第1課時 兩個計數(shù)原理基礎(chǔ)過關(guān)1分類計數(shù)原理（也稱加法原理）：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法2分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法3解題方法：枚舉法、插空法、隔板法典型例題例1. 高三(1)、(2)、(3)班分別有學(xué)生48,50,52人(1) 從中選1人當學(xué)生代表的方法有多少種？(2) 從每班選1人組成演講隊的方法有多少種？(3) 從這150名學(xué)生中選4人參加學(xué)代會有多少種方法？(4) 從這150名學(xué)生中選4人參加數(shù)理化四個課外活動小組，共有多少種方法？解：（1）485052150種 （2）48×50×52124800種 （3） （4）變式訓(xùn)練1：在直角坐標xoy平面上，平行直線x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），組成的圖形中，矩形共有（ ）A、25個 B、36個 C、100個 D、225個解：在垂直于x軸的6條直線中任意取2條，在垂直于y軸的6條直線中任意取2條，這樣的4 條直線相交便得到一個矩形，所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道：得到的矩形共有個， 故選D。例2. (1) 將5封信投入6個信箱，有多少種不同的投法？(2) 設(shè)I1,2,3,4,5,6，A與B都是I的子集，AB1,3,5，則稱(A,B)為理想配，所有理想配共有多少種？(3) 隨著電訊事業(yè)的發(fā)展，許多地方電話號碼升位，若某地由原來7位電話號碼升為8位電話號碼，問升位后可多裝多少門電話機？(電話號碼首位不為0)解：（1）65 （2）27 （3）電話號碼首位不為0：9×1079×1068.1×107變式訓(xùn)練2：一個圓分成6個大小不等的小扇形，取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。請問：6個小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法?從這6種顏色中任選5種著色,但相鄰兩個扇形不能著相同的顏色, 則有多少種不同的著色方法?解：6個小扇形分別著上6種不同的顏色,共有種著色方法.6個扇形從6種顏色中任選5種著色共有種不同的方法;其中相鄰兩個扇形是同一種顏色的著色方法共有;因此滿足條件的著色方法共有種著色方法.例3. 如圖A，B，C，D為海上的四個小島，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案有（ ）DAA、8種 B、12種 C、16種 D、20種BC解：第一類：從一個島出發(fā)向其它三島各建一橋，共有=4種方法；第二類：一個島最多建設(shè)兩座橋，例如：ABCD，DCBA，這樣的兩個排列對應(yīng)一種建橋方法，因此有種方法；根據(jù)分類計數(shù)原理知道共有4+12=16種方法變式訓(xùn)練3：某公司招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名翻譯人員不能同時分給一個部門，另三名電腦編程人員也不能同時分給一個部門，求有多少種不同的分配方案解：用分步計數(shù)原理先分英語翻譯，再分電腦編程人員，最后分其余各人，故有2×(33)×336種例4. 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以沿不同的路徑同時傳遞，則單位時間傳遞的最大信息量是（ ）A、26 B、24 C、20 D、19 3 5 12B 4 6 A 6 7612 8 解：要完成的這件事是：“從A向B傳遞信息”，完成這件事有4類辦法：第一類：1253第二類 ： 12 6 4第三類 ：12 6 7 第四類；：12 8 6可見：第一類中單位時間傳遞的最大信息量是3；第二類單位時間傳遞的最大信息量是4； 第三類單位時間傳遞的最大信息量是6；第四類單位時間傳遞的最大信息量是6。所以由分類記數(shù)原理知道共有：3+4+6+6=19，故選D變式訓(xùn)練4：7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子，則每個盒子都不空的放法有多少種？解：首先要清楚：“每個盒子都不空”的含義是“每個盒子里至少有1個球”。于是，我們采用“隔板法”來解決。在7個小球中的每兩個之間分別有6個空，我們從6個空中任意選3個分別插入3塊隔板，則這3塊隔板就把7個小球分成4部分，而且每一部分至少有1個球。即有=20種方法，又每一種分割方法都對應(yīng)著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。注；（1）本題若采取“分類討論”的方法來解決，則顯得很麻煩；大家可以試一試。（2）隔板法只能用于“各個元素不加區(qū)別”的情況，否則不能使用.兩個原理的區(qū)別在于，前者每次得到的是最后的結(jié)果，后者每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當且僅當幾個步驟全部做完后，整件事情才算完成第2課時 排 列基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說，從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列的定義包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”因此當元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時，才是同一個排列2從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個為不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Amn表示排列數(shù)公式Amn 這里mn，其中等式的右邊是 個連續(xù)的自然數(shù)相乘，最大的是 ，最小的是 3n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，全排列數(shù)用Ann表示，它等于自然數(shù)從1到n的連乘積，自然數(shù)從1到n的連乘積叫做n的階乘，用 表示4解有約束條件的排列問題的方法有直接法、間接法、元素位置分析法、插空法、捆綁法、枚舉法、對稱法、隔板法5排列問題常用框圖來處理典型例題例1、(1) 元旦前某宿舍的四位同學(xué)各寫一張賀卡先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同分配有多少種？(2) 同一排6張編號1，2，3，4，5，6的電影票分給4人，每人至少1張，至多2張，且這兩張票有連續(xù)編號，則不同分法有多少種？（3）（06湖南理14）某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后立即進行那么安排這6項工程的不同排法有多少種數(shù)？解：（1）分類：9種（2）假設(shè)五個連續(xù)空位為一個整元素a，單獨一個空位為一個元素b，另4人為四個元素c1、c2、c3、c4問題化為a,b,c1,c2,c3,c4的排列，條件是a,b不相鄰，共有48種；（3）將丙，丁看作一個元素，設(shè)想5個位置，只要其余2項工程選擇好位置，剩下3個位置按甲、乙（兩?。┲形ㄒ坏?，故有20種變式訓(xùn)練1：有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分, 將這9個球排成一列有 _ 種不同的方法.解：9個球排成一列有種排法,再除去2紅、3黃、4白的順序即可,故共有排法種。 答案:1260例25男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)(1) 甲站正中間的排法有 種，甲不站在正中間的排法有 種(2) 甲、乙相鄰的排法有 種，甲乙丙三人在一起的排法有 種(3) 甲站在乙前的排法有 種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有 種丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有 種(4) 甲乙不站兩頭的排法有 種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有 種(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 種(6) 女生互不相鄰的排法有 種，男女相間的排法有 種(7) 甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種，甲乙丙三人有且只有兩人相鄰的排法有 種(8) 甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有 種(9) 甲乙之間有且只有4人的排法有 種解：(1)8！, 8×8！ (2) 2×8！,6×7！(3) ×9！, ×1, ×2×1(4) ×7!8！7×7×7！(5) 2×5！×4！(6) 5！×, 5！×4！×2(7) 9！2×8！×22×7！, 3×6！××2(8) 9！×6！(9) 捆綁法2××4！ 也可用枚舉法2×4×7！ 變式訓(xùn)練2：從包含甲的若干名同學(xué)中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和英語競賽，每名同學(xué)只能參加一種競賽，且任2名同學(xué)不能參加同一種競賽，若甲不參加物理和化學(xué)競賽，則共有72種不同的參賽方法，問一共有多少名同學(xué)？解：5例3. 在4000到7000之間有多少個四個數(shù)字均不相同的偶數(shù) 解：分兩類類5在千位上：1×5×280類4或6在千位上：2×4×448故有280448728個變式訓(xùn)練3：3張卡片的正反面上分別有數(shù)字0和1，3和4，5和6，當把它們拼在一起組成三位數(shù)字的時可得到多少個不同的三位數(shù)（6可做9用）解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此時有5×4×240個這40個三位數(shù)中含數(shù)字6的有2×3×21×4×220個，故6可做9用時，可得三位數(shù)402060個例4. (1) 從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力賽，問其中不跑第一棒的安排方法有多少種？(2) 一排長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人就坐，恰有5個連續(xù)空位的坐法有多少種？解：（1）先安排第四棒，再安排其他三棒的人選，故有5×300種 60對（2）假設(shè)五個連續(xù)空位為一個元素A，B為單獨一個空位元素，另4個為元素C1，C2，C3，C4間題轉(zhuǎn)化為A，B，C1，C2，C3，C4排列，條件A，B不相鄰，有480種.變式訓(xùn)練4：某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種（用數(shù)字作答）解：96小結(jié)歸納1解排列應(yīng)用問題首先必須認真分析題意看能否把問題歸結(jié)為排隊（即排列）問題，較簡單的排列問題常用框圖或樹型來處理（注意也有個別問題不能用框圖來處理 如不相鄰問題等）2解有約束條件的排列問題的幾種策略a. 特殊元素，特殊位置優(yōu)先定位（也有個別例外情況，見例1）b. 相鄰問題捆綁處理不相鄰問題插空處理c. 正難則反，等價轉(zhuǎn)換3解排列應(yīng)用問題思路一定要清晰，并隨時注意轉(zhuǎn)換解題角度，通過練習要認真理會解排列問題的各種方法4由于排列問題的結(jié)果一般數(shù)目較大不易直接驗證，解題時要深入分析，嚴密周詳，要防止重復(fù)和遺漏為此可用多種不同的方法求解看看結(jié)果是否相同第3課時 組 合基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說，從n個不同元素中，任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2排列與組合的共同點，就是都要“從n個不同元素中，任取個元素”，而不同點就是前者要“按一定的順序成一列”，而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cmn表示組合數(shù)公式 在求具體的組合數(shù)時，常用上面的公式，分子由連續(xù)個自然數(shù)之積，最大的數(shù)為，最小的數(shù)是，分母是，如果進行抽象的證明時，一般常用下面的公式 ，它的分子是，分母是與的積3組合數(shù)性質(zhì)： 典型例題例1. 某培訓(xùn)班有學(xué)生15名，其中正副班長各一名，先選派5名學(xué)生參加某種課外活動.(1) 如果班長和副班長必須在內(nèi)有多少種選派法.(2) 如果班長和副班長有且只有1人在內(nèi)有多少種派法.(3) 如果班長和副班長都不在內(nèi)有多少種派法.(4) 如果班長和副班長至少有1人在內(nèi)，有多少種派法.解；(1) 286 (2) 1430 (3) 1287(4) 1716變式訓(xùn)練1：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4個人中必須既有男生又有女生，則不同的選法有（ ）A140B120 C35D34 解：D例2. 從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( )A、108種 B、186種 C.216種 D、270種解：沒有女生的選法有, 至少有1名女生的選法有種,所以選派方案總共有：31×=186種。 故選B.變式訓(xùn)練2：從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任(每班一位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有（ ）A210種B420種 C630種D840種解：B例3. (1) 把10本相同的書分給編號1,2,3的閱覽室，要求每個閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號數(shù)，則不同的分法有多少種？(2) 以平行六面體ABCDA1B1C1D21的任意三個點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面情況有多少種？(3) 一次文藝演出中需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈15只，現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺效果，設(shè)計者按照每次亮燈時恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時關(guān)掉，兩端的燈必須要亮的要求進行設(shè)計，求有多少不同的亮燈方式？解：（1）先在編號為1，2，3的閱覽室中依次放入0，1，2本書，再用隔板法分配剩下的書有15種，（2）平行六面體中能構(gòu)成三角形個數(shù)56為任取兩個有種情況，其中共面的有12，因而不共面的有12種 （3）變式訓(xùn)練3：馬路上有編號為1， 2， 3， 4.10的十盞路燈，為節(jié)約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)有_種.解：20 用插排法，把七盞亮燈排成一排，七盞亮燈之間有6個間隔，再將三盞不亮的燈插入其中的3個間隔，一種插法對應(yīng)一種關(guān)燈的方法，故有種關(guān)燈方法例4. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，(1) 在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？(2) 在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法解：(1)四個點共面的取法可分三類第一類：再同一個面上取，共有4個面；第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有6個面；第三類：在六條棱的六個中點中取，取兩對對棱的4個中點，共有3個面故有69種(2) 用間接法共141個面變式訓(xùn)練4：在1， 2， 3100這100個數(shù)中任選不同的兩個數(shù)，求滿足下列條件時各有多少種不同的取法(1) 其和是3的倍數(shù) (2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)). (3) 相加，共有多少個不同的和. (4) 相乘，使其積為7的倍數(shù).解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295小結(jié)歸納1解有關(guān)組合應(yīng)用問題時，首先要判斷這個問題是不是組合問題區(qū)別組合問題和排列問題的唯一標準是“順序”需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題2要注意準確理解“有且僅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義3組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理另外有的問題也可用框圖結(jié)合對應(yīng)思想來處理。4避免重復(fù)和遺漏第4課時 排列組合綜合題基礎(chǔ)過關(guān)1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉法、隔板法、對稱法；常用的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論、思想轉(zhuǎn)化、化歸思想、對應(yīng)思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個原則(1)按元素性質(zhì)進行分類(2)按事情發(fā)生的過程進行分步.3處理排列組合綜合性問題時一般方法是先取(選)后排，但有時也可以邊取(選)邊排.4對于有多個約束條件的問題，先應(yīng)該深入分析每個約束條件，再綜合考慮如何分類或分步，但對于綜合性較強的問題則需要交叉使用兩個原理來解決問題.典型例題例1. 五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（1）甲必須在排頭；（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾；（3）甲、乙必須在兩端；（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在兩端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相鄰；（9）甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰；（10）甲、乙、丙不全相鄰解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有種，再排其它4個位置有種，所以共有：×=24種（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：××=6種（3）首先排兩端有種，再排中間有種，所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：×=12種（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：2+=78種（5）因為兩端位置符合條件的排法有種，中間位置符合條件的排法有種，所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為×=36種（6）因為甲、乙共有2！種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：÷2！=60種（7）因為甲、乙、丙共有3！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：÷3！=20種（8）把甲、乙看成一個人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為×=48種（9）首先排甲、乙、丙外的兩個有，從而產(chǎn)生3個空，把甲、乙看成一個人與丙插入這3個空中的兩個有，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排法種數(shù)為××=24種（10）因為甲、乙、丙相鄰有×，所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為×=84種變式訓(xùn)練1：某棟樓從二樓到三樓共10級，上樓只許一步上一級或兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則不同的上樓方法有（ ）A45種B36種 C28種D25種解：C. 8步走10級，則其中有兩步走兩級，有6步走一級一步走兩級記為a，一步走一級記為b，所求轉(zhuǎn)化為2個a和6個b排成一排，有多少種排法故上樓的方法有C28種；或用插排法例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，則不同的選派方案菜有多少處？(2) 5名乒乓選手的球隊中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有多少種？解：（1）分類：第一為甲丙都去，第二類不去共有種（2）分類：第一類兩名老隊員都去，第二類去一名老隊員共有種變式訓(xùn)練2：某班新年聯(lián)歡會原定的六個節(jié)目已安排成節(jié)目單，開演前又增加了三個新節(jié)目，如果將這三個節(jié)目插入原來的節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)是（ ）A504B210 C336D120 解：A504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a，b，c是從集合-3，-2，-1，0，1，2，3中取出的三個不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請問這樣的直線有多少條？解：首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對“a，b，c”的情況討論。設(shè)直線的傾斜角為，并且為銳角。則tan=0,不妨設(shè)ab,那么b0當c0時,則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有3×3×4=36條當c=0時, a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有3×3-2=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓(xùn)練3：將5名大學(xué)生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個部門中去，要求每個部門至少分配一人，則不同的分配方案共有_種.解： 例4. 從集合1，2，3，20中任選3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解：a，b，c a，b，c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，故滿足題設(shè)的等差數(shù)列共有AA180(個)變式訓(xùn)練4：某賽季足球比賽中的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一球 隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝負平的情況共有多少種？解：設(shè)該隊勝負平的情況是：勝x場，負y場，則平15(xy)場，依題意有：x9 。故有3種情況，即勝、負、平的場數(shù)是：9，0，6；10，2，3；11，4，0小結(jié)歸納1排列組合應(yīng)用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循，背景陌生時，必須認真審題，把握問題的本質(zhì)特征，并善于把問題轉(zhuǎn)化為排列組合的常規(guī)模式進而求解.2排列組合應(yīng)用題題形多變，但首先要弄清是有序還是無序，這是一個核心問題.3對于用直接法解較難的問題時，則采用間接法解. 基礎(chǔ)過關(guān)第5課時 二項式定理1(ab)n (nN)，這個公式稱做二項式定理，右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式，其中的系數(shù) 叫做二項式系數(shù)式中的 叫做二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項公式Tr1 是表示展開式的第r1項2二項式定理中，二項式系數(shù)的性質(zhì)有： 在二項式展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項二項式系數(shù)相等，即： 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即當n是偶數(shù)時，n+1是奇數(shù)，展開式共有n+1項，中間一項，即：第 項的二項式系數(shù)最大，為 ；當n是奇數(shù)時，n+1是偶數(shù)，展開式共有n+1項，中間兩項，即第 項及每 項，它們的二項式系數(shù)最大，為 二項式系數(shù)的和等于，即 二項展開式中，偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項的系數(shù)和 即 展開式中相鄰兩項的二項式系數(shù)的比是：3二項式定理主要有以下應(yīng)用近似計算解決有關(guān)整除或求余數(shù)問題用二項式定理證明一些特殊的不等式和推導(dǎo)組合公式（其做法稱為“賦值法”）注意二項式定理只能解決一些與自然數(shù)有關(guān)的問題 楊輝三角形典型例題例1. (1) （06湖南理11）若(ax1)5的展開式中x3的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值是 (2) （06湖北文8）在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的有 項(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6展開式中x2項的系數(shù)為 解：（1）2 （2）5項 （3）35變式訓(xùn)練1：若多項式, 則( )A、9 B、10 C、9 D、10解：根據(jù)左邊的系數(shù)為1,易知，左邊的系數(shù)為0,右邊的系數(shù)為, 故選D。 例2. 已知f(x)(1+x)m+(1+x)n，其中m、nN展開式中x的一次項系數(shù)為11，問m、n為何值時，含x3項的系數(shù)取得最小值？最小值是多少？ 由題意，則含x3項的系數(shù)為，當n5或6時x3系數(shù)取得最小值為30變式訓(xùn)練2：分已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為,其中,則展開式中常數(shù)項是( )A、 45i B、 45i C、 45 D、45解析： 第三項,第五項的系數(shù)分別為,依據(jù)題意有：,整理得即解方程(n10)(n5)0,當 時,有r=8,故常數(shù)項為=45 故選D例3. 若求（）+（）+（）解：對于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+（）=原式：（）+（）+（）=2004注意：“二項式系數(shù)”同二項式展開式中“項的系數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系.變式訓(xùn)練3：若，則的值是（ ）AB1 C0D2解：A例4. 已知二項式，（nN）的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，（1）求展開式中各項的系數(shù)和（2）求展開式中系數(shù)最大的項以及二項式系數(shù)最大的項解：（1）第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，解得n=8令x=1得到展開式中各項的系數(shù)和為(1-2)=1(2) 展開式中第r項, 第r+1項,第r+2項的系數(shù)絕對值分別為,若第r+1項的系數(shù)絕對值最大,則必須滿足： 并且 ，解得5r6；所以系數(shù)最大的項為T=1792；二項式系數(shù)最大的項為T=1120變式訓(xùn)練4：已知()n的第5項的二項式系數(shù)與第三項的二項系數(shù)的比是14:3，求展開式中不含x的項.求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展開式中x2項的系數(shù).解：小結(jié)歸納1注意(ab)n及(ab)n展開式中，通項公式分別為及這里且展開式都有n+1項，在使用時要注意兩個公式的區(qū)別，求二項式的展開式中的指定項，要扣住通項公式來解決問題2二項式的展開式中二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān)，與二項式無關(guān)，后者與二項式，二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關(guān)3應(yīng)用二項式定理計算一個數(shù)的乘方的近似值時，應(yīng)根據(jù)題設(shè)中對精確度的要求，決定展開式中各項的取舍4求余數(shù)或證明整除問題，被除數(shù)是冪指數(shù)問題時，解決問題的關(guān)鍵是將底數(shù)轉(zhuǎn)化為除數(shù)的倍數(shù)加1或減1通過練習要仔細地去體會其中的變形技巧排列組合二項式定理章節(jié)測試題一、選擇題：1. 的展開式中的系數(shù)為（ ）A10 B5 C D11233122312.將1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（ ）A6種B12種C24種D48種3. 的展開式中的系數(shù)是（ ）A B C3 D4 4.設(shè)則中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A2B3C4D55. 12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是 ( )A B CD 6.某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）A.14 B.24 C7.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為（ ） A.100 B.110 C8.某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度啟動的項目，則重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是( )A15 B45 C60 D759. 展開式中的常數(shù)項為（ ） A1 B C D10. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）ABCD11.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）A24種B36種C48種D72種12.在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27413.若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為（ ）(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題：14.從10名男同學(xué)，6名女同學(xué)中選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的不同選法共有 種（用數(shù)字作答）15. 的展開式中常數(shù)項為 ；各項系數(shù)之和為 （用數(shù)字作答）16.（x+）9展開式中x2的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）17.記的展開式中第m項的系數(shù)為，若，則=_.18. 展開式中的常數(shù)項為 19.的展開式中的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)20.某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種（用數(shù)字作答）21. 展開式中的系數(shù)為_。22.從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加某校公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有_種。23. 的二項展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 24.有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）25.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是 （用數(shù)字作答) 三、解答題26由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字。（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（3）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被25個整除的四位數(shù)？（4）組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個？27已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列（1）求n的值；（2）求展開式中系數(shù)最大的項