2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準提分練習(xí)第二篇 第27練

第27練導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值壓軸大題突破練明晰考情1.命題角度：討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是高考的熱點.2.題目難度：偏難題.考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法技巧(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注意等號成立的檢驗).(3)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上有解.1.已知函數(shù)f(x)ln x，其中常數(shù)k>0，討論f(x)在(0，2)上的單調(diào)性.解因為f(x)1(x>0，k>0).當0<k<2時，>k>0，且>2，所以當x(0，k)時，f(x)<0，當x(k，2)時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)；當k2時，k2，f(x)<0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是減函數(shù)；當k>2時，0<<2，k>，所以當x時，f(x)<0；當x時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).綜上可知，當0<k<2時，f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k，2)上是增函數(shù)；當k2時，f(x)在(0，2)上是減函數(shù)；當k>2時，f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)aln(x1)axx2，討論f(x)在定義域上的單調(diào)性.解f(x)a2x，令f(x)0，得x0或x，又f(x)的定義域為(1，)，當1，即當a0時，若x(1，0)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x(0，)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.當10，即2a0時，若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x(0，)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.當0，即a2時，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減.當0，即a2時，若x(1，0)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；若x，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減.綜上，當a0時，f(x)在(1，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減；當2a0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減；當a2時，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減；當a2時，f(x)在(1，0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3.設(shè)函數(shù)f(x)(aR).(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.解(1)對f(x)求導(dǎo)，得f(x)，因為f(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.當a0時，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，從而f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，化簡得3xey0.(2)由(1)知，f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.當xx1時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當x1xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù).由f(x)在3，)上為減函數(shù)知，x23，解得a，故a的取值范圍為.4.已知函數(shù)f(x)x22aln x(a2)x.(1)當a1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.解(1)當a1時，f(x)x22ln x3x(x>0)，則f(x)x3.當0<x<1或x>2時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當1<x<2時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，2).(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使g(x)f(x)ax在(0，)上是增函數(shù)，則g(x)f(x)ax20恒成立，即0在(0，)上恒成立，x22x2a0在(0，)上恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2，x(0，)的最小值為.當a時，g(x)0恒成立.又當a時，g(x)，當且僅當x1時，g(x)0.故當a時，g(x)f(x)ax在(0，)上單調(diào)遞增.考點二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值要點重組(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點.(2)極值點不是一個點，而是一個數(shù)x0，當xx0時，函數(shù)取得極值，在x0處，f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.(3)一般地，在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)yf(x)在a，b上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間的端點處取得.5.已知函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x.(1)當a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當a<0時，求函數(shù)f(x)在上的最小值.解(1)由函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x，可得f(x)2ax(12a)，a>0，x>0，>0，令f(x)>0，即x1>0，得x>1，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).(2)由(1)可得f(x)，a<0，令f(x)0，得x1，x21，當>1，即<a<0時，f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，f(x)在上的最小值為f(1)1a；當1，即1a時，當x時，f(x)0；當x時，f(x)0，因此f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f1ln(2a)；當<，即a<1時，f(x)在上是增函數(shù)，f(x)的最小值為faln 2.綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值為f(x)min6.討論函數(shù)f(x)ln(x1)a(x2x)(aR)的極值點的個數(shù).解由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為(1，)，f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1，x(1，).當a0時，g(x)1，此時f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，無極值點；當a0時，令2ax2axa10，則a28a(1a)a(9a8).當0a時，0，g(x)0.故f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，無極值點；當a時，0.設(shè)方程2ax2axa10的兩根分別為x1，x2(x1x2)，因為x1x2，所以x1，x2，由g(1)10，可得1x1.所以當x(1，x1)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(x1，x2)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(x2，)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點；當a0時，0，由g(1)10，可得x11.當x(1，x2)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(x2，)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)有一個極值點.綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)有一個極值點；當0a時，函數(shù)f(x)無極值點；當a時，函數(shù)f(x)有兩個極值點.7.已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對任意x>0，均有x(2ln aln x)a恒成立，求正數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)，x(0，).當a0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，無極值；當a>0，x(0，a)時，f(x)<0，f(x)在(0，a)上為減函數(shù)；x(a，)時，f(x)>0，f(x)在(a，)上為增函數(shù)，所以f(x)在(0，)上有極小值，無極大值，f(x)的極小值為f(a)ln a1.(2)若對任意x>0，均有x(2ln aln x)a恒成立，即對任意x>0，均有2ln aln x恒成立，由(1)可知f(x)的最小值為ln a1，問題轉(zhuǎn)化為2ln aln a1，即ln a1，故0<ae，故正數(shù)a的取值范圍是(0，e.典例(12分)設(shè)函數(shù)f(x)a2x2ln x(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)如果函數(shù)f(x)的圖象不在x軸的下方，求實數(shù)a的取值范圍.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評分標準解(1)f(x)a2x(x0).1分當a0時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.當a0時，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.3分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當a<0時，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)<0，得0x<.5分所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，當a0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；當a0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當a0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.6分(2)f(x)的圖象不在x軸的下方，即當x0時，f(x)0恒成立，所以a2x2ln x0，即a2.7分令h(x)(x0)，則h(x)，9分由h(x)0，得0x；由h(x)0，得x.故h(x)在(0，上單調(diào)遞增，在，)上單調(diào)遞減.當x時，h(x)取得最大值.所以a2，解得a或a.11分故實數(shù)a的取值范圍是.12分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f(x).第二步轉(zhuǎn)化：“判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(最值)”常轉(zhuǎn)化為“判斷f(x)的符號”，“切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點坐標”，常轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，“恒成立問題”常轉(zhuǎn)化為“求最值”等.第三步求解：根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問題.第四步反思：單調(diào)區(qū)間不能用“”連接；范圍問題的端點能否取到.1.(2016·北京)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)f(x)的定義域為R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題意可知，即解得a2，be.(2)由(1)知，f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號.令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增.故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，).2.已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR).若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解函數(shù)f(x)ln xa2x2ax的定義域為(0，)，f(x)2a2xa.方法一當a0時，f(x)0，所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；當a0時，令f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a1；當a0時，f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x.此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.依題意，得解得a.綜上，實數(shù)a的取值范圍是1，).方法二當a0時，f(x)0，所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；當a0時，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，只需f(x)0在區(qū)間1，)上恒成立.因為x0，所以只要2a2x2ax10在區(qū)間1，)上恒成立.所以解得a1或a.綜上，實數(shù)a的取值范圍是1，).3.已知函數(shù)f(x)x3ax2，其中參數(shù)aR.(1)當a2時，求曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.解(1)由題意得f(x)x2ax，所以當a2時，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因為g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x).令h(x)xsin x，則h(x)1cos x0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為h(0)0，所以當x>0時，h(x)>0；當x<0時，h(x)<0.當a<0時，g(x)(xa)(xsin x)，當x(，a)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x(a，0)時，xa>0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x(0，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以當xa時，g(x)取到極大值，極大值是g(a)a3sin a；當x0時，g(x)取到極小值，極小值是g(0)a.當a0時，g(x)x(xsin x)，當x(，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增，g(x)無極大值也無極小值.當a>0時，g(x)(xa)(xsin x)，當x(，0)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x(0，a)時，xa<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x(a，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以當x0時，g(x)取到極大值，極大值是g(0)a；當xa時，g(x)取到極小值，極小值是g(a)a3sin a.綜上所述，當a<0時，函數(shù)g(x)在(，a)和(0，)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(a)a3sin a，極小值是g(0)a；當a0時，函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值；當a>0時，函數(shù)g(x)在(，0)和(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(0)a，極小值是g(a)a3sin a.4.已知函數(shù)f(x)axln xx2.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a1，x1(1，2)，x2(1，2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)依題意知，當a1時，f(x)xln xx2，f(x)12x，因為x(0，)，故當x(0，1)時，f(x)0，當x(1，)時，f(x)0，故當x1時，f(x)有極小值，極小值為f(1)0，無極大值.(2)當a1時，f(x)xln xx2.因為x1(1，2)，x2(1，2)，使得f(x1)xmx2mx(m0)，故ln x1x1mxmx2.設(shè)h(x)ln xx，g(x)mx3mx，當x(1，2)時，h(x)10，即函數(shù)h(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，故h(x)的值域為A(ln 22，1).又g(x)mx2mm(x1)(x1).當m0時，g(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，此時g(x)的值域為B，因為AB，又01，故ln 22，即mln 23；當m0時，g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，此時g(x)的值域為B，因為AB，又01，故ln 22，故m(ln 22)3ln 2.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.