2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)學(xué)案 文

突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)核心知識提煉提煉1 圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系在橢圓中：a2b2c2；離心率為e；在雙曲線中：c2a2b2；離心率為e.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)；雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程拋物線y2±2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x；拋物線x2±2py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.提煉2 弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交時的弦長斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)拋物線焦點(diǎn)弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2；弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切高考真題回訪回訪1圓錐曲線的定義與方程1(2015·全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y21法一：雙曲線的漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，164×()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二：漸近線yx過點(diǎn)(4,2)，而<2，點(diǎn)(4，)在漸近線yx的下方，在yx的上方(如圖)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知條件可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.2(2013·全國卷改編)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，則C的方程為_1(x2)由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)回訪2圓錐曲線的重要性質(zhì)3(2017·全國卷)若a>1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，)B(，2)C(1，) D(1,2)C由題意得雙曲線的離心率e.e21.a1，01，112，1e.故選C.4(2016·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0，b)和一個焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B.回訪3弦長問題5(2015·全國卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則|AB|()A3 B6 C9 D12B拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xAxB2，將xA2代入橢圓方程可得|yA|3，由圖象可知|AB|2|yA|6.故選B.熱點(diǎn)題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程題型分析：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是高考?？純?nèi)容，主要以選擇、填空的形式考查，解題時分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數(shù)法求“值”【例1】(1)(2017·哈爾濱模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為() 【導(dǎo)學(xué)號：04024108】A.1B1C.y21 Dx21(2)(2016·通化一模)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個交點(diǎn)，若4，則|QF|()A.B3 C.D2(1)D(2)B(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線yx上由AOF是邊長為2的等邊三角形得到AOF60°，c|OF|2.又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線yx上，tan 60°.又a2b24，a1，b，雙曲線的方程為x21.故選D.(2)如圖所示，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)Q作QMl垂足為M，則MQx軸，所以，所以|MQ|3，由拋物線定義知|QF|QM|3.方法指津求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”1定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程2計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)mx2ny21(m0，n0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)變式訓(xùn)練1 (1)(2016·鄭州二模)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 【導(dǎo)學(xué)號：04024109】A.1 B.y21C.1 D.1(2)(2017·衡水模擬)已知A(1,0)，B是圓F：x22xy2110(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1(1)A(2)D(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx，即kxy0，由題意知1，解得k±，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為1，則有解得故選A.(2)由題意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，且a，c1，b，動點(diǎn)P的軌跡方程為1，故選D.熱點(diǎn)題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點(diǎn)之一，建立關(guān)于a，c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵【例2】(1)(2017·全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則APF的面積為()A. B.C. D.(2)(2017·合肥二模)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn)，滿足PF2F1F2，點(diǎn)Q在線段PF1上，且2.若·0，則e2()A.1 B2C2 D.2(1)D(2)C(1)因?yàn)镕是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)因?yàn)镻Fx軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以41，解得yP±3，所以P(2，±3)，|PF|3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，所以SAPF×|PF|×1×3×1.故選D.(2)由PF2F1F2可得P，不妨設(shè)P，又由2得Q，則··0，整理得b42a2c2，(a2c2)22a2c2，整理得c44a2c2a40，即e44e210，又橢圓離心率0e1，解得e22，故選C.方法指津1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程變式訓(xùn)練2 (1)(2016·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B.C. D2(2)(名師押題)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為() 【導(dǎo)學(xué)號：04024110】A. B2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一：如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.法二：如圖，因?yàn)镸F1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)設(shè)|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長為4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.9