浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題七 第2講 不等式選講選修45

考 點(diǎn) 考 情 絕對(duì)值不等式的求解高考對(duì)本講內(nèi)容的考查主要有：(1)不等式性質(zhì)的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，如陜西T15A.(2)不等式的證明，如江蘇T21D.(3)與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題的求解.與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題不等式的證明與綜合應(yīng)用1(20xx·福建高考)設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)因?yàn)锳，且A，所以<a，且a，解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)所以f(x)的最小值為3.2(20xx·江蘇高考)已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3(20xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又因?yàn)閒(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.1絕對(duì)值不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|c(c>0)caxbc.(2)|axb|c(c>0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對(duì)值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想(2)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想(3)通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖像求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想4證明不等式的基本方法(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法5二維形式的柯西不等式若a，b，c，dR，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立.熱點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的求解例1(20xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值自主解答(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無(wú)解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.規(guī)律·總結(jié)絕對(duì)值不等式的求解方法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c>0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可；(2)若c<0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.2.|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0，求出相應(yīng)的根；(2)把這些根由小到大排序，它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間；(3)在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集；(4)這些解集的并集就是原不等式的解集.1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)證明：當(dāng)x2時(shí)，f(x)2x(5x)3；當(dāng)2<x<5時(shí)，f(x)x2(5x)2x7，所以3<f(x)<3；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x2(x5)3.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15x28x180(x4)220，無(wú)解，所以f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2<x<5時(shí)，f(x)x28x15x210x2205x5，所以f(x)x28x15的解集為x|5x<5；當(dāng)x5時(shí)，f(x)x28x15x28x1202x6，所以f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上，不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6熱點(diǎn)二與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題例2(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍自主解答(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y<0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.規(guī)律·總結(jié)1解決含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題，常用以下兩種方法：(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決；(2)借助于絕對(duì)值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍2解答此類問(wèn)題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無(wú)解f(x)maxa；f(x)<a無(wú)解f(x)mina.2已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)>5的解集為x|x>2或x<3(1)求a的值；(2)若不等式f(x)fk在R上有解，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|>5得ax>4或ax<6.又f(x)>5的解集為x|x>2或x<3，當(dāng)a>0時(shí)，解得x>或x<，則a2；當(dāng)a0時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證不合題意綜上，a2.(2)設(shè)g(x)f(x)f，則g(x)則函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖像可知，g(x)，故原不等式在R上有解時(shí)，k.即k的取值范圍是.熱點(diǎn)三不等式的證明例3(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1) abbcac；(2) 1.自主解答(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcac.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ac1.所以3(abbcac)1，即abbcac.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.規(guī)律·總結(jié)不等式證明的常用方法是：比較法、綜合法與分析法其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，主要是運(yùn)用基本不等式與柯西不等式證明，與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式證明過(guò)程中一方面要注意不等式成立的條件，另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形3(1)設(shè)ab0，證明：3a32b33a2b2ab2；(2)證明：a68b6c62a2b2c2；(3)若a，b，c為正實(shí)數(shù)，證明：a24b29c22ab3ac6bc.證明：(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b2>0.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c63 3×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.熱點(diǎn)四不等式的綜合應(yīng)用例4已知a，b為正實(shí)數(shù)(1)求證：ab；(2)利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)y(0<x<1)的最小值自主解答(1)證明：法一：a>0，b>0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立法二：(ab)，又a>0，b>0，0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立ab.(2)0<x<1，1x>0，由(1)的結(jié)論，得函數(shù)y(1x)x1，當(dāng)且僅當(dāng)1xx，即x時(shí)等號(hào)成立函數(shù)y(0<x<1)的最小值為1.規(guī)律·總結(jié)基本不等式和柯西不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用，運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意其條件“一正、二定、三相等”；運(yùn)用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行巧妙的拼湊，構(gòu)造出柯西不等式的形式4已知函數(shù)f(x)2.(1)求證：f(x)5，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)證明：由柯西不等式得(2)2(2212)·()2()225，所以f(x)25，當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)等號(hào)成立(2)由(1)知f(x)5，又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3，故m的取值范圍是(，37，)