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【名校資料】高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案14

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【名校資料】高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案14

+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+學(xué)案14導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用0導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件,會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值自主梳理1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系:(1)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是_函數(shù),f(x)>0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為_區(qū)間;(2)若f(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是_函數(shù),f(x)<0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為_區(qū)間;(3)若在(a,b)上,f(x)0,且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零f(x)在(a,b)上為_函數(shù),若在(a,b)上,f(x)0,且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零f(x)在(a,b)上為_函數(shù)2函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí),如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極大值;如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么f(x0)是極小值(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求f(x);求方程_的根;檢查f(x)在方程_的根左右值的符號如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得_;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得_自我檢測1.已知f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則 ()Af(x)在x1處取得極小值Bf(x)在x1處取得極大值Cf(x)是R上的增函數(shù)Df(x)是(,1)上的減函數(shù),(1,)上的增函數(shù)2(2009·廣東)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A(,2)B(0,3)C(1,4)D(2,)3(2011·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)yf(x),其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則yf(x)()A在(,0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4,)上為減函數(shù)D在x2處取極大值4設(shè)p:f(x)x32x2mx1在(,)內(nèi)單調(diào)遞增,q:m,則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5(2011·福州模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取極值10,則f(2)_.探究點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性例1已知aR,函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR,e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(3)函數(shù)f(x)能否為R上的單調(diào)函數(shù),若能,求出a的取值范圍;若不能,請說明理由變式遷移1(2009·浙江)已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線斜率是3,求a,b的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍探究點(diǎn)二函數(shù)的極值例2若函數(shù)f(x)ax3bx4,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)有極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程f(x)k有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍變式遷移2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)試判斷x1,x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由探究點(diǎn)三求閉區(qū)間上函數(shù)的最值例3(2011·六安模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc,曲線yf(x)在點(diǎn)x1處的切線為l:3xy10,若x時(shí),yf(x)有極值(1)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值變式遷移3已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)a,bR),g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式;(2)討論g(x)的單調(diào)性,并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值和最小值分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例(12分)(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)x2ax(a1)ln x,a>1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:若a<5,則對任意x1,x2(0,),x1x2,有>1.多角度審題(1)先求導(dǎo),根據(jù)參數(shù)a的值進(jìn)行分類討論;(2)若x1>x2,結(jié)論等價(jià)于f(x1)x1>f(x2)x2,若x1<x2,問題等價(jià)于f(x1)x1<f(x2)x2,故問題等價(jià)于yf(x)x是單調(diào)增函數(shù)【答題模板】(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,)f(x)xa.2分若a11,即a2時(shí),f(x).故f(x)在(0,)上單調(diào)遞增若a1<1,而a>1,故1<a<2時(shí),則當(dāng)x(a1,1)時(shí),f(x)<0;當(dāng)x(0,a1)及x(1,)時(shí),f(x)>0,故f(x)在(a1,1)上單調(diào)遞減,在(0,a1),(1,)上單調(diào)遞增若a1>1,即a>2時(shí),同理可得f(x)在(1,a1)上單調(diào)遞減,在(0,1),(a1,)上單調(diào)遞增6分(2)證明考慮函數(shù)g(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.則g(x)x(a1)2(a1)1(1)2.由于1<a<5,故g(x)>0,即g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,從而當(dāng)x1>x2>0時(shí),有g(shù)(x1)g(x2)>0,即f(x1)f(x2)x1x2>0,故>1.10分當(dāng)0<x1<x2時(shí),有>1.綜上,若a<5,對任意x1,x2(0,),x1x2有>1.12分【突破思維障礙】(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式的解集,一般就是歸結(jié)為一個(gè)一元二次不等式的解集的討論,在能夠通過因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于0的根的情況下,根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn);(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問題1求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(x),令f(x)0,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根;(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間;(4)確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)f(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性2可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件:(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x0一定滿足f(x0)0,但當(dāng)f(x1)0時(shí),x1不一定是極值點(diǎn)如f(x)x3,f(0)0,但x0不是極值點(diǎn)(2)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號不同3函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的,函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的函數(shù)的極值可以有多有少,但最值只有一個(gè),極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)取得,有極值的未必有最值,有最值的未必有極值,極值可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)必定是極值4求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具,先找到極值點(diǎn),再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值 (滿分:75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1(2011·大連模擬)設(shè)f(x),g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),f(x)、g(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù),且f(x)·g(x)f(x)g(x)<0,則當(dāng)a<x<b時(shí),有 ()Af(x)g(b)>f(b)g(x)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(x)>f(b)g(b)Df(x)g(x)>f(a)g(a)2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn) ()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3(2011·嘉興模擬)若函數(shù)ya(x3x)在區(qū)間上為減函數(shù),則a的取值范圍是 ()Aa>0B1<a<0Ca>1D0<a<14已知函數(shù)f(x)x42x33m,xR,若f(x)90恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()AmBm>CmDm<5設(shè)aR,若函數(shù)yeax3x,xR有大于零的極值點(diǎn),則 ()Aa>3Ba<3Ca>Da<題號12345答案二、填空題(每小題4分,共12分)6(2009·遼寧)若函數(shù)f(x)在x1處取極值,則a_.7已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示,給出以下結(jié)論:函數(shù)f(x)在(2,1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù);函數(shù)f(x)在(2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù),在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù);函數(shù)f(x)在x1處取得極大值,在x1處取得極小值;函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號是_(填上所有正確命題的序號)8已知函數(shù)f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_三、解答題(共38分)9(12分)求函數(shù)f(x)的極值10(12分)(2011·秦皇島模擬)已知a為實(shí)數(shù),且函數(shù)f(x)(x24)(xa)(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x);(2)若f(1)0,求函數(shù)f(x)在2,2上的最大值、最小值11(14分)(2011·汕頭模擬)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(diǎn)(1,6),且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱(1)求m,n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a>0,求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1,a1)內(nèi)的極值答案 自主梳理1(1)增增(2)減減(3)增減2.(1)f(x)>0f(x)<0f(x)<0f(x)>0(2)f(x)0f(x)0極大值極小值自我檢測1C2.D3.C4.C518解析f(x)3x22axb,由題意即得a4,b11或a3,b3.但當(dāng)a3時(shí),f(x)3x26x30,故不存在極值,a4,b11,f(2)18.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地,涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題,往往可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間,就是不等式f(x)>0或f(x)<0在定義域內(nèi)有解這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)問題,通常是解決一個(gè)恒成立問題,方法有分離參數(shù)法,利用二次函數(shù)中恒成立問題解決(3)一般地,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件是:對任意x(a,b),都有f(x)0(或f(x)0),且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí),要注意“等號”是否可以取到解(1)當(dāng)a2時(shí),f(x)(x22x)ex,f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0,即(x22)ex>0,ex>0,x22>0,解得<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,)(2)函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增,f(x)0對x(1,1)都成立f(x)x2(a2)xaexx2(a2)xaex0對x(1,1)都成立ex>0,x2(a2)xa0對x(1,1)都成立,即x2(a2)xa0對x(1,1)恒成立設(shè)h(x)x2(a2)xa只須滿足,解得a.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f(x)0對xR都成立,即x2(a2)xaex0對xR都成立ex>0,x2(a2)xa0對xR都成立(a2)24a0,即a240,這是不可能的故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則f(x)0對xR都成立,即x2(a2)xaex0對xR都成立ex>0,x2(a2)xa0對xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立,故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)變式遷移1解(1)由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2),又,解得b0,a3或a1.(2)由f(x)0,得x1a,x2.又f(x)在(1,1)上不單調(diào),即或解得或所以a的取值范圍為(5,)(,1)例2解題導(dǎo)引本題研究函數(shù)的極值問題利用待定系數(shù)法,由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,以及極大值、極小值,建立方程組求解判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性,然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值解(1)由題意可知f(x)3ax2b.于是,解得故所求的函數(shù)解析式為f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表所示:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此,當(dāng)x2時(shí),f(x)有極大值,當(dāng)x2時(shí),f(x)有極小值,所以函數(shù)的大致圖象如圖,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(,)變式遷移2解(1)f(x)2bx1,.解得a,b.(2)f(x)()1.函數(shù)定義域?yàn)?0,),列表x(0,1)1(1,2)2(2,)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減x1是f(x)的極小值點(diǎn),x2是f(x)的極大值點(diǎn)例3解題導(dǎo)引設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟:(1)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb,當(dāng)x1時(shí),切線l的斜率為3,可得2ab0;當(dāng)x時(shí),yf(x)有極值,則f0,可得4a3b40.由解得a2,b4,又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1),得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,得x2或x,f(x)<0的解集為,即為f(x)的減區(qū)間3,2)、是函數(shù)的增區(qū)間又f(3)8,f(2)13,f,f(1)4,yf(x)在3,1上的最大值為13,最小值為.變式遷移3解(1)由題意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(x)g(x),即對任意實(shí)數(shù)x,有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb,從而3a10,b0,解得a,b0,因此f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x,所以g(x)x22,令g(x)0,解得x1,x2,則當(dāng)x<或x>時(shí),g(x)<0,從而g(x)在區(qū)間(,),(,)上是減函數(shù);當(dāng)<x<時(shí),g(x)>0,從而g(x)在區(qū)間(,)上是增函數(shù)由前面討論知,g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1,2時(shí)取得,而g(1),g(),g(2).因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g(),最小值為g(2).課后練習(xí)區(qū)1C2.A3.A4.A5.B63解析f(x)(),又x1為函數(shù)的極值,f(1)0.12×1a0,即a3.7解析觀察函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象,由單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系直接判斷8(,3)(6,)解析f(x)3x22mxm60有兩個(gè)不等實(shí)根,則4m212×(m6)>0,m>6或m<3.9解f(x)(),由f(x)0得x2,1.(4分)當(dāng)x(,2)時(shí)f(x)<0,當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)>0,故x2是函數(shù)的極小值點(diǎn),故f(x)的極小值為f(2);(8分)當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)>0,當(dāng)x(1,)時(shí)f(x)<0,故x1是函數(shù)的極大值點(diǎn),所以f(x)的極大值為f(1)1.(12分)10解(1)由f(x)x3ax24x4a,得f(x)3x22ax4.(4分)(2)因?yàn)閒(1)0,所以a,所以f(x)x3x24x2,f(x)3x2x4.又f(x)0,所以x或x1.又f,f(1),f(2)0,f(2)0,所以f(x)在2,2上的最大值、最小值分別為、.(12分)11解(1)由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)(1,6),得mn3. 由f(x)x3mx2nx2,得f(x)3x22mxn,則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以0.所以m3,代入,得n0.(4分)于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)>0,得x>2或x<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)(2,);由f(x)<0,得0<x<2, 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(8分)(2)由(1)得f(x)3x(x2),令f(x)0,得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x)、f(x)的變化情況如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)極大值極小值 (10分)由此可得:當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)有極大值f(0)2,無極小值;當(dāng)a1時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)無極值;當(dāng)1<a<3時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)有極小值f(2)6,無極大值;當(dāng)a3時(shí),f(x)在(a1,a1)內(nèi)無極值(12分)綜上得:當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)有極大值2,無極小值;當(dāng)1<a<3時(shí),f(x)有極小值6,無極大值;當(dāng)a1或a3時(shí),f(x)無極值(14分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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