精修版數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習：第四講 二　用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 Word版含解析

精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理課時作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學歸納法證明1<n(nN，且n>1)時，第一步即證下述哪個不等式成立()A1<2B1<2C1<2 D1<2解析：nN，且n>1，第一步n2，左邊1，右邊2，即1<2，應(yīng)選C.答案：C2用數(shù)學歸納法證明不等式1>成立時，起始值n0至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用數(shù)學歸納法證明 “Sn>1(nN)”時，S1等于()A. BC. D解析：因為S1的首項為，末項為，所以S1，故選D.答案：D4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當“f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當k<5時，均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立，則當k8時，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則當k4時，均有f(k)k2成立解析：由題意設(shè)f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”因此，對于A，k1,2時不一定成立對于B，C顯然錯誤對于D，因為f(4)25>42，因此對于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當nk(kN)時命題成立，那么可推得當nk1時，命題也成立現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立解析：與“如果當nk(kN)時命題成立，那么可推得當nk1時命題也成立”等價的命題為“如果當nk1時命題不成立，則當nk(kN)時，命題也不成立”故知當n5時，該命題不成立，可推得當n4時該命題不成立，故選C.答案：C6觀察下列式子：1<，1<，1<，可歸納出一般性結(jié)論：_.解析：由題意得1<(nN)答案：1<(nN)7用數(shù)學歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在驗證n1時，左邊計算所得的項是_答案：cos 8用數(shù)學歸納法證明：2n1n2n2(nN)時，第一步應(yīng)驗證_答案：n1時，221212，即449證明不等式：1<2(nN)證明：(1)當n1時，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當nk(k1)時，命題成立，即1<2(kN)當nk1時，左邊1<2，現(xiàn)在只需證明<2，即證：2<2k1，兩邊平方，整理得0<1，顯然成立<2成立即1<2成立當nk1時，不等式成立由(1)(2)知，對于任何正整數(shù)n原不等式都成立10設(shè)Sn(nN)，設(shè)計算S1，S2，S3，并猜想Sn的表達式，然后用數(shù)學歸納法給出證明解析：S1，S2，S3，猜想Sn(nN)下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n1時，左邊S1，右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時等式成立，即，則當nk1時，這就是說，當nk1時，等式成立由(1)(2)可知，等式Sn對nN都成立B組能力提升1觀察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜測第n(nN)個不等式為()A1>B1>C1>D1>解析：1,3,7,15,31，的通項公式為an2n1，不等式左邊應(yīng)是1.，1，2，的通項公式為bn，不等式右邊應(yīng)是.答案：C2用數(shù)學歸納法證明不等式“>(n>2，nN)”時的過程中，由nk到nk1時，不等式的左邊()A增加了一項B增加了兩項，C增加了兩項，又減少了一項D增加了一項，又減少了一項解析：當nk時，左邊.當nk1時，左邊.故由nk到nk1時，不等式的左邊增加了兩項，又減少了一項答案：C3用數(shù)學歸納法證明某不等式，其中證nk1時不等式成立的關(guān)鍵一步是：>()>，括號中應(yīng)填的式子是_解析：由>k2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k2.答案：k24設(shè)a，b均為正實數(shù)，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a>0，b>0，x>0.由貝努利不等式得(1x)n>1nx.>，M>N答案：M>N5對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學歸納法證明，并再證明不等式：n(n1)·>lg(1·2·3··n)證明：猜想當t3時，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立下面用數(shù)學歸納法進行證明當n1時，313>112，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時，3k>k2成立，則有3kk21.對nk1,3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，對nk1，命題成立由上知，當t3時，對一切nN，命題都成立再用數(shù)學歸納法證明：n(n1)·>lg(1·2·3··n)當n1時，1×(11)×>0lg 1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時，k·(k1)·>lg(1·2·3··k)成立當nk1時，(k1)·(k2)·k(k1)·2(k1)·>lg(1·2·3··k)lg 3k1>lg(1·2·3··k)lg(k1)2lg1·2·3··k·(k1)，命題成立由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立6已知等比數(shù)列an的首項a12，公比q3，Sn是它的前n項和求證：.證明：由已知，得Sn3n1，等價于，即3n2n1.(*)法一：用數(shù)學歸納法證明上面不等式成立當n1時，左邊3，右邊3，所以(*)成立假設(shè)當nk時，(*)成立，即3k2k1，那么當nk1時，3k13×3k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以當nk1時，(*)成立綜合，得3n2n1成立所以.法二：當n1時，左邊3，右邊3，所以(*)成立當n2時，3n(12)nCC×2C×22C×2n12n>12n，所以(*)成立所以.最新精品資料