精修版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí)：第四講 一　數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理課時(shí)作業(yè) A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)nN時(shí)，122225n1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)原式為()A1B12C1234 D12222324解析：左邊122225n1，所以n1時(shí)，應(yīng)為1225×1112222324.答案：D2記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)()A. BC2 D答案：B3已知f(n)(2n7)·3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析：f(1)36，f(2)1083×36，f(3)36010×36，易知f(n)能被36整除，且36為m的最大值答案：C4某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明<n1(nN)”的過程如下：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然命題是正確的；(2)假設(shè)nk時(shí)有<k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)命題是正確的由(1)、(2)可知對于nN，命題都是正確的以上證法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于()A從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B歸納假設(shè)的寫法不正確C從k到k1的推理不嚴(yán)密D當(dāng)n1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體解析：證明<(k1)1時(shí)進(jìn)行了一般意義的放大而沒有使用歸納假設(shè)<k1.答案：A5用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)，則從nk到nk1時(shí)，左邊所要添加的項(xiàng)是()A. BC D解析：當(dāng)nk時(shí)，左邊1，當(dāng)nk1時(shí)，左邊1，由nk到nk1左邊增加了.答案：D6用數(shù)學(xué)歸納法證明2232n21(nN，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí)，命題成立，當(dāng)nk1時(shí)左邊的式子為_解析：由于n>1，第一步應(yīng)驗(yàn)證n2時(shí)，命題成立，當(dāng)nk1時(shí)，左邊的式子應(yīng)為2232k2(k1)2.答案：22232k2(k1)27用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，當(dāng)nk1時(shí)，為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將5k12k1變形為_解析：假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，5k2k能被3整除，則nk1時(shí)，5k12k15(5k2k)3·2k由假設(shè)知5k2k能被3整除，3·2k能被3整除故5·(5k2k)3·2k能被3整除答案：5·(5k2k)3·2k8設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)所以f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2)所以f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)9用數(shù)學(xué)歸納法證明：147(3n2)n(3n1)(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，當(dāng)n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)命題成立，即147(3k2)k(3k1)當(dāng)nk1時(shí)，147(3k2)3(k1)2k(3k1)(3k1)(3k25k2)(k1)(3k2)(k1)3(k1)1即當(dāng)nk1時(shí)命題成立綜上(1)(2)知，對于任意nN原命題成立10證明對任意正整數(shù)n,34n252n1能被14整除證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，34n252n1365385414×61能被14整除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即34k252k1能被14整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)252(k1)134k2×3452k1×5234k2×3452k1×3452k1×3452k1×5234(34k252k1)52k1(3452)34(34k252k1)56×52k1，因34k252k1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k1)252(k1)1能被14整除，故命題成立由(1)(2)知，命題對任意正整數(shù)n都成立B組能力提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：由條件知，左邊是從20,21一直到2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng)nk1時(shí)，左邊應(yīng)為12222k12k，而右邊應(yīng)為2k11.答案：D2k棱柱有f(k)個(gè)對角面，則k1棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()Af(k)k1 Bf(k)kCf(k)k1 Df(k)k2解析：當(dāng)k棱柱變?yōu)閗1棱柱時(shí)，新增的一條棱與和它不相鄰的k1條棱確定k2個(gè)對角面，而原來的一個(gè)側(cè)面變?yōu)閷敲?，所以共增加k1個(gè)對角面答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí)，由nk的假設(shè)到證明nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是_解析：nk時(shí)等式為1222(k1)2k2(k1)22212，nk1時(shí)等式為1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.nk1時(shí)等式左邊比nk時(shí)等式左邊增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)4設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an4·2n12的第二步中，設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak4·2k12，那么當(dāng)nk1時(shí)，_.解析：當(dāng)nk1時(shí)，把a(bǔ)k代入，要將4·2k2變形為4·2(k1)12的形式即ak12ak22(4·2k12)24·2k24·2(k1)12答案：ak14·2(k1)125求證：凸n邊形對角線條數(shù)f(n)(nN，n3)證明： (1)當(dāng)n3時(shí)，f(3)0，三角形沒有對角線，命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k3)時(shí)命題成立，即凸k邊形對角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)A k1，得到凸k1邊形A1A2AkAk1，Ak1依次與A2，A3，Ak1相連得到對角線k2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對角線，則凸k1邊形的對角線條數(shù)為：f(k)k21k1f(k1)即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，命題對任何nN，n3都成立6是否存在常數(shù)a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由解析：假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立當(dāng)n1時(shí)，a(bc)1；當(dāng)n2時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)n3時(shí)，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由以上知等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立因此存在a，b2，c1使等式對一切nN*都成立最新精品資料