高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí)：第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)43 Word版含解析

課時(shí)作業(yè)43空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是(D)解析：A、B、C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面2(2019·煙臺(tái)質(zhì)檢)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是(C)A若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C若ab，則a，b與c所成的角相等D若ab，bc，則ac解析：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確3若m，n為兩條不重合的直線，為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是(A)若直線m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線；若直線m，n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線；已知平面，互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若m，則n；若直線m，n在平面內(nèi)的射影互相垂直，則mn.A BC D解析：對(duì)于，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，錯(cuò)誤；對(duì)于，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，m與n一定平行，故正確；對(duì)于，還有可能n，n或n與相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面，則m與n在內(nèi)的射影分別為AB與BC，且ABBC.而m與n所成的角為60°，故錯(cuò)誤4過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作(D)A1條 B2條C3條 D4條解析：如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，過(guò)A點(diǎn)分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條5如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是(D)A4 BC2 D.解析：連接DN，則MDN為直角三角形，在RtMDN中，MN2，P為MN的中點(diǎn)，連接DP，則DP1，所以點(diǎn)P在以D為球心，半徑R1的球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S×4R2.6在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是(D)A0 B0C0 D0解析：連接CD1，CA.A1BD1C，異面直線CP與A1B所成的角即為CP與D1C所成的角AD1C是正三角形，當(dāng)P與A重合時(shí)，所成角最大，為.又P不能與D1重合(此時(shí)D1C與A1B平行，不是異面直線)，故選D.7如圖，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(A)AA，M，O三點(diǎn)共線 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C平面ACC1A1，因?yàn)镸A1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，因?yàn)槠矫鍭CC1A1平面AB1D1AO，所以MAO，所以A，M，O三點(diǎn)共線8直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為(C)A. B.C. D.解析：解法一：取BC的中點(diǎn)Q，連接QN，AQ，易知BMQN，則ANQ或其補(bǔ)角的余弦值即為所求，設(shè)BCCACC12，則AQ，AN，QN，cosANQ.解法二：以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCCACC12，則A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，(1,0，2)，(1，1，2)，cos，.故選C.9(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.解析：還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合如圖所示易知GH與EF異面，BD與MN異面又GMH為等邊三角形，GH與MN成60°角，易證DEAF，MNAF，MNDE.因此正確的序號(hào)是.10如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為.解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，如圖因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.11如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn). 已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解：(1)SABC×2×22，三棱錐P-ABC的體積為VSABC·PA×2×2.(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.12如圖，已知二面角-MN-的大小為60°，菱形ABCD在平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，BAD60°，E是AB的中點(diǎn)，DO平面，垂足為O.(1)證明：AB平面ODE；(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值解：(1)證明，DO，AB，DOAB.連接BD，由題意知，ABD是正三角形又E是AB的中點(diǎn)，DEAB.而DODED，AB平面ODE.(2)BCAD，BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即ADO是異面直線BC與OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，DEO是二面角-MN-的平面角，即DEO60°.不妨設(shè)AB2，則AD2，易知DE.在RtDOE中，DODE·sin60°.連接AO，在RtAOD中，cosADO.故異面直線BC與OD所成角的余弦值為.13正四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，底面ABCD是正方形，E為PC的中點(diǎn)，若異面直線PA與BE所成的角為45°，則該四棱錐的體積是(D)A4 B2C. D.解析：如圖所示，連接AC，BD.設(shè)ACBDO，連接PO，OE，O，E分別是AC和PC的中點(diǎn)，OEPA，OEPA1，則BEO或其補(bǔ)角即為異面直線PA與BE所成的角底面ABCD是正方形，BOAC，又POOB，POACO，BO平面PAC，則BOOE，BOE是等腰直角三角形，OBOE1，PO，BC，則四棱錐P-ABCD的體積V×()2×，故選D.14如圖是三棱錐D-ABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析：由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且ABAC2，AD1，O是BC的中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)E，連接DE，DO，OE，則OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角在直角三角形DAE中，DE，由于O是BC的中點(diǎn)，在直角三角形ABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求異面直線DO與AB所成角的余弦值為，故選A.15如圖，在矩形ABCD中，AB2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在ADE翻折過(guò)程中，下列四個(gè)命題中不正確的是.(填序號(hào))BM是定值；點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；存在某個(gè)位置，使DEA1C；存在某個(gè)位置，使MB平面A1DE.解析：取DC的中點(diǎn)F，連接MF，BF，則MFA1D且MFA1D，F(xiàn)BED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MF·FB·cosMFB是定值，所以M是在以B為球心，MB為半徑的球面上，可得正確；由MFA1D與FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正確；若存在某個(gè)位置，使DEA1C，則因?yàn)镈E2CE2CD2，即CEDE，因?yàn)锳1CCEC，則DE平面A1CE，所以DEA1E，與DA1A1E矛盾，故不正確16如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，ACBC,2AC2BCCC14，點(diǎn)N為CC1的中點(diǎn)，P為線段AC(包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：直線BP與直線B1A1為異面直線；P到平面A1B1N的距離是定值；A1P與B1N所成角最小為45°；B1P與平面A1PN所成角余弦值的最小值為.其中正確結(jié)論的序號(hào)為.解析：若P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則BPB1A1，故錯(cuò)；記P到平面A1B1N的距離為h1，平面三角形A1PN的面積SA1PN在變化，點(diǎn)B1到平面A1PN1的距離h2為定值，又三角形A1B1N的面積SA1B1N為定值，所以VP-A1B1NVB1-A1PN，即SA1B1N·h1SA1PN·h2，所以h1不是定值，錯(cuò)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，A1(0,0,0)，P(0，y0,4)，B1(2,2,0)，N(0,2,2)，(0，y0,4)，(2,0,2)，記A1P與B1N所成角為，則cos(0y02)，(cos)max，所以的最小值為45°.連接PC1.B1C1平面AA1C1C，則B1PC1即為線面角，tanB1PC1，B1C1為定值，當(dāng)tanB1PC1最大時(shí)，PC1最小，cosB1PC1最小，所以當(dāng)P與C重合時(shí)，(cosB1PC1)min.