專題三 第2講 三角變換與解三角形

第2講三角變換與解三角形考情解讀1.高考中常考查三角恒等變換有關(guān)公式的變形使用，常和同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式結(jié)合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀、求值等，經(jīng)常和三角恒等變換結(jié)合進(jìn)行綜合考查1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒等式的證明方法(1)從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡(2)等式的兩邊同時變形為同一個式子(3)將式子變形后再證明4正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解熱點一三角變換例1(1)已知sin()sin ，<<0，則cos()等于()A BC. D.(2)(2014·課標(biāo)全國)設(shè)(0，)，(0，)，且tan ，則()A3 B2C3 D2思維啟迪(1)利用和角公式化簡已知式子，和cos()進(jìn)行比較(2)先對已知式子進(jìn)行變形，得三角函數(shù)值的式子，再利用范圍探求角的關(guān)系答案(1)C(2)B解析(1)sin()sin ，<<0，sin cos ，sin cos ，cos()cos cossin sincos sin .(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解設(shè)函數(shù)f(x)cos(2x)sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；(2)若是第二象限角，且f()0，求的值解(1)f(x)cos(2x)sin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.所以f(x)的最小正周期為T，最大值為.(2)因為f()0，所以sin 0，即sin ，又是第二象限角，所以cos .所以.熱點二解三角形例2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足a2sin A，0.(1)求邊c的大??；(2)求ABC面積的最大值思維啟迪(1)將0中的邊化成角，然后利用和差公式求cos C，進(jìn)而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C和基本不等式求解解(1)0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0，sin A0，cos C，C(0，)C，c·sin C.(2)cos C，a2b2ab3，3ab3，即ab1.SABCabsin C.ABC的面積最大值為.思維升華三角形問題的求解一般是從兩個角度，即從“角”或從“邊”進(jìn)行轉(zhuǎn)化突破，實現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問題便可突破幾種常見變形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R為ABC外接圓的半徑；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.(1)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A. B2C. D2(2)(2014·江西)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C. D3答案(1)A(2)C解析(1)因為asin Asin Bbcos2Aa，由正弦定理得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，即，.(2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab6.SABCabsin C×6×.熱點三正、余弦定理的實際應(yīng)用例3(2013·江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？思維啟迪(1)直接求sin B，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函數(shù)思想，將甲乙距離表示為乙出發(fā)后時間t的函數(shù)解(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB×sin C×1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故當(dāng)t min時，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理，得BC×sin A×500(m)乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(281)550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)思維升華求解三角形的實際問題，首先要準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，關(guān)注應(yīng)用題中的有關(guān)專業(yè)名詞、術(shù)語，如方位角、俯角等；其次根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；再次將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，從而正確求解，演算過程要簡練，計算要準(zhǔn)確；最后作答如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？(1.41，1.73，2.45)解過點A作ADBC，交BC的延長線于點D.因為CAD45°，AC10海里，所以ACD是等腰直角三角形所以ADCDAC×105(海里)在RtABD中，因為DAB60°，所以BDAD×tan 60°5×5(海里)所以BCBDCD(55)(海里)因為中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度航行，某國軍艦正以每小時13海里的速度航行，所以中國海監(jiān)船到達(dá)C點所用的時間t1(小時)，某國軍艦到達(dá)C點所用的時間t20.4(小時)因為<0.4，所以中國海監(jiān)船能及時趕到1求解恒等變換問題的基本思路一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化思想“去異求同”的過程，具體分析如下：(1)首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心(2)其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?3)再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點2解三角形的兩個關(guān)鍵點(1)正、余弦定理是實現(xiàn)三角形中邊角互化的依據(jù)，注意定理的靈活變形，如a2Rsin A，sin A(其中2R為三角形外接圓的直徑)，a2b2c22abcos C等，靈活根據(jù)條件求解三角形中的邊與角(2)三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的作用，如利用“三角形的內(nèi)角和等于”和誘導(dǎo)公式可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用“大邊對大角”可以解決解三角形中的增解問題等3利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的關(guān)鍵是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象出三角形模型真題感悟1(2013·浙江)已知R，sin 2cos ，則tan 2等于()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.用降冪公式化簡得：4sin 23cos 2，tan 2.故選C.2(2014·江蘇)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C<1，且3a22b2時取“”故cos C的最小值為.押題精練1在ABC中，已知tan sin C，給出以下四個結(jié)論：1；1<sin Asin B；sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中一定正確的是()A B C D答案D解析依題意，tan sin C.sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0.0<AB<，AB，即ABC是以角C為直角的直角三角形對于，由1，得tan Atan B，即AB，不一定成立，故不正確；對于，AB，sin Asin Bsin Acos Asin(A)，1<sin Asin B，故正確；對于，AB，sin2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A，其值不確定，故不正確；對于，AB，cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正確2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且qp.(1)求sin A的值；(2)求三角函數(shù)式1的取值范圍解(1)q(2a,1)，p(2bc，cos C)且qp，2bc2acos C，由正弦定理得2sin Acos C2sin Bsin C，又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Ccos Asin C.sin C0，cos A，又0<A<，A，sin A.(2)原式1112cos2C2sin Ccos Csin 2Ccos 2Csin(2C)，0<C<，<2C<，<sin(2C)1，1<sin(2C)，即三角函數(shù)式1的取值范圍為(1，(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1(2014·浙江)為了得到函數(shù)ysin 3xcos 3x的圖象，可以將函數(shù)ycos 3x的圖象()A向右平移個單位 B向左平移個單位C向右平移個單位 D向左平移個單位答案C解析因為ysin 3xcos 3xsin(3x)sin3(x)，又ycos 3xsin(3x)sin3(x)，所以應(yīng)由ycos 3x的圖象向右平移個單位得到2已知(，)，sin()，則cos 等于()A B.C或 D答案A解析(，)(，)sin()，cos()，cos cos()cossin()sin()××.3在ABC中，若3，b2a2ac，則cos B的值為()A. B.C. D.答案D解析由正弦定理：3，由余弦定理：cos B×.4(2013·陜西)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0<A<，得A，所以ABC為直角三角形5已知tan ，sin()，其中，(0，)，則sin 的值為()A. B.C. D.或答案A解析依題意得sin ，cos .注意到sin()<sin ，因此有>(否則，若，則有0<<，0<sin <sin()，這與“sin()<sin ”矛盾)，則cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .6已知ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且tan B，·，則tan B等于()A. B.1C2 D2答案D解析由題意得，·|·|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2，故選D.二、填空題7已知tan，且<<0，則_.答案解析由tan，得tan .又<<0，可得sin .故2sin .8在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，則b_.答案4解析由sin Acos C3cos Asin C得：·3··，a2b2c23(b2c2a2)，a2c2，解方程組：，b4.9已知0<<<<，cos()，sin()，則cos()_.答案解析因為0<<<<，所以<<，<<.所以sin()>0，cos()<0.因為cos()，sin()，所以sin()，cos().所以cos()cos()()cos()cos()sin()sin()××.10如圖，嵩山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為_米答案400解析如題圖，在ABD中，BD400米，ABD120°.因為ADC150°，所以ADB30°.所以DAB180°120°30°30°.由正弦定理，可得.所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理，可得AC2AD2CD22×AD×CD×cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得AC400(米)故索道AC的長為400米三、解答題11(2014·安徽)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因為A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b·.因為b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A.故sinsin Acos cos Asin××.12已知函數(shù)f(x)4cos x·sin(x)1(>0)的最小正周期是.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在，上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos x·sin(x)12sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin(2x)最小正周期是，所以，1，從而f(x)2sin(2x)令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ)(2)當(dāng)x，時，2x，f(x)2sin(2x)，2，所以f(x)在，上的最大值和最小值分別為2，.13已知角A、B、C是ABC的三個內(nèi)角，若向量m(1cos(AB)，cos)，n(，cos)，且m·n.(1)求tan Atan B的值；(2)求的最大值解(1)m·ncos(AB)cos2cos Acos Bsin Asin B，cos Acos B9sin Asin B得tan Atan B.(2)tan(AB)(tan Atan B)·2.(tan Atan B>0，A，B均是銳角，即其正切值均為正)tan Ctan(AB)，所求最大值為.