2018版高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)47 條件概率與二項(xiàng)的分布試題解讀與變式
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2018版高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)47 條件概率與二項(xiàng)的分布試題解讀與變式
考點(diǎn)47 條件概率與二項(xiàng)的分布【考綱要求】了解條件概率的概念,了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念;理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P图岸?xiàng)分布,并能解決一些簡(jiǎn)單問題.【命題規(guī)律】條件概率與二項(xiàng)的分布問題在選擇題、填空題以及解答題中都會(huì)考查,在解答題中出現(xiàn)時(shí)難度較大.【典型高考試題變式】(一)二項(xiàng)分布例1.【2017課標(biāo)II】一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則 .【答案】【變式1】已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)30,D(X)20,則p_.【答案】【解析】由E(X)np,D(X)np(1p),得解得.【變式2】設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_【答案】【解析】假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說明試驗(yàn)成功,設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,由題意得,事件A發(fā)生的次數(shù)XB(3,p),則有1(1p)3,得p,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××.(二)條件概率 例2.(2014·課標(biāo))某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6.已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45【解析】設(shè)“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A,“連續(xù)兩天為優(yōu)良”為事件AB,則已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P(B|A)由條件概率可知,P(B|A)0.8,故選A. 【名師點(diǎn)睛】計(jì)算條件概率有兩種方法(1)利用定義P(B|A);(2)若n(C)表示試驗(yàn)中事件C包含的基本事件的個(gè)數(shù),則P(B|A).【變式1】先后擲骰子(骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn))兩次落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x、y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x、y中有偶數(shù),且xy”,則概率P(B|A)=( )ABCD【答案】B【變式2】甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中,則它是被甲擊中的概率為()A0.45 B0.6 C0.65 D0.75【答案】D【解析】設(shè)目標(biāo)被擊中為事件B,目標(biāo)被甲擊中為事件A,則由P(B)0.6×0.50.4×0.50.6×0.50.8,得P(A|B)0.75.【數(shù)學(xué)思想】(1)函數(shù)方程思想.(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想.【溫馨提示】(1)條件概率的問題中:事件A與事件B有時(shí)是相互獨(dú)立事件,有時(shí)不是相互獨(dú)立事件,要弄清P(AB)的求法當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù),即n(AB),得P(B|A).(2)注意二項(xiàng)分布滿足的條件:每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)注意弄清楚超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系.【典例試題演練】1.(黑龍江省大慶第一中學(xué)2014屆高三下學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)(理)試題) 先后擲骰子(骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn))兩次落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x、y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x、y中有偶數(shù),且xy”,則概率P (B|A)=( )ABCD【答案】B【解析】事件A為“為偶數(shù)”所包含的基本事件數(shù)有,,共18種,事件AB為“x、y中有偶數(shù),且xy ,x+y為偶數(shù)”, 所包含的基本事件數(shù)有,共6種,由條件概率計(jì)算公式可得P(B|A)=.2. 從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)()A. B. C. D.【答案】B【解析】P(A),P(B),又AB,則P(AB)P(B),所以P(B|A).3.()某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A4.【2017年第一次全國(guó)大聯(lián)考(新課標(biāo)卷)】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件“4名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”,事件“甲同學(xué)獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”,則( )A B C D【答案】A【解析】由題意得,故選A5. 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若他命中一次得10分,沒命中不得分;命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為()A.0.6,60 B.3,12 C.3,120 D.3,1.2【答案】C【解析】XB(5,0.6),Y10X,所以E(X)5×0.63,D(X)5×0.6×0.41.2.D(Y)100D(X)120,故選C.6.若B(n,p),且6,3,則P(1)的值為()A. B. C. D.【答案】C 【解析】np6,npq3,q,p1q,n12.p(1)C·3·210,故選C.7. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4),若P(X2a3)P(Xa2),則a()A3 B. C5 D.【答案】D【解析】因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(3,4),P(X2a3)P(Xa2)所以2a3a26,a.8. 1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,則從2號(hào)箱取出紅球的概率是()A. B. C. D.【答案】A9. 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),若E(X)30,D(X)20,則p_.【答案】5【解析】由E(X)np,D(X)np(1p),得解得p.10. 甲袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)在隨機(jī)地從甲袋中取出一球放入乙袋,然后從乙袋中隨機(jī)地取出一球,則取出的球是白球的概率是_.【答案】【解析】設(shè)A表示事件“從甲袋放入乙袋中的球是白球”,B表示事件“最后從乙袋中取出的球是白球”.所以P(A),P(A),P(B|A),P(B|A).P (B)P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)××.11. 如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形,將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)_【答案】【解析】依題意得,P(A),P(AB),則由條件概率的意義可知,P(B|A).12. 【2017安徽阜陽(yáng)二?!恳黄髽I(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值,得到的頻率分布直方圖如圖.(1)估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù);(2)在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中,以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率,若,則產(chǎn)品不合格,現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測(cè),記不合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1) ,(2)由頻率分布直方圖可知,所以,所以13. 【2017江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為,答對(duì)文科題的概率均為,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)記“該考生在第一次抽到理科題為事件A”,“該考生第二次和第三次均抽到文科題為事件B”,則,.所以該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次抽到文科題的概率為.(2)的可能取值為0,10,20,30,則, , . 所以的分布列為0102030所以,的數(shù)學(xué)期望.14. 甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽,每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì),首輪比賽每人一道必答題,答對(duì)則為本隊(duì)得1分,答錯(cuò)不答都得0分,已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為,乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示甲隊(duì)總得分(1)求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E;(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下,甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率【解析】(1)的可能取值為0,1,2,3;,所以的分布列為0123,15. 【2017年第一次全國(guó)大聯(lián)考(山東卷)】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動(dòng),組織了“迎新春”象棋大賽,已知由1,2,3號(hào)三位男性選手和4,5號(hào)兩位女性選手組成混合組參賽.已知象棋大賽共有三輪,設(shè)三位男性選手在一至三輪勝出的概率依次是;兩名女性選手在一至三輪勝出的概率依次是.(1)若該組五名選手與另一組選手進(jìn)行小組淘汰賽,每名選手只比賽一局,共五局比賽,求該組兩名女性選手的比賽次序恰好不相鄰的概率;(2)若一位男性選手因身體不適退出比賽,剩余四人參加個(gè)人比賽,比賽結(jié)果相互不影響,設(shè)表示該組選手在四輪中勝出的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)記兩名女性選手比賽次序恰好不相鄰為事件A,則五人不同的比賽次序?yàn)榉N,事件A對(duì)應(yīng)的比賽次序?yàn)榉N,所以.(2)男性選手在三輪中勝出的概率為;兩名女性選手在三輪中勝出的概率為.由題意可知男性選手三輪中勝出的人數(shù);女性選手三輪比賽中勝出的人數(shù),顯然. 所以可取. 所以的分布列為01234所以. 另,.9