蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第3章 勾股定理 同步練習(xí)

勾股定理及其應(yīng)用練習(xí)11如圖，在ABC中，ABAC，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC12，AD8，則DE的長為第1題第2題第4題2“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a4，b3，則大正方形的面積是3在ABC中，已知AB45°，BC3，則AB42002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為5閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：若a2b2+c2，則該三角形是直角三角形；若a2b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；若a2b2+c2，則該三角形是銳角三角形例如：若一個(gè)三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，623642+52，故由可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個(gè)三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是三角形（2）若一個(gè)三角形的三邊長分別是5，12，x，且這個(gè)三角形是直角三角形，求x的值6我們知道，以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（221，2×2，22+1）；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（321，2×3，32+1）類似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組（15，8，17）（1）請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個(gè)勾股數(shù)組；（2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n2，且n為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，請直接寫出這組勾股數(shù)組7一塊木板如圖所示，已知AB4，BC3，DC12，AD13，B90°，求此木板的面積8如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA8km，CB14km，DAAB于A，CBAB于B現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長參考答案1如圖，在ABC中，ABAC，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC12，AD8，則DE的長為5【解答】解：ABAC，AD平分BAC，ADBC，BDCD6，ADB90°，AB10，AEEB，DEAB5，故答案為52“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a4，b3，則大正方形的面積是25【解答】解：由勾股定理可知大正方形的邊長5，大正方形的面積為25，故答案為253在ABC中，已知AB45°，BC3，則AB3【解答】解：AB45°，ACBC3，C90°，AB3，故答案為342002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為27【解答】解：由題意可得在圖1中：a2+b215，（ba）23，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，（ba）23a22ab+b23，152ab32ab12，（a+b）2a2+2ab+b215+1227，故答案為：275閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：若a2b2+c2，則該三角形是直角三角形；若a2b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；若a2b2+c2，則該三角形是銳角三角形例如：若一個(gè)三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，623642+52，故由可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個(gè)三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是銳角三角形（2）若一個(gè)三角形的三邊長分別是5，12，x，且這個(gè)三角形是直角三角形，求x的值【解答】解：（1）72+82113，9281，9272+82，該三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）當(dāng)最長邊是12時(shí)，x；當(dāng)最長邊是x時(shí)，x13，即x13或6我們知道，以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（221，2×2，22+1）；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（321，2×3，32+1）類似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組（15，8，17）（1）請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個(gè)勾股數(shù)組；（2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n2，且n為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，請直接寫出這組勾股數(shù)組【解答】解：（1）上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+4252，62+82102，82+152172，即（n21）2+（2n）2（n2+1）2，所以第5個(gè)勾股數(shù)組為（12，35，37）（2）勾股數(shù)為n21，2n，n2+17一塊木板如圖所示，已知AB4，BC3，DC12，AD13，B90°，求此木板的面積【解答】解：連接AC，在ABC中，AB4，BC3，B90°，AC5，在ACD中，AC5，DC12，AD13，DC2+AC2122+52169，AD2132169，DC2+AC2AD2，ACD為直角三角形，AD為斜邊，木板的面積為：SACDSABC×5×12×3×424答：此木板的面積為248如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA8km，CB14km，DAAB于A，CBAB于B現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長【解答】解：設(shè)AEx，則BE20x，由勾股定理得：在RtADE中，DE2AD2+AE282+x2，在RtBCE中，CE2BC2+BE2142+（20x）2，由題意可知：DECE，所以：82+x2142+（20x）2，解得：x13.3所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km練習(xí)21圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為cm2第1題第2題第3題第4題2如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，在ABC中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為3如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水面于點(diǎn)D，DF2m，CEB30°，CDB45°，求CB部分的高度為m4九章算術(shù)第九章勾股篇中記載：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”其大意是：今推開雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為尺5如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是米6如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度7勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)：（1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在上面的橫線上）（2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？（3）對于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系（填“成立”或“不成立”）（4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？20192+20202×10092（2020×1009+1）28如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，AOC60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方（1）將圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置，使得MOB90°，此時(shí)CON角度為度；（2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置，當(dāng)ON恰好平分AOC時(shí)，求AOM的度數(shù)；（3）若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在AOC的內(nèi)部時(shí)（ON與OC、OA不重合），試探究AOM與CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由9如圖所示，已知ABC中，AB8cm，AC6cm，BC10cm分別以三邊AB，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積參考答案1圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為81cm2【解答】解：正方形的邊長為（cm），此正方形的面積為9281（cm2），故答案為：812如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，在ABC中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長為【解答】解：AC2，BC3，AB，AC2+BC2AB2，ACB90°，ADDB，CDAB，故答案為3如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水面于點(diǎn)D，DF2m，CEB30°，CDB45°，求CB部分的高度為（2+）m【解答】解：設(shè)CB部分的高度為xmBDCBCD45°，BCBDxm在RtBCD中，CDx（m）在RtBCE中，BEC30°，CE2BC2x（m）CECFCD+DF，2xx+2，解得：x2+BC（2+）（m）答：CB部分的高度約為（2+）m，故答案為：（2+）4九章算術(shù)第九章勾股篇中記載：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”其大意是：今推開雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為10.1尺【解答】解：設(shè)單門的寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x21+（x0.1）2，解得：x5.05，則2x10.1尺，故答案為：10.15如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是6米【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（16x）米，根據(jù)勾股定理得：x2+82（16x）2解得：x6折斷處離地面高度是6米，故答案為：66如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得x2+92（x+3）2，解得：x12；答：旗桿的高度為12米7勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)：abc131+242×1×252×2+1252+3122×2×3134×3+1373+4242×3×4256×4+1494+5402×4×5418×5+1na2n+1b2n（n+1）c2n（n+1）+1（1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在上面的橫線上）（2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？（3）對于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系不成立（填“成立”或“不成立”）（4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？20192+20202×10092（2020×1009+1）2【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得：a2n+1，b2n（n+1），c2n（n+1）+1，故答案為：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；（2）a2+b2c2，理由是：a2n+1，b2n（n+1），c2n（n+1）+1，a2+b2（2n+1）2+2n（n+1）22n（n+1）2+4n（n+1）+1c22n（n+1）+122n（n+1）2+4n（n+1）+1a2+b2c2；（3）對于偶數(shù)，這個(gè)關(guān)系不成立，故答案為：不成立；（4）當(dāng)2n+12019時(shí)，n1009，當(dāng)n1009時(shí)，a220192，b22n（n+1）220202×10092，c22n（n+1）+122020×1009+12，a2+b2c2；20192+20202×10092（2020×1009+1）208如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，AOC60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方（1）將圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置，使得MOB90°，此時(shí)CON角度為75度；（2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置，當(dāng)ON恰好平分AOC時(shí)，求AOM的度數(shù)；（3）若這個(gè)直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在AOC的內(nèi)部時(shí)（ON與OC、OA不重合），試探究AOM與CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由【解答】解：（1）圖中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖的位置，MOB90°，MON45°AOC60°，COM30°，CONCOM+MON75°，所以此時(shí)CON角度為75°故答案為75；（2）直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖的位置，ON恰好平分AOC時(shí)，AONCONAOC30°，AOMMONAON15°答：AOM的度數(shù)為15°；（3）AOM與CON之間滿足：AOMCON15°，理由如下：CONAOCAON60°AON60°（MONAOM）60°（45°AOM）15°+AOM所以CONAOM15°9如圖所示，已知ABC中，AB8cm，AC6cm，BC10cm分別以三邊AB，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積【解答】解：82+62102，AB2+AC2BC2BAC90°以AB為直徑的半圓的面積以AC為直徑的半圓的面積以BC為直徑的半圓的面積S3（cm2）練習(xí)31如圖，已知等腰RtABC的直角邊長為1，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形，則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為（n為正整數(shù)）第1題第2題第3題第4題2圖中每個(gè)小方格的邊長是l，若線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形，則線段EF的長度是3如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則PABPCD°（點(diǎn)A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）4如圖，在ABC中，ACB90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E若AC3，AB5，則DE等于5在RtABC中，C90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c（1）a3，b4，則c；（2）a7，c25，則b；（3）c3，b1，則a；（4）A30°，a2，則b；若b2，則ab6如圖，在ABC中，ABAC，ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P（1）求證：PBPC（2）若PB5，PH3，求AB7如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖，其中AB13m，AD12m，BD5m，AC15m，求圖中ABC的周長和面積8有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多什么米？9如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DAAB于點(diǎn)A，CBAB于點(diǎn)B，已知DA15km，CB10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？參考答案1如圖，已知等腰RtABC的直角邊長為1，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE依此類推直到第n個(gè)等腰直角三角形，則第n個(gè)等腰直角三角形的圖形的面積為2n2（n為正整數(shù)）【解答】解：ABC是邊長為1的等腰直角三角形，SABC×1×1212；AC，AD2，SACD××1222；SADE×2×22232第n個(gè)等腰直角三角形的面積是2n2故答案為：2n22圖中每個(gè)小方格的邊長是l，若線段EF能與線段AB、CD組成一個(gè)直角三角形，則線段EF的長度是或【解答】解：AB，CD，當(dāng)EF為斜邊時(shí)，EF，當(dāng)EF是直角邊時(shí)，EF，故答案為：或3如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則PABPCD45°（點(diǎn)A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）【解答】解：連接AE，PE，則EABPCD，故PABPCDPABEABPAE，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為a，則PA，PE，AEa，PA2+PE25a2+5a210a2AE2，APE是直角三角形，APE90°，又PAPE，PAEPEA45°，PABPCD45°，故答案為：454如圖，在ABC中，ACB90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E若AC3，AB5，則DE等于【解答】解：在RtACB中，由勾股定理得：BC4，連接AE，從作法可知：DE是AB的垂直平分線，根據(jù)性質(zhì)得出AEBE，在RtACE中，由勾股定理得：AC2+CE2AE2，即32+（4AE）2AE2，解得：AE，在RtADE中，ADAB，由勾股定理得：DE2+（）2（）2，解得：DE故答案為：5在RtABC中，C90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c（1）a3，b4，則c5；（2）a7，c25，則b24；（3）c3，b1，則a2；（4）A30°，a2，則b2；若b2，則ab【解答】解：在RtABC中，C90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c（1）a3，b4，則c5；（2）a7，c25，則b24；（3）c3，b1，則a2；（4）A30°，a2，則b2；若b2，可得：a3，b2，則ab，故答案為：（1）5；（2）24；（3）2；（4）2；6如圖，在ABC中，ABAC，ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P（1）求證：PBPC（2）若PB5，PH3，求AB【解答】（1）證明：ABAC，ABCACBBH，CM為ABC的高，BMCCHB90°ABC+BCM90°，ACB+CBH90°BCMCBHPBPC（2）解：PBPC，PB5，PC5PH3，CHB90°，CH4設(shè)ABx，則AHx4在RtABH中，AH2+BH2AB2，（x4）2+（5+3）2x2x10即AB107如圖為一個(gè)廣告牌支架的示意圖，其中AB13m，AD12m，BD5m，AC15m，求圖中ABC的周長和面積【解答】解：在ABD中，AB13m，AD12m，BD5m，AB2AD2+BD2，ADBC，在RtADC中，AD12m，AC15m，DC9（m），ABC的周長為：AB+AC+BC13+15+5+942m，ABC的面積為：×BC×AD×14×1284m28有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多什么米？【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB10m，小樹高為CD4m，過C點(diǎn)作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，EB4m，EC8m，AEABEB1046m，在RtAEC中，AC10m，故小鳥至少飛行10m9如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DAAB于點(diǎn)A，CBAB于點(diǎn)B，已知DA15km，CB10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？【解答】解：使得C，D兩村到E站的距離相等DECE，DAAB于A，CBAB于B，AB90°，AE2+AD2DE2，BE2+BC2EC2，AE2+AD2BE2+BC2，設(shè)AEx，則BEABAE（25x），DA15km，CB10km，x2+152（25x）2+102，解得：x10，AE10km，收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處練習(xí)41如圖，ABC中，B70°，C90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使ACD為等腰三角形，則ADC的度數(shù)為第1題第2題第4題第5題2如圖所示，在ABC中，ACB90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長線于點(diǎn)E，BC3，AB5，則CE3為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來一架高為2.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角m4如圖所示，一根長為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中，測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外面的最短長度為cm5如圖，在RtACB中，C90°，BC4，AB5，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，則AD6探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）請寫出下一數(shù)組：7如圖，RtABC中，C90°，AC6，BC8（1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D，使D到AB的距離等于CD（2）計(jì)算（1）中線段CD的長8如圖，一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO7dm移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D，BD8dm，求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長9如圖，已知ABC和BDE是等腰直角三角形，ABCDBE90°，點(diǎn)D在AC上（1）求證：ABDCBE；（2）若DB1，求AD2+CD2的值10如圖，水渠兩邊ABCD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，AEF45°，EGD105°，竹排寬EF2米，求水渠寬11如圖，BF，CG分別是ABC的高線，點(diǎn)D，E分別是BC，GF的中點(diǎn)，連結(jié)DF，DG，DE（1）求證：DFG是等腰三角形；（2）若BC10，F(xiàn)G6，求DE的長勾股定理及應(yīng)用參考答案與試題解析1如圖，ABC中，B70°，C90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使ACD為等腰三角形，則ADC的度數(shù)為80°或140°或10°【解答】解：如圖，有三種情形：當(dāng)ACAD時(shí)，ABC中，B70°，ACB90°，CAB20°，ACAD，ADCDCA（180°CAB）80°；當(dāng)CDAD時(shí)，CAB20°，DCACAB20°，ADC180°20°20°140°當(dāng)ACAD時(shí)，則ADCACD，CAB20°，ADC+ACDCAB，ADC10°，故答案為：80°或140°或10°2如圖所示，在ABC中，ACB90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長線于點(diǎn)E，BC3，AB5，則CE【解答】解：設(shè)CEx，連接AE，DE是線段AB的垂直平分線，AEBEBC+CE3+x，ACB90°，BC3，AB5，AC4，在RtACE中，AE2AC2+CE2，即（3+x）242+x2，解得x故答案為：3為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來一架高為2.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角0.7m【解答】解：梯腳與墻角距離：0.7（m）故答案為：0.74如圖所示，一根長為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中，測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外面的最短長度為2cm【解答】解：設(shè)在杯里部分長為xcm，則有：x232+42，解得：x5，所以露在外面最短的長度為7cm5cm2cm，故吸管露出杯口外的最短長度是2cm，故答案為：25如圖，在RtACB中，C90°，BC4，AB5，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，則AD【解答】解：在RtACB中，C90°，BC4，AB5，AC3，過D作DEAB于E，BD平分ABC，C90°，CDDE，在RtBCD與RtBED中，RtBCDRtBED（HL），BEBC4，AE1，AD2DE2+AE2，AD2（3AD）2+12，AD，故答案為：6探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）請寫出下一數(shù)組：（11，60，61）【解答】解：（3，4，5）：32×1+1，42×12+2×1，52×12+2×1+1；（5，12，13）：52×2+1，122×22+2×2，132×22+2×2+1；（7，24，25）：72×3+1，242×32+2×3，252×32+2×3+1；（9，40，41）：92×4+1，402×42+2×4，412×42+2×4+1；下一組數(shù)為：112×5+1，602×52+2×5，612×52+2×5+1，故答案為：（11，60，61）7如圖，RtABC中，C90°，AC6，BC8（1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點(diǎn)D，使D到AB的距離等于CD（2）計(jì)算（1）中線段CD的長【解答】解：（1）畫角平分線正確，保留畫圖痕跡（2）設(shè)CDx，作DEAB于E，則DECDx，C90°，AC6，BC8AB10，EB1064DE2+BE2DB2，x2+42（8x）2，x3，即CD長為38如圖，一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO7dm移動(dòng)梯子使底端B外移至點(diǎn)D，BD8dm，求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長【解答】解：由題意得：在RtAOB中，OB7dm，AB25dm，OA24dm，在RtCOD中，OD8+715dm，CD25dm，OC20dm，ACOAOC24204dm，答：梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長為4dm9如圖，已知ABC和BDE是等腰直角三角形，ABCDBE90°，點(diǎn)D在AC上（1）求證：ABDCBE；（2）若DB1，求AD2+CD2的值【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABC90°，AACB45°，同理可得：DBBE，DBE90°，BDEBED45°，ABDCBE，在ABD與CBE中，ABBC，ABDCBE，DBBE，ABDCBE（SAS）（2）BDE是等腰直角三角形，DEBD，ABDCBE，ABCE45°，ADCE，DCEACB+BCE90°，DE2DC2+CE2AD2+CD2，AD2+CD2210如圖，水渠兩邊ABCD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，AEF45°，EGD105°，竹排寬EF2米，求水渠寬【解答】解：過F作FPAB于P，延長PF交CD于Q，則FQCD，EPFFQG90°，四邊形EFGH是矩形，EFG90°，AEF45°，GFQEFP45°，F(xiàn)GQ45°，EF2，PF2+PE2EF24，PFPE，PFPE，ABCD，AEGEGD105°，AEF45°，F(xiàn)EG60°FGEF2，F(xiàn)Q2+GQ2FG212，F(xiàn)QQG，PQPF+FQ（）（米），答：水渠寬為（）米11如圖，BF，CG分別是ABC的高線，點(diǎn)D，E分別是BC，GF的中點(diǎn)，連結(jié)DF，DG，DE（1）求證：DFG是等腰三角形；（2）若BC10，F(xiàn)G6，求DE的長【解答】（1）證明：BF，CG分別是ABC的高線，BFAC，CGAB，且點(diǎn)B為BC的中線，DFBC，DGBC，DFDG，DFG是等腰三角形；（2）解：由（1）知，DFDGBC5點(diǎn)E為GF的中點(diǎn)，F(xiàn)G6，EFGF3，且DGGF，在直角DEF中，由勾股定理知，DE426 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