高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)與平面向量》精講精練.doc

第三講 三角函數(shù)與平面向量【知識網(wǎng)絡(luò)】任意角的概念弧長公式角度制與弧度制同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)公式計(jì)算與化簡證明恒等式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)已知三角函數(shù)值求角圖像和性質(zhì)和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用 第1課 三角函數(shù)的概念考試注意：理解任意角的概念、弧度的意義 能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算 掌握終邊相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意義了解余切、正割、余割的定義 掌握三角函數(shù)的符號法則 知識典例： 1角的終邊在第一、三象限的角平分線上，角的集合可寫成 2已知角的余弦線是單位長度的有向線段，那么角的終邊 ( ) A在x軸上 B在y軸上 C在直線y=x上 D在直線y=x上 3已知角的終邊過點(diǎn)p(5，12)，則cos ，tan= 4 的符號為 5若costan0，則是 ( )A第一象限角 B第二象限角 C第一、二象限角 D第二、三象限角【講練平臺】例1 已知角的終邊上一點(diǎn)P（ ，m），且sin= m，求cos與tan的值 分析 已知角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標(biāo)可知，需求出m的值，從而應(yīng)尋求m的方程 解 由題意知r= ，則sin= = 又sin= m， = m m=0，m= 當(dāng)m=0時(shí)，cos= 1 ， tan=0 ；當(dāng)m= 時(shí)，cos= ， tan= ；當(dāng)m= 時(shí)，cos= ，tan= 點(diǎn)評 已知一個(gè)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求其三角函數(shù)值，往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)的定義)解決 注意運(yùn)用終邊相同的角的表示方法表示有關(guān)象限角等；已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值往往運(yùn)用定義法；注意運(yùn)用三角函數(shù)線解決有關(guān)三角不等式1 已知是鈍角，那么 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第一與第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的終邊過點(diǎn)P（4k，3k）(k0，則cos的值是 （ ） A B C D 3已知點(diǎn)P(sincos，tan)在第一象限，則在0，2內(nèi)，的取值范圍是 ( ) A( ， )(， ) B( ， )(， ) C( ， )(，) D( ， )( ，) 4若sinx= ，cosx = ，則角2x的終邊位置在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5若46，且與 終邊相同，則= 6 角終邊在第三象限，則角2終邊在 象限7已知tanx=tanx，則角x的集合為 8如果是第三象限角，則cos(sin)sin(sin)的符號為什么？ 9已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積 第2課 同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式 掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin 2+cos2=1， =tan，tancot=1， 掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式能運(yùn)用化歸思想（即將含有較多三角函數(shù)名稱問題化成含有較少三角函數(shù)名稱問題）解題 1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ( ) A B C D 2已知sin(+)=，則 ( ) Acos= Btan= Ccos= Dsin()= 3已tan=3， 的值為 4化簡= 5已知是第三象限角，且sin4+cos4= ，那么sin2等于 ( ) A B C D 例1 化簡 分析 式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能減少它們的個(gè)數(shù)，則式子可望簡化 解 原式= = = =1 點(diǎn)評 將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法 例2 若sincos= ，( ，)，求cossin的值 分析 已知式為sin、cos的二次式，欲求式為sin、cos的一次式，為了運(yùn)用條件，須將cossin進(jìn)行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ，)， cossin cossin= 變式1 條件同例， 求cos+sin的值 變式2 已知cossin= ， 求sincos，sin+cos的值 點(diǎn)評 sincos，cos+sin，cossin三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二 1在三角式的化簡，求值等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù) 2注意1的作用：如1=sin 2+cos2 3要注意觀察式子特征，關(guān)于sin、cos的齊次式可轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan的式子 4運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可將任意角的問題轉(zhuǎn)化成銳角的問題 1sin600的值是 （ ） A B C D 2 sin(+)sin（）的化簡結(jié)果為 （ ） Acos2 Bcos2 Csin2 D sin2 3已知sinx+cosx=，x0，則tanx的值是 （ ）A B C D或4已知tan=，則 = 5 的值為 6證明 = 7已知=5，求3cos2+4sin2的值 8已知銳角、滿足sin+sin=sin，coscos=cos，求的值 第3課 兩角和與兩角差的三角函數(shù)（一） 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用化歸思想（將不同角化成同角等）解題1cos105的值為 （ ） A B C D 2對于任何、（0，），sin(+)與sin+sin的大小關(guān)系是 （ ） Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具體值而定3已知，sin2=a，則sin+cos等于 （ ） A B C D4已知tan=，tan=，則cot(+2)= 5已知tanx=，則cos2x= 例1 已知sinsin= ，coscos=，求cos()的值 分析 由于cos()=coscos+sinsin的右邊是關(guān)于sin、cos、sin、cos的二次式，而已知條件是關(guān)于sin、sin、cos、cos的一次式，所以將已知式兩邊平方 解 sinsin=， coscos= ， 2 2 ，得22cos()= cos()= 點(diǎn)評 審題中要善于尋找已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異 例2 已知：sin(+)=2sin求證：tan=3tan(+) 分析 已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和+，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)， sin(+)+=2sin(+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若cos(+)0 ，cos0，則3tan(+)=tan 點(diǎn)評 審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運(yùn)用整體思想解題，此題中將+看成一個(gè)整體 1已知0，sin=，cos(+)=，則sin等于 （ ） A0 B0或 C D0或2 的值等于 （ ） A2+ B C2 D 3 ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則C的大小為 （ ） A B C 或 D 或4若是銳角，且sin()= ，則cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=，tan=，且、都是銳角求證：+=45 7已知cos()=，cos(+)= ，且（）（，），+（，2），求cos2、cos2的值 8 已知sin(+)= ，且sin(+)= ，求 第四課 平面向量基本概念一、1.向量是既有 又有 的量。 幾何表示：有向線段 符號表示：用有向線段的記法表示4.向量的模是指向量的 ，向量的模記為 。5.零向量與單位向量 模為 的向量叫零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的，記作： 。 模為 的向量叫單位向量，（有個(gè)單位向量）6.向量間關(guān)系 相等向量：是指方向 且模 的向量，所有相等的非零向量都可用同一條 有向線段表示而與起點(diǎn)無關(guān)，向量與 相等記為 。 自由向量：數(shù)學(xué)中的向量只有兩要素 、 ，它可以平移到以空間任意 一點(diǎn)為起點(diǎn)而向量不變，本章研究平面自由向量。 平行向量：也稱共線向量，是指方向 或 的非零向量 （平行向量可以平移到同一條直線上，故稱共線向量）(零向量與任意向量平行)二、設(shè)=，=，則叫做 的和，記作 。+ =+ =向量加法運(yùn)算的交換律： ， 結(jié)合律： .求作兩個(gè)向量和的方法有 法則和 法則.三、與向量 的向量，叫做的相反向量，記作 ， 零向量的相反向量是 。-（-）= ，+（-）= 。BAO若、是相反向量，則= ，= ，+= 。向量加上的相反向量，叫做 ， 既：-= 。=，=，則= 。四、1.實(shí)數(shù)與向量的積還是一個(gè) ，記作 ；2.的長度與方向規(guī)定如下（R） |= ， 當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向 ，當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向 ； 0= , = ；3. 實(shí)數(shù)與向量的積滿足結(jié)合律與分配律，設(shè)、為實(shí)數(shù)，則 ()=()；(+)= ；(+)= .4.向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得= .五、向量、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量, 為這個(gè)平面內(nèi)任一向量,則向量，可用、表示為= ，其中 ， 為惟一存在的一組實(shí)數(shù)； 另外不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的其中一組 。在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位 向量 、作為基底.對平面內(nèi)任意一個(gè)向量，有且只有 一對實(shí)數(shù)x、y，使得= （向量的分量表示） 記作=（ ， ）（向量的坐標(biāo)表示），其中x叫做的 坐標(biāo) ，y叫做的 坐標(biāo)，向量、的坐標(biāo)表示分別是=（ ， ），=（ ， ），=（ ， ）若=(x,y),那么與相等的向量的坐標(biāo)為 若=(x,y1),=(x2,y2),則，.若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x,y1), (x2,y2)，那么的坐標(biāo)為 .六、若向量，則（）的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)，使 若=(x1,y1),=(x2,y2),且（）則的充要條件是 七、設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使 ， 叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，點(diǎn)P是有向線段的分點(diǎn)。設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)且=（-1）；則x= ，y= . 若點(diǎn)P在線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，x= ，y= .八、1.平面向量的數(shù)量積的定義及幾何意義 向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，作=，=，則AOB=（0） 叫做向量與的夾角。= , = . 平面向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量 |cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積、點(diǎn)乘），記為：= . 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 . 的幾何意義： 數(shù)量積等于的長度|與在的方向上投影|cos的乘積.第五課 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、復(fù)習(xí)引入：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則AB（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積，記作，即有 = |cosq，（）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影|cosq的乘積4兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量1 = =|cosq；2 = 03當(dāng)與同向時(shí)， = |；當(dāng)與反向時(shí)， = -| 特別的 = |2或4cosq = ；5| |5 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律： = 數(shù)乘結(jié)合律：() =() = ()分配律：( + ) = + 二、講解新課：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)，則或（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)3.向量垂直的判定設(shè)，則4.兩向量夾角的余弦（） cosq =三、講解范例：例1 設(shè) = (5, -7)， = (-6, -4)，求解： = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求證：ABC是直角三角形證明：=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)=1(-3) + 13 = 0 ABC是直角三角形例3 已知 = (3, -1)， = (1, 2)，求滿足 = 9與 = -4的向量 解：設(shè)= (t, s)， 由 = (2, -3)例4 已知（，），（，），則與的夾角是多少?分析：為求與夾角，需先求及，再結(jié)合夾角的范圍確定其值.解：由（，），（，）有（），記與的夾角為，則cos又，評述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定.例5 如圖，以原點(diǎn)和A (5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角ABC，使 = 90，求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 例6 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值解：當(dāng) = 90時(shí)，= 0，21 +3k = 0 k = 當(dāng) = 90時(shí)，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C= 90時(shí)，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 四、課堂練習(xí)：1.若=(-4,3),=(5,6),則3|（ ）A.23 B.57 C.63 D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，則為（ ） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的單位向量，則等于（ ）A.或 B.或C.或 D.或4.=(2,3),=(-2,4),則(+)(-)= .5.已知(3，2)，(-1，-1)，若點(diǎn)P(x,-)在線段的中垂線上，則x= .6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,則與的夾角為 .六、課后作業(yè)：1.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為（ ）A. B. C. D.2.已知=(，)，=(-3,5)且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D.3.給定兩個(gè)向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),則x等于（ ） A.23 B. C. D. 4.已知|=,=(1,2)且,則的坐標(biāo)為 .5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若，則 .6.已知=(3,0),=(k,5)且與的夾角為，則k的值為 .7.已知=(3,-1),=(1,2),求滿足條件x=9與x=-4的向量x.8.已知點(diǎn)A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使ABC90，若不能，說明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo).9.四邊形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),(1)若，求x與y間的關(guān)系式；(2)滿足(1)問的同時(shí)又有,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.第六課 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一、基本概念：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量1ea = ae =|a|cosq；2ab ab = 03當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|7判斷下列各題正確與否：1若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0 ( )2若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0 ( )3若a 0，ab = 0，則b = 0 ( )4若ab = 0，則a 、b至少有一個(gè)為零 ( )5若a 0，ab = ac，則b = c ( )6若ab = ac，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)成立 ( )7對任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc) ( )8對任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a b = b a證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b)證：若> 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）()三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = q = 60例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和解：如圖：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫?，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得(2)即，也即ABBC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系四、課堂練習(xí)：1下列敘述不正確的是（ ）A向量的數(shù)量積滿足交換律 B向量的數(shù)量積滿足分配律C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 Dab是一個(gè)實(shí)數(shù)2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為，則(a+2b)(a-3b)等于（ ）A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ）A平行 B垂直 C夾角為 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150，則(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=_,|a-b|= 6設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+b與ab垂直，則 參考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6五、課后作業(yè)1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件4已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知ab、c與a、b的夾角均為60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)_7已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求ab;(2)若a、b的夾角為，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角8設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角9對于兩個(gè)非零向量a、b，求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角參考答案：1D 2B 3C 4 5 63 6 117(1)- (2) (3)45 8 120 9 90