概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題2及答案

習(xí)題二3.設(shè)在15只同類(lèi)型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=0當(dāng)0x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當(dāng)1x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=1故X的分布函數(shù)(3) 4.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)5.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=a/N， k=1，2，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .6.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率;（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2437.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N(xiāo)條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.8.已知在五重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿(mǎn)足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X6（5，0.3）(2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb（7，0.3）10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，試求PY1.【解】因?yàn)?，?而 故得 即 從而 12.某教科書(shū)出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,得 13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫(xiě)出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)， 故 17.在區(qū)間0，a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0，a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X0,a，密度函數(shù)為故當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0xa時(shí)當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)18.設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè)，求至少有兩次的觀(guān)測(cè)值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車(chē)去火車(chē)站乘火車(chē)，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的把握大些？（2） 又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則若走第二條路，XN（50，42），則+故走第二條路乘上火車(chē)的把握大些.（2） 若XN（40，102），則若XN（50，42），則 故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些.21.設(shè)XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）XN（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠(chǎng)生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允許最大不超過(guò)多少？【解】 故 24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0x<1時(shí) 當(dāng)1x<2時(shí) 當(dāng)x2時(shí)故 26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（1） f(x)=ae-|x|,>0;(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí)當(dāng)x>0時(shí) 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0<x<1時(shí) 當(dāng)1x<2時(shí) 當(dāng)x2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，（1）=0.01，求;（2）=0.003，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.設(shè)PX=k=()k, k=1,2,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 30.設(shè)XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y1時(shí)當(dāng)y>1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y0時(shí)當(dāng)y>0時(shí) 故32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y0時(shí)，當(dāng)0<y<1時(shí)， 當(dāng)y1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知填1。由右連續(xù)性知，故為0。從而亦為0。即34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知F（x）=則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（-,+）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線(xiàn)，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C）37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。故選（A）。38.設(shè)隨機(jī)變量XN（0，2），問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)?利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買(mǎi)該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Yb(m,p)，即由全概率公式有 此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)閜.40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<Y<1）=1當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0<y<1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即YU（0，1）41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0k1,P(X<k)= 當(dāng)k=1時(shí)P（X<k）=若1k3時(shí)P（X<k）=若3<k6，則P（X<k）=若k>6,則P（X<k）=1故只有當(dāng)1k3時(shí)滿(mǎn)足P（Xk）=.42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若隨機(jī)變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】45.若隨機(jī)變量XN（2，2），且P2<X<4=0.3，則PX<0= . 【解】故 因此 46.假設(shè)一廠(chǎng)家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠(chǎng)；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠(chǎng)，以概率0.2定為不合格品不能出廠(chǎng).現(xiàn)該廠(chǎng)新生產(chǎn)了n(n2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠(chǎng)的概率；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠(chǎng)的概率；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠(chǎng)的概率. 【解】設(shè)A=需進(jìn)一步調(diào)試，B=儀器能出廠(chǎng)，則=能直接出廠(chǎng)，AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠(chǎng)由題意知B=AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠(chǎng)的臺(tái)數(shù)，則X6（n，0.94）,故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則XN（72，2）故 查表知 ,即=12從而XN（72，122）故 48.在電源電壓不超過(guò)200V、200V240V和超過(guò)240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252）.試求：（1） 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200240V的概率【解】設(shè)A1=電壓不超過(guò)200V，A2=電壓在200240V，A3=電壓超過(guò)240V，B=元件損壞。由XN（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)ye2時(shí)FY（y）=P(Yy)=0. 當(dāng)e2<y<e4時(shí)， 當(dāng)ye4時(shí)，即 故 50.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y1）=1當(dāng)y1時(shí)，當(dāng)y>1時(shí)， 即 故 51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為t的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t<0時(shí)，當(dāng)t0時(shí)，事件T>t與N(t)=0等價(jià)，有即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（2） 53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1<X<1出現(xiàn)的條件下，X在-1，1內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=PXx. (1997研考)【解】顯然當(dāng)x<-1時(shí)F（x）=0；而x1時(shí)F（x）=1由題知當(dāng)-1<x<1時(shí)，此時(shí) 當(dāng)x=-1時(shí)，故X的分布函數(shù)54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（1,12),Y服從正態(tài)分布N(2,22)，且P|X-1|<1>P|Y-2|<1，試比較1與2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因?yàn)?，即，所以?，即.23