4、∞) D．(－∞，－1]
【答案】B
【方法規(guī)律】
1．解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法．
2．解含參數(shù)的“一元二次不等式”時，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進(jìn)行討論；其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在，即Δ的符號進(jìn)行討論；最后在根存在時，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論．
3．解決恒成立問題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．
4．對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函
5、數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．
5．解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，可先求出相應(yīng)函數(shù)這個區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問題．
【變式探究】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________．
【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)
【解析】通解：先求出函數(shù)f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．
設(shè)x<0，則－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝
6、0，于是f(x)＝當(dāng)x>0時，由x2－4x>x得x>5；
看出當(dāng)f(x)>x時，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
考點二 基本不等式及應(yīng)用
例2、【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】總費用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
【變式探究】(1)設(shè)a＞0，b＞0.若關(guān)于x，y的方程組無解，則a＋b的取值范圍是________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】通解：依題意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)
7、＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程組無解得，關(guān)于x的方程(1－ab)x＝1－b無解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范圍是(2，＋∞)．
優(yōu)解：由題意，關(guān)于x，y的方程組無解，則直線ax＋y＝1與x＋by＝1平行且不重合，從而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范圍是(2，＋∞)．
(2)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】通解：因為直線＋＝1
8、(a＞0，b＞0)過點(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取“＝”，故選C.
優(yōu)解：如圖a，b分別是直線＋＝1在x，y軸上的截距，A(a,0)，B(0，b)，當(dāng)a→1時，b→＋∞，當(dāng)b→1時，a→＋∞，只有點(1,1)為AB的中點時，a＋b最小，此時a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
【方法技巧】
1．常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時要滿足“一正、二定、三
9、相等”，否則容易出現(xiàn)錯解．
2．拼湊法就是將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題．
【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2的值域為(－∞，0]∪[4，＋∞) ，則a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
考點三 求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值
例3、【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
10、【答案】D
【解析】畫出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線,可知當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點時, 取得最大值，為,故選D.
【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元．
【答案】216
11、 000
(2)(2016·高考全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為________．
【答案】－5
【解析】通解：作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直線y＝x并平移，觀
【方法技巧】求目標(biāo)函數(shù)的最值的方法
1．幾何意義法
(1)常見的目標(biāo)函數(shù)
①截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
②距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z＝|PM|2.
③斜率型：形如z＝，設(shè)動點P(x，y)，定點M
12、(a，b)，則z＝kPM.
(2)目標(biāo)函數(shù)z＝xy的幾何意義
①由已知得y＝，故可理解為反比例函數(shù)y＝的圖象，最值需根據(jù)該函數(shù)圖象與可行域有公共點時進(jìn)行判斷．
②設(shè)P(x，y)，則|xy|表示以線段OP(O為坐標(biāo)原點)為對角線的矩形面積．
2．界點定值法，利用可行域所對應(yīng)圖形的邊界頂點求最值．
【變式探究】設(shè)x，y滿足約束條件且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】通解：選B.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線x＋ay＝0，可知在點A處，z取得最小值，
1.【201
13、7課標(biāo)1，文7】設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D．
2.【2017課標(biāo)II，文7】設(shè)滿足約束條件 ,則的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
3.【2017課標(biāo)3，文5】設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【答案】B
【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.
14、
4.【2017北京，文4】若滿足則的最大值為
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如圖，畫出可行域，
表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.
5.【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
6.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是
A．[0，6] B．[0，4
15、] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D．
7.【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】總費用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津文數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）
（A） （
16、B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.
3.【2016高考山東文數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值為,故選C.
4.【2016高考浙江文數(shù)】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)
17、域
中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
5.【2016年高考北京文數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點時，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.
6.【2016年高考四川文數(shù)】設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)
18、x，y滿足 則p是q的( )
（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】A
7.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_____________.
【答案】
8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超
19、過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元．
【答案】
【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么
①
目標(biāo)函數(shù).
二元一次不等式組①等價于
②
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.
將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過點時, 取得最大值.
9.【2016高考江蘇卷】 已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ▲ .
【答案】
【解析】由圖知原點到直線距離平方為最小值，為，原點到點距離平方為最大值，為，因此取值范圍為
1.【2015高考北京，文2】若，滿足則的最大值為（ ）
20、
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
2．【2015高考廣東，文6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+，
則由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+，經(jīng)過點A時直線y=﹣x+的截距最小，
此時z最小，
由，解得，即A（1，），
此時z=3×1+2×=，
故選：B．
3.【2015高考天津，文2】設(shè)變量 滿足約束條件 ，則
21、目標(biāo)函數(shù)的最大值為( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
4.【2015高考陜西，文10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）
A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元
甲
乙
原料限額
（噸）
（噸）
【答案】D
5.
22、【2015高考福建，文5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山東，文6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式組 在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，
若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 或 ，經(jīng)檢驗，是最優(yōu)解，此時 ；不
23、是最優(yōu)解.故選B.
7.【2015高考新課標(biāo)1，文15】若滿足約束條件，則的最大值為 .
【答案】3
【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.
8.【2015高考浙江，文14】若實數(shù)滿足，則的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新課標(biāo)2，文14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為____________．
【答案】
【考點定位】線性規(guī)劃．
10.【2015高考湖南，文4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（
24、 ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時，的最小值是，故選A.
11.【2015高考四川，文9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
12.【2015高考陜西，文9】設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B． C．
25、D．
【答案】C
【解析】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故選C．
1. 【2014高考安徽卷文第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【考點定位】線性規(guī)劃
2. 【2014高考北京版文第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，沒有最小值，不合題意；
【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，求目標(biāo)函數(shù)的最小值
3
26、. 【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為________.
【答案】1
【解析】依題意如圖可得目標(biāo)函數(shù)過點A時截距最大.即.
【考點定位】線性規(guī)劃.
4. 【2014高考福建卷第13題】要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）.
【答案】88
【解析】假設(shè)底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價是.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r區(qū)到最小值.
【考點定位】函數(shù)的最值.
5. 【2014高考廣東卷文第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分
27、別為和，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
上的截距最大，此時取最大值，即；
當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點時，此時直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即
.
因此，，故選C.
【考點定位】線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值
6. 【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則.
【答案】
【解析】求出約束條件中三條直線的交點為,且不等式組限制的區(qū)域如圖,所以,則當(dāng)為最優(yōu)解時,,
當(dāng)為最優(yōu)解時,, 因為,所以,故填.
【考點定位】線性規(guī)劃
7. 【2014遼寧高考文
28、第16題】對于，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為 .
【答案】
當(dāng)時，，
綜上可知當(dāng)時，
【考點定位】柯西不等式.
8. 【2014全國1高考文第9題】不等式組的解集為D,有下面四個命題：
， ，
，
其中的真命題是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考點定位】線性規(guī)劃、存在量詞和全稱量詞．
10. 【2014山東高考文第5題】已知實數(shù)滿足，則下面關(guān)系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以，，選
29、.
【考點定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì).
11. 【2014山東高考文第9題】 已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】畫出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過直線與直
【考點定位】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).
12. 【2014四川高考文第4題】若，，則一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，則一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
30、【解析】，又.選D
【考點定位】不等式的基本性質(zhì).
13. 【2014四川高考文第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【考點定位】程序框圖與線性規(guī)劃.
14. 【2014浙江高考文第13題】當(dāng)實數(shù)，滿足時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知，，且在點取得最小值在取得最大值，故，，故取值范圍為．
【考點定位】線性規(guī)劃.
15. 【2014天津高考文第2題】設(shè)變量，滿足約束條件則
31、目標(biāo)函數(shù)的最小值為 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由題畫出如圖所示的可行域，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，，故選B．
【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題．
16. 【2014大綱高考文第14題】設(shè)滿足約束條件，則的最大值為 .
【答案】5.
【解析】畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（圖4陰影部分）．，把平移可知當(dāng)直線過點時，取最大值：．
【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線線目標(biāo)函數(shù)的最值的計算．
17. 【2014高考上海文科】
32、若實數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________.
【答案】
【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
【考點定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21題】設(shè)實數(shù)，整數(shù)， .
（1）證明：當(dāng)且時，；
（2）數(shù)列滿足，，證明：.
【答案】（1）證明：當(dāng)且時，；（2）.
【解析】
綜上所述，.
證法2：設(shè)，則，并且
.
由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時，.
①當(dāng)時，由，即可知
，并且，從而.
故當(dāng)時，不等式成立.
②假設(shè)時，不等式成立，則當(dāng)時，，即有.
所以當(dāng)時，原不等式也成立.
綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立.
【考點定位】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式.
34
2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題05 不等式與線性規(guī)劃講學(xué)案 文
