直線與平面垂直的判定.ppt

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2 3直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 2 3 1直線與平面垂直的判定 1 下面四個命題 其中真命題的個數(shù)是 B 垂直于同一直線的兩條直線平行 垂直于同一直線的兩個平面平行 平行于同一平面的兩個平面平行 平行于同一直線的兩條直線平行 B 3個D 1個 A 2個C 4個 解析 正確 2 下列命題 a b表示直線 表示平面 中的真命題是 A 3 下列命題中 假命題是 D A 過一點有一個平面與已知直線垂直B 過一點至多只有一個平面與已知直線垂直C 過一點有且只有一個平面與已知直線垂直D 過一點可能有兩個平面與已知直線垂直 4 直線l和平面 內(nèi)無數(shù)條直線垂直 則 D A l和 相互平行B l和 相互垂直C l在 內(nèi)D 不確定 解析 直線l和平面 內(nèi)無數(shù)條直線垂直 可能是l l 或l和 相交 也可能垂直 即l和 的位置關(guān)系不確定 重點 線面垂直的判定 1 判定直線和平面是否垂直 通常有三種方法 1 定義法 如果直線l與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直 則直線l與平面 互相垂直 記作l l 平面 的垂線 直線l的垂面 它們的唯一公共點P叫做垂足 線線垂直 線面垂直 2 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 則這條直線與該平面垂直 用符號語言表示為 若l m l n m n B m n 則l 3 若兩條平行直線中的一條垂直于平面 則另一條也垂直于這個平面 2 根據(jù)線面垂直的定義知 線面垂直可以得到大量線線垂直 由線面垂直的判定定理知 要得到線面垂直就需要線線垂直 要深切體會線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化 3 定理 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直 過一點有且只有一個平面與已知直線垂直 難點 直線與平面所成的角 斜線和平面所成的角 簡稱 線面角 它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角 求直線和平面所成的角 一般先定斜足 再作垂線找射影 然后通過解直角三角形求解 可以簡述為 作 作出線面角 證 證所作為所求 求 解直角三角形 通常 過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段 并連接垂足和斜足是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵 線面垂直判定定理的應(yīng)用 例1 已知 如圖1 空間四邊形ABCD中 AB AC DB DC 取BC中點E 連接AE DE 求證 BC 平面AED 圖1 證明 AB AC DB DC E為BC中點 AE BC DE BC 又 AE與DE交于E BC 平面AED 由判定定理可知要證明直線垂直平面 只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可 1 2 圖2 A SG 平面EFGC GF 平面SEF B SD 平面EFGD GD 平面SEF 解析 在題圖 1 中 SG1 G1E SG3 G3F 在題圖 2 中 SG GE SG GF SG 平面EFG A 安全文明考試 1 2 如圖3 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AC CD E是PC上的任一點 除P和C點外 證明 CD AE 圖3 直線與平面所成的角 例2 如圖4 在正方體ABCD A1B1C1D1中 求A1B與平 面A1B1CD所成的角 圖4 求直線和平面所成的角時 應(yīng)注意的問題是 1 先判斷直線和平面的位置關(guān)系 2 當(dāng)直線和平面斜交時 常有以下步驟 作 作出或找到斜線與射影所成的角 證 論證所作或找到的角為所求的角 算 常用解三角形的方法求角 結(jié)論 說明斜線和平面所成的角值 圖5 2 1 如圖5 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為 A 答案 D 解析 如圖22 連接A1C1 則 AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成角 圖22 證明 PA O所在平面 BC O所在平面 PA BC AB為 O直徑 AC BC 又PA AC A BC 平面PAC 又AE 平面PAC BC AE AE PC PC BC C AE 平面PBC 線面垂直判定定理的應(yīng)用例3 如圖6 已知PA O所在平面 AB為 O直徑 C是圓周上任一點 過A作AE PC于E 求證 AE 平面PBC 圖6 3 1 PA是垂直于以AB為直徑的圓所在的平面 C為圓上 B 異于A B的任一點 則下列關(guān)系不正確的是 A PA BCB AC PBC BC 平面PACD PC BC 圖7 錯因剖析 沒有正確使用線面垂直的判定定理 例4 如圖7 a b 點P在a b所確定的平面外 PA a于點A AB b于點B 求證 PB b 4 1 P為 ABC所在平面外一點 O為P在平面ABC上的 射影 1 若PA PB PC 則O是 ABC的 2 若PA BC PB AC 則O是 ABC的 3 若P到 ABC三邊的距離相等 且O在 ABC內(nèi)部 則 O是 ABC的 4 若PA PB PC兩兩互相垂直 則O是 ABC的 外心 垂心 內(nèi)心 垂心 3 如圖25 圖25 P到 ABC三邊的距離分別是PD PE PF 則PD PE PF PO 平面ABC PD PE PF在平面ABC上的射影 分別是OD OE OF OD OE OF 且OD AB OE BC OF AC O是 ABC的內(nèi)心 故填內(nèi)心 PO 平面ABC OA是PA在平面ABC上的射影 又 PA PB PA PC PA 平面PBC 又 BC 平面PBC PA BC OA BC 同理可證OB AC O是 ABC的垂心 故填垂心 4 如圖26 圖26