2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一單元 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、第一單元 常用邏輯用語1解邏輯用語問題三絕招1利用集合理清關(guān)系充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點(diǎn)要解決這個難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法本文使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實(shí)踐證明效果較好集合模型解釋如下：A是B的充分條件，即AB.A是B的必要條件，即BA.A是B的充要條件，即AB.A是B的既不充分也不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1“x23x20”是“x1”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析設(shè)命題p：“x23x20”，q：“x1”

2、對應(yīng)的集合分別為A、B，則Ax|x1或x2，Bx|x1，顯然“AB，BA”，因此“x23x20”是“x1”的既不充分也不必要條件答案既不充分也不必要2抓住量詞對癥下藥全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對癥下藥例2(1)已知命題p：“任意x1,2，x2a0”，與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(2)已知命題p：“存在x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“

3、當(dāng)x1,2時，(x2a)min0”，即1a0，即a1.命題q：即方程有解，(2a)24(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a1.(2)命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x1,2時，(x2a)max0，即4a0，即a4.命題q同(1)綜上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4點(diǎn)評認(rèn)真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)量詞，有的放矢3等價轉(zhuǎn)化提高速度在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命

4、題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真例3設(shè)p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，即圓x2y2r2外的點(diǎn)的集合ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r，直線3x4y120上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于等于r，原點(diǎn)O到直線3x4y120的距離d，r的取值范圍為00)在p：所對應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“

5、q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法2判斷條件四策略1應(yīng)用定義如果pq，那么稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件判斷的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論例1設(shè)集合Mx|x2，Px|x0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是_解析設(shè)p、q分別對應(yīng)集合P、Q，則Px|2x10，Qx|1mx1m，由題意知，pq，但qD/p.故PQ，所以或解得m9.即m的取值范圍是9，)答案9，)4等價轉(zhuǎn)化由于互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以當(dāng)由p推q較困難時，可利用等價轉(zhuǎn)化，先判斷由非q推非p，從而得到pq.例4已知p：xy2，q：x，y不都是1，則p

6、是q的_條件解析因?yàn)閜：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因?yàn)榻恜D/綈q，但綈q綈p，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件答案充分不必要3走出邏輯用語中的誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)AAB.錯解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x2的值也不定，故無法判斷x20是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x220成立，故(2)為真命題(3)

7、若AB，則ABABAB；若AB，則ABAABB.由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集，故AAB成立，故(4)為真命題正解(2)、(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2b2，則ab.錯解(1)因?yàn)樵}為真命題，故其否命題是假命題；(2)因?yàn)樵}為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假沒有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應(yīng)先寫出命題的否命題，再判斷正解(1)否命題：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題：若a2b2，則ab，是假命題

8、誤區(qū)3搞不清誰是誰的條件例3使不等式x30成立的一個充分不必要條件是()Ax3 Bx4Cx2 Dx1,2,3錯解由不等式x30成立，得x3，顯然x3x2，又x2D/x3，因此選C.剖析若p的一個充分不必要條件是q，則qp，pD/q.本題要求使不等式x30成立的一個充分不必要條件，又x4x30，而x30D/x4，所以使不等式x30成立的一個充分不必要條件為x4.正解B誤區(qū)4考慮問題不周例4如果a，b，cR，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件錯解判別式b24ac0，即方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根；若

9、方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根，則判別式b24ac0，即b24ac.綜上可知“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根”的充要條件，故選C.剖析判別式b24ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷對于方程ax2bxc0，當(dāng)a0時，原方程為一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判別式，所以當(dāng)b24ac時不能推出方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根；若方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根，則它的判別式b24ac0，即b24ac.由上可知，“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根”的必要不充分條件正解B誤區(qū)5用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例5(1)已知p：方程(x11)

10、(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫出“pq”；(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“pq”錯解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應(yīng)是假命題而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題錯誤原因：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的條件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊

11、形是正方形誤區(qū)6不能正確否定結(jié)論例6p：方程x25x60有兩個相等的實(shí)數(shù)根，試寫出“綈p”錯解綈p：方程x25x60有兩個不相等的實(shí)數(shù)根剖析命題p的結(jié)論：“有兩個相等的實(shí)數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60沒有兩個相等的實(shí)數(shù)根誤區(qū)7對含有一個量詞的命題否定不完全例7已知命題p：存在一個實(shí)數(shù)x0，使得xx020，寫出綈p.錯解一綈p：存在一個實(shí)數(shù)x0，使得xx020.錯解二綈p：對任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x20，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問題解解不等式x2

12、8x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0依題意pq，但qD/p，說明AB.于是有或，解得01a2，即q真a2.由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假若p真q假，則無解；若p假q真，則1a2.故滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)答案(1,2)點(diǎn)評若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時，可以先等價轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個命題為真時參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍3反例意識在“邏輯”中，經(jīng)常要對一個命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個命題是假命題不易進(jìn)行，這時可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明，這是一個簡單有效的辦法例4設(shè)A，B為兩個集合，則下列四個命題中真命題的序號是_AB對任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析畫出表示AB的Venn圖進(jìn)行判斷解析畫出Venn圖，如圖1所示，則AB存在xA，使得xB，故是假命題，是真命題ABBA不成立的反例如圖2所示同理可得BAAB不成立故是假命題綜上知，真命題的序號是.答案8