2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.1 二階矩陣與平面向量 2.1.1 矩陣的概念教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 2.1.1 矩陣的概念 1.矩陣 在數(shù)學(xué)中,把形如,,這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱作矩陣,一般地,我們用大寫黑體拉丁字母A,B,…或者(aij)來表示矩陣,其中i,j分別表示元素所在的行和列.同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)(或字母)叫做矩陣的行,同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)(或字母)叫做矩陣的列,組成矩陣的每一個數(shù)(或字母)稱為矩陣的元素,所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣,記為0. 2.行矩陣,列矩陣 一般地,我們把像[a11 a12]這樣只有一行的矩陣稱為行矩陣,而把像這樣只有一列的矩陣稱為列矩陣,并用希臘字母α,β,…來表示. 平面上向量α=(x,y)的坐標

2、和平面上的點P(x,y)都可以看做是行矩陣[x,y],也可以看做是列矩陣.因此,我們又稱[x y]為行向量,稱為列向量,在本書中,我們把平面向量(x,y)的坐標寫成的形式. 3.矩陣相等 對于兩個矩陣A,B,只有當A,B的行數(shù)與列數(shù)分別相等,并且對應(yīng)位置的元素也分別相等時,A和B才相等,此時記作A=B. 用矩陣表示平面圖形 [例1]  畫出矩陣所表示的三角形,并求該三角形的面積. [思路點撥] 寫出平面圖形頂點的坐標即可. [精解詳析]  矩陣所表示的三角形的三個頂點分別為(-1,1),(4,-1),(3,1).所求三角形的面積為4. 1.矩陣可

3、以表示點A(-1,1),B(4,-1),C(3,1)或由它們構(gòu)成的三角形; 2.表示同一個三角形的矩陣不唯一,如本例三角形,可用矩陣等表示; 3.空間圖形也可以用矩陣表示,不過需注意空間中點的坐標是由3個實數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組. 1.在平面直角坐標系內(nèi),分別畫出矩陣,,,所表示的以坐標原點為起點的向量. 解:矩陣,,,所表示的以坐標原點為起點的向量對應(yīng)的坐標分別為(1,2),(-1,2),(1,-2),(0,-2).按要求畫出相應(yīng)向量即可. 2.已知A(0,0),B(2,3),C(6,3),D(4,0),寫出表示四邊形ABCD的一個矩陣. 解:表示四邊形ABCD的矩陣可以為

4、或等. 矩陣在實際生活中的應(yīng)用 [例2] 已知甲、乙、丙三人中,甲與乙相識,甲與丙不相識,乙與丙相識.用0表示兩人之間不相識,用1表示兩人之間相識,請用一個矩陣表示他們之間的相識關(guān)系(規(guī)定每個人和自己相識). [思路點撥] 先列出一個表格表示他們之間的相識關(guān)系,然后利用表格再用矩陣表示即可. [精解詳析] 將他們之間的相識關(guān)系列表如下: 甲 乙 丙 甲 1 1 0 乙 1 1 1 丙 0 1 1 故用矩陣表示為. 用矩陣表示實際問題時,要注意元素的次序,矩陣中元素的次序不一樣,表示的實際問題可能就不一樣. 3.某物流公

5、司負責(zé)從兩個礦區(qū)向三個企業(yè)配送煤: 從甲礦區(qū)向企業(yè)A,B,C送的煤分別是100萬噸、200萬噸、150萬噸;從乙礦區(qū)向企業(yè)A,B,C送的煤分別是150萬噸、150萬噸、300萬噸.試用矩陣表示上述數(shù)據(jù)關(guān)系. 解:列表如下(單位:萬噸): 企業(yè)A 企業(yè)B 企業(yè)C 甲礦區(qū) 100 200 150 乙礦區(qū) 150 150 300 記M=,則矩陣M就是上述數(shù)據(jù)關(guān)系的一個表示. 4.兩類藥片有效成分如下表所示: 成分 藥品    阿司匹林(mg) 小蘇打(mg) 可待因(mg) A(1片) 2 5 1 B(1片) 1 7 6 試用矩陣

6、表示A、B兩種藥品每片中三種成分所含的質(zhì)量. 解:表示A、B兩種藥品成分的矩陣為. 矩陣相等 [例3] 已知矩陣A=,B=,若A=B,試求a,b,c,d的值. [思路點撥] 我們說兩個矩陣是相等的,是指兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相同,并且相應(yīng)位置的元素也分別相等,本題考查對矩陣相等定義的理解. [精解詳析]  因為A=B,即=, 由矩陣相等的意義可知 由此解得a=2,b=0,c=1,d=4. 兩個同行同列的矩陣,只要有一個對應(yīng)位置上的元素不一樣,這兩個矩陣就不相等,如≠兩個不同行(或者不同列)的矩陣一定是不相等的,如以零矩陣為例:[0,0]和,盡管兩個矩陣的元素

7、均為0,但兩者不相等.這好比,現(xiàn)在有甲、乙兩支球隊進行足球比賽,前一個零矩陣可表示他們之間進行了一場比賽,比賽結(jié)果為0∶0,而后者可表示他們之間進行了兩場比賽,兩場比賽的結(jié)果均為0∶0. 5.已知A=,B=,若A=B,求x與y的值. 解:∵A=B, ∴解得 6.已知A=,B=,且A=B,求x,y,m,n的值. 解:由矩陣相等的充要條件得 解得 1.設(shè)A為二階矩陣,且規(guī)定元素aij=i+j(i=1,2,j=1,2),試求A. 解:由題意可知a11=2,a12=3,a21=3,a22=4, ∴A=. 2.矩陣M=表示平面中三角形ABC的頂點坐標,問三角形是什

8、么三角形? 解:由A(1,1),B(1,3),C(3,1),畫圖可得△ABC是等腰直角三角形. 3.已知二元一次方程組的系數(shù)矩陣為,方程組右邊的常數(shù)項矩陣為,試寫出該方程組. 解: 4.營養(yǎng)配餐中心為學(xué)生準備了各種菜肴,每份中能量、脂肪、蛋白質(zhì)的含量各不相同.“紅燒肉”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為649千卡(1千卡=4 187 焦耳)、30 g、10 g;“青椒肉絲”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為258千卡、20 g、19 g;“韭菜豆芽”中所含上述三種營養(yǎng)成分分別為131千卡、15 g、3 g,試將上述結(jié)果用矩陣表示出來. 解:每千克各種菜肴中各種營養(yǎng)成分的含量如下表: 能量(

9、千卡) 脂肪(g) 蛋白質(zhì)(g) 紅燒肉 649 30 10 青椒肉絲 258 20 19 韭菜豆芽 131 15 3 所以可用矩陣M表示為M=. 5.已知平面上正方形ABCD(順時針)的四個頂點可以用矩陣表示為,求a,b,c,d的值及正方形ABCD的面積. 解:由題意知正方形ABCD的四個頂點的坐標依次為A(0,0)、B(a,c)、C(0,4)、D(b,d),從而可求得a=-2,b=2,c=d=2.∴|AB|=2,正方形ABCD的面積為8. 6.已知A=,B=,若A=B,試求x,y,m,n的值. 解:由于A=B,則和 解得x=1,y=2,m=3,n=4. 7.已知A=,B=,若A=B,求α、β. 解:由矩陣相等的充要條件得 ∴ ∴ 8.設(shè)M是一個3×3的矩陣,且規(guī)定其元素aij=2i+j,i=1,2,3,j=1,2,3,試求M. 解:由題意可知,a11=3,a12=4,a13=5,a21=5,a22=6,a23=7,a31=7,a32=8,a33=9.故矩陣M=. 6

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