《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教A版必修5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教A版必修5(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
習(xí)題課 數(shù)列求和
[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 掌握數(shù)列求和的幾種基本方法.
知識(shí)點(diǎn) 數(shù)列求和的方法
1.基本求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn==na1+d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn==.
2.倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.
思考 已知f(x)=,利用等差數(shù)列求和的方法求f()+f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.
答案
解
2、析 設(shè)原式=S,
則S=f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)+f()+f()+f()+f(),
∵f(n)+f()=+=1,
∴S=4+f(1)=4+=.
3.錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.
4.裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.
裂項(xiàng)相消求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式:
(1)=-;
(2)=;
(3)=-.
5.分組求和法
分組求和一般適用于兩種形式:
(1)若an=bn±cn,且
3、{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和;
(2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
6.并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,可兩兩結(jié)合求解,則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求解.
題型一 分組求和法
例1 在等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由已知得
解得
所以an=a1+(n-1)d=n
4、+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n,
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=+
=(211-2)+55
=211+53=2 101.
反思與感悟 某些數(shù)列通過(guò)適當(dāng)分組,可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和,從而得出原數(shù)列的和.
跟蹤訓(xùn)練1 已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n
5、項(xiàng)和.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q,
由得
∴{bn}的通項(xiàng)公式bn=b1qn-1=3n-1,
又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,
∴1+(14-1)d=27,解得d=2.
∴{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.
∵cn=an+bn=2n-1+3n-1,
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1=2(1+2+…+n)-n+
=2×-n+
=n2+.
即數(shù)列
6、{cn}的前n項(xiàng)和為n2+.
題型二 錯(cuò)位相減法求和
例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
由S4=4S2,a2n=2an+1得
解得a1=1,d=2,
因此an=2n-1,n∈N*.
(2)由已知++…+=1-,n∈N*,
當(dāng)n=1時(shí),=,
當(dāng)n≥2時(shí),=1--=,
所以=,n∈N*.
由(1)知an=2n-1,n∈N*,
所以bn=,n∈N*,
所以T
7、n=+++…+,
Tn=+++…++,
兩式相減得Tn=+-=--,
所以Tn=3-.
反思與感悟 用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意:(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;
(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.若公比是個(gè)參數(shù)(字母),則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論,一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和.
跟蹤訓(xùn)練2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)∵an+1=2Sn
8、,
∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn,∴=3.又∵S1=a1=1,
∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.
∴Sn=3n-1(n∈N*).
當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1,
∴an=
(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,
當(dāng)n=1時(shí),T1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①
∴3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②
①-②得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·-2n·3n-1
=-1+(1-2n)·3n-1,
∴Tn=+(n-)3n-1
9、(n≥2),
又∵T1=a1=1也滿(mǎn)足上式,
∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*).
題型三 裂項(xiàng)相消求和
例3 求數(shù)列,,,,…的前n項(xiàng)和.
解 因?yàn)橥?xiàng)an==(-),所以此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]
=(1+--)
=-.
反思與感悟 如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可以化為f(n+1)-f(n)的形式,在數(shù)列求和時(shí),就可以采用裂項(xiàng)相消法.要注意相消后的項(xiàng)要對(duì)稱(chēng),如前面留下兩項(xiàng),則后面也會(huì)留下兩項(xiàng).
跟蹤訓(xùn)練3 正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a-(2n-1)an-2n=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,求數(shù)列{bn}的前
10、n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由a-(2n-1)an-2n=0,
得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=,
得bn==(-).
所以Tn=(1-+-+…+-+-)=(1-)=.
題型四 并項(xiàng)求和法
例4 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).
解 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)
=2·+(-2n+1)=-n;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n.
11、∴Sn=(-1)nn(n∈N*).
反思與感悟 當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)正、負(fù)相間時(shí),通常采用并項(xiàng)求和法,但應(yīng)注意對(duì)n的取值的奇偶性進(jìn)行討論.其結(jié)果有時(shí)可以統(tǒng)一書(shū)寫(xiě),有時(shí)要分段書(shū)寫(xiě).
跟蹤訓(xùn)練4 已知{an}是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且-=,S6=63.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列{(-1)nb}的前2n項(xiàng)和.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
由已知,有-=,解得q=2或q=-1.
又由S6=a1·=63,知q≠-1,
所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1.
(2)由題意,
12、得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,
即{bn}是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{(-1)nb}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則
T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)
=b1+b2+b2+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.
例5 已知f(x)=x+2x2+3x3+…+nxn,求f().
解 f()=+2×+3×+…+n×,①
∴f()=+2×+3×+…+n×,②
∴①-②得,f()=+++…+-
=1--,
∴f()=2--=2-.
誤區(qū)警示
(1)同乘的系數(shù)為等比數(shù)列的公比.
(2)指數(shù)相同的項(xiàng)
13、相減.
(3)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是(n-1)項(xiàng)還是n項(xiàng).
(4)指數(shù)式的計(jì)算是否正確.
(5)在涉及到公比為字母時(shí)應(yīng)注意討論q是否為1.
1.設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列,且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列{cn}是1,1,2,…,則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為( )
A.978 B.557 C.467 D.979
答案 A
解析 由題意可得a1=1,設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{bn}的公差為d,則,∴q2-2q=0,
∵q≠0,∴q=2,∴d=-1,
∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,
設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)
14、和為Sn,∴S10=978.
2.1002-992+982-972+…+22-12的值是( )
A.5 000 B.5 050
C.10 100 D.20 200
答案 B
解析 對(duì)相鄰兩項(xiàng)由平方差公式得,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an=n·2n,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為( )
A.n·2n+1 B.n·2n+1-2
C.(n-1)·2n+1+2 D.n·2n+1+2
答案 C
解析 Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
15、
相減得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1
=-2+(1-n)·2n+1,
∴Sn=(n-1)·2n+1+2.
4.?dāng)?shù)列1,2,3,4,…的前n項(xiàng)和為( )
A.(n2+n+2)- B.n(n+1)+1-
C.(n2-n+2)- D.n(n+1)+
答案 A
解析 Sn=
=(1+2+3+…+n)+
=+
=+1-=(n2+n+2)-.
求數(shù)列前n項(xiàng)和,一般有下列幾種方法
1.公式法:適用于已知類(lèi)型為等差或等比數(shù)列的求和.
2.錯(cuò)位相減:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.
3.分組求和:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.
4.裂項(xiàng)相消:有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過(guò)程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和.
5.奇偶并項(xiàng):當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(-1)n或(-1)n+1時(shí),常常需要對(duì)n取值的奇偶性進(jìn)行分類(lèi)討論.
6.倒序相加:例如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.
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