2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教A版必修5

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1、 習題課 數(shù)列求和 [學(xué)習目標] 掌握數(shù)列求和的幾種基本方法. 知識點 數(shù)列求和的方法 1.基本求和公式 (1)等差數(shù)列的前n項和公式:Sn==na1+d. (2)等比數(shù)列的前n項和公式:當q=1時,Sn=na1;當q≠1時,Sn==. 2.倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的. 思考 已知f(x)=,利用等差數(shù)列求和的方法求f()+f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________. 答案  解

2、析 設(shè)原式=S, 則S=f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)+f()+f()+f()+f(), ∵f(n)+f()=+=1, ∴S=4+f(1)=4+=. 3.錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的. 4.裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和. 裂項相消求和經(jīng)常用到下列拆項公式: (1)=-; (2)=; (3)=-. 5.分組求和法 分組求和一般適用于兩種形式: (1)若an=bn±cn,且

3、{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項和; (2)通項公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. 6.并項求和法 一個數(shù)列的前n項和,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解. 題型一 分組求和法 例1 在等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n

4、+2. (2)由(1)可得bn=2n+n, 所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =+ =(211-2)+55 =211+53=2 101. 反思與感悟 某些數(shù)列通過適當分組,可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和,從而得出原數(shù)列的和. 跟蹤訓(xùn)練1 已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n

5、項和. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q, 由得 ∴{bn}的通項公式bn=b1qn-1=3n-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…). (2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ∵cn=an+bn=2n-1+3n-1, ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1=2(1+2+…+n)-n+ =2×-n+ =n2+. 即數(shù)列

6、{cn}的前n項和為n2+. 題型二 錯位相減法求和 例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項和Tn. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, 由S4=4S2,a2n=2an+1得 解得a1=1,d=2, 因此an=2n-1,n∈N*. (2)由已知++…+=1-,n∈N*, 當n=1時,=, 當n≥2時,=1--=, 所以=,n∈N*. 由(1)知an=2n-1,n∈N*, 所以bn=,n∈N*, 所以T

7、n=+++…+, Tn=+++…++, 兩式相減得Tn=+-=--, 所以Tn=3-. 反思與感悟 用錯位相減法求和時,應(yīng)注意:(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形; (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.若公比是個參數(shù)(字母),則應(yīng)先對參數(shù)加以討論,一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和. 跟蹤訓(xùn)練2 數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項an; (2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn. 解 (1)∵an+1=2Sn

8、, ∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn,∴=3.又∵S1=a1=1, ∴數(shù)列{Sn}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列. ∴Sn=3n-1(n∈N*). 當n≥2時,an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1, ∴an= (2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 當n=1時,T1=1; 當n≥2時,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,① ∴3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,② ①-②得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·-2n·3n-1 =-1+(1-2n)·3n-1, ∴Tn=+(n-)3n-1

9、(n≥2), 又∵T1=a1=1也滿足上式, ∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*). 題型三 裂項相消求和 例3 求數(shù)列,,,,…的前n項和. 解 因為通項an==(-),所以此數(shù)列的前n項和Sn=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)] =(1+--) =-. 反思與感悟 如果數(shù)列的通項公式可以化為f(n+1)-f(n)的形式,在數(shù)列求和時,就可以采用裂項相消法.要注意相消后的項要對稱,如前面留下兩項,則后面也會留下兩項. 跟蹤訓(xùn)練3 正項數(shù)列{an}滿足a-(2n-1)an-2n=0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)令bn=,求數(shù)列{bn}的前

10、n項和Tn. 解 (1)由a-(2n-1)an-2n=0, 得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正項數(shù)列,所以an=2n. (2)由an=2n,bn=, 得bn==(-). 所以Tn=(1-+-+…+-+-)=(1-)=. 題型四 并項求和法 例4 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1). 解 當n為奇數(shù)時,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) =2·+(-2n+1)=-n; 當n為偶數(shù)時,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n.

11、∴Sn=(-1)nn(n∈N*). 反思與感悟 當數(shù)列中的項正、負相間時,通常采用并項求和法,但應(yīng)注意對n的取值的奇偶性進行討論.其結(jié)果有時可以統(tǒng)一書寫,有時要分段書寫. 跟蹤訓(xùn)練4 已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且-=,S6=63. (1)求{an}的通項公式; (2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)nb}的前2n項和. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由已知,有-=,解得q=2或q=-1. 又由S6=a1·=63,知q≠-1, 所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,

12、得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-, 即{bn}是首項為,公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(-1)nb}的前n項和為Tn,則 T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b) =b1+b2+b2+b4+…+b2n-1+b2n==2n2. 例5 已知f(x)=x+2x2+3x3+…+nxn,求f(). 解 f()=+2×+3×+…+n×,① ∴f()=+2×+3×+…+n×,② ∴①-②得,f()=+++…+- =1--, ∴f()=2--=2-. 誤區(qū)警示  (1)同乘的系數(shù)為等比數(shù)列的公比. (2)指數(shù)相同的項

13、相減. (3)等比數(shù)列的項數(shù)是(n-1)項還是n項. (4)指數(shù)式的計算是否正確. (5)在涉及到公比為字母時應(yīng)注意討論q是否為1. 1.設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列,且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列{cn}是1,1,2,…,則數(shù)列{cn}的前10項和為(  ) A.978 B.557 C.467 D.979 答案 A 解析 由題意可得a1=1,設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{bn}的公差為d,則,∴q2-2q=0, ∵q≠0,∴q=2,∴d=-1, ∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n, 設(shè)數(shù)列cn的前n項

14、和為Sn,∴S10=978. 2.1002-992+982-972+…+22-12的值是(  ) A.5 000 B.5 050 C.10 100 D.20 200 答案 B 解析 對相鄰兩項由平方差公式得,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 3.數(shù)列{an}的通項an=n·2n,數(shù)列{an}的前n項和Sn為(  ) A.n·2n+1 B.n·2n+1-2 C.(n-1)·2n+1+2 D.n·2n+1+2 答案 C 解析 Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n, 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,

15、 相減得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1 =-2+(1-n)·2n+1, ∴Sn=(n-1)·2n+1+2. 4.數(shù)列1,2,3,4,…的前n項和為(  ) A.(n2+n+2)- B.n(n+1)+1- C.(n2-n+2)- D.n(n+1)+ 答案 A 解析 Sn= =(1+2+3+…+n)+ =+ =+1-=(n2+n+2)-. 求數(shù)列前n項和,一般有下列幾種方法 1.公式法:適用于已知類型為等差或等比數(shù)列的求和. 2.錯位相減:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和. 3.分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列. 4.裂項相消:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式,相加過程消去中間項,只剩有限項再求和. 5.奇偶并項:當數(shù)列通項中出現(xiàn)(-1)n或(-1)n+1時,常常需要對n取值的奇偶性進行分類討論. 6.倒序相加:例如等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法. 8

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