2019版高考數(shù)學一輪復習 第十一章 坐標系與參數(shù)方程 第67講 坐標系學案

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1、 第67講　坐標系 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解坐標系的作用． 2．了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況． 3．能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化． 4．能在極坐標系中給出簡單圖形的方程，通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義. 2017·全國卷Ⅱ，22 2016·全國卷Ⅰ，23 2016·北京卷，11 極坐標與直角坐標在高考中主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程. 分值：5～10

2、分 1．平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標系 (1)極坐標系的概念 ①極坐標系： 如圖所示，在平面內(nèi)取一個__定點__O，點O叫做極點，自極點O引一條__射線__Ox，Ox叫做極軸；再選定一個__長度單位__、一個__角度單位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系． ②極坐標： 一般地，沒有特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． ③點與極坐標的關系：

3、 一般地，極坐標(ρ，θ)與　(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)　表示同一個點，特別地，極點O的坐標為　(0，θ)(θ∈R)　，與直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標有__無數(shù)__種表示． 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標__(ρ，θ)__表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是唯一確定的． (2)極坐標與直角坐標的互化 設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，則它們之間的關系為 3．常見曲線的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點，半徑為r的圓 __ρ＝r(0≤θ＜2π) __ 圓心為(r,0)，半徑為

4、r的圓 __ρ＝2rcos θ__ ____ 圓心為，半徑為r的圓 __ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)__ 過極點，傾斜角為α的直線 __θ＝α(ρ∈R) __或 __θ＝α＋π(ρ∈R) __ 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 __ρcos θ＝a__ ____ 過點，與極軸平行的直線 __ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)__ 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或打“×”)． (1)在伸縮變換下，直線仍然變成直線，圓仍然變成圓．(　×　) (2)在伸縮變換下，橢圓可變?yōu)閳A，圓可變?yōu)闄E圓．(　√　) (3)過極點，傾斜角為α的直線的極坐標方程

5、可表示為θ＝α或θ＝π＋α. (　√　) (4)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點O的圓的極坐標方程為ρ＝2asin θ.(　×　) 2．設平面上的伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線y＝sin x的方程變?yōu)開_y′＝3sin_2x′__. 解析 由知 代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′. 3．點P的直角坐標為(1，－)，則點P的極坐標為____. 解析 因為點P(1，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點P的極坐標為. 4．曲線ρ＝4sin θ與ρ＝2的交點坐標為__，__. 解析 由∴sin θ＝，∴θ＝或. 5．在極

6、坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a＞0)的一個交點在極軸上，則a＝____. 解析 曲線C1的直角坐標方程為x＋y＝1，曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝a2，曲線C1與x軸的交點坐標為，此點也在曲線C2上，代入解得a＝. 一　平面直角坐標系下圖形的伸縮變換 平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示，在伸縮變換作用下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓． 【例1】 (1)在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ：求點A經(jīng)過φ變換所得的點A′的坐標． (2)求直線l：y＝6

7、x經(jīng)過φ：變換后所得到的直線l′的方程． 解析 (1)設A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得到 由于點A的坐標為，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)為所求． (2)設直線l′上任意一點P′(x′，y′)，由上述可知，將代入y＝6x得2y′＝6×， ∴y′＝x′，即y＝x為所求． 二　極坐標與直角坐標的互化 極坐標方程與普通方程的互化技巧 (1)巧用極坐標方程兩邊同乘以ρ或同時平方的技巧，將極坐標方程構造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程． (2)巧借兩角和差公式，轉化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±

8、α)的結構形式，進而利用互化公式得到普通方程． (3)將直角坐標方程中的x轉化為ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標方程． 【例2】 在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ＞0)． (1)求曲線C1的直角坐標方程； (2)曲線C2的方程為＋＝1，設P，Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點，求的最小值． 解析 (1)曲線C1的方程可化為3(x2＋y2)＝12x－10， 即(x－2)2＋y2＝. (2)依題意可設Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圓C1的圓心為C

9、1(2,0)，半徑r1＝. 故|QC1|＝＝＝2， |QC1|min＝，所以|PQ|min＝|QC1|min－r1＝. 三　極坐標方程的求法與應用 已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程解決． 【例3】 (2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan

10、α0 ＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解析 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos 2θ－8cos θsin θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8cos θsin θ＝0，從而1－a2＝0，又a>0，所以a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上．所以a＝1.

11、 1．求雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過φ：變換后所得曲線C′的焦點坐標． 解析 設曲線C′上任意一點P′(x′，y′)，將代入x2－＝1得－＝1，化簡得－＝1，即－＝1為曲線C′的方程，可見仍是雙曲線，則所求焦點坐標為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)． 2．已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程． 解析 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2. 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓直角坐標

12、方程相減，得過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝. 3．在極坐標系中，求直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長． 解析 由ρsin＝2， 得(ρcos θ＋ρsin θ)＝2可化為x＋y－2＝0. 圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16， 由圓中的弦長公式得2＝2＝4. 故所求弦長為4. 4．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方

13、程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解析 (1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)， 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cos α· ＝2≤2＋. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為

14、2＋. 易錯點　忽略變量的取值范圍 錯因分析：忽略變量的取值范圍，導致錯誤． 【例1】 求極坐標方程ρ＝所對應的直角坐標方程． 解析 由ρ＝(sin θ≠0)，得ρ＝(cos θ≠±1)， ∴ρ－ρcos θ＝2(cos θ≠±1)，(*) ∴＝x＋2，化簡得y2＝4x＋4， 當cos θ＝1時，(*)式不成立； 當cos θ＝－1時，由(*)式知ρ＝1，∴x＝ρcos θ＝－1. 綜上可知，y2＝4x＋4(x≠－1)即為所求． 【跟蹤訓練1】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤φ<π)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ

15、＝1，l與C交于不同的兩點P1，P2. (1)求φ的取值范圍； (2)以φ為參數(shù)，求線段P1P2中點軌跡的參數(shù)方程． 解析 (1)曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝1， 將代入x2＋y2＝1得t2－4tsin φ＋3＝0，(*) 由Δ＝16sin 2φ－12>0得|sin φ|>，∵0≤φ<π，∴<φ<. (2)由(*)知，＝2sin φ，代入中， 整理得P1P2的中點的軌跡方程為. 課時達標　第67講 [解密考綱]高考中，主要涉及曲線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化，兩種不同方式的方程的互化是考查的熱點，常以解答題的形式

16、出現(xiàn)． 1．求橢圓＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程． 解析 由得到 代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 2．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為ρcos＝a，且點A在直線l上． (1)求a的值及直線l的直角坐標方程； (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關系． 解析 (1)由點A在直線l上，得cos＝a，則a＝，故直線l的方程可化為ρsin θ＋ρcos θ＝2，得直線l的直角坐標方程為x＋y

17、－2＝0. (2)圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心C到直線l的距離d＝＝<1，所以直線l與圓C相交． 3．(2018·海南模擬)已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝6cos θ，曲線C2的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C1，C2相交于A，B兩點． (1)把曲線C1，C2的極坐標方程轉化為直角坐標方程； (2)求弦AB的長度． 解析 (1)曲線C2的直角坐標方程為y＝x，曲線C1：ρ＝6cos θ ， 即ρ2＝6ρcos θ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)∵圓心(3,0)到直線的距離d＝，圓C1的半徑r＝3， ∴|AB|＝2＝3. ∴弦A

18、B的長度為3. 4．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ2＝，直線l的極坐標方程為ρ＝. (1)寫出曲線C1與直線l的直角坐標方程； (2)設Q為曲線C1上一動點，求Q點到直線l的距離的最小值． 解析 (1)根據(jù) ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得C1的直角坐標方程為x2＋2y2＝2，直線l的直角坐標方程為x＋y＝4. (2)設Q(cos θ，sin θ)，則點Q到直線l的距離為 d＝＝≥＝， 當且僅當θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)時取等號． ∴點Q到直線l的距離的最小值為.

19、 5．(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.　 (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，＝，求l的斜率． 解析 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝1

20、1. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 6．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解析 (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m 得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設P(x，y)，由題設得消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標方程為ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 聯(lián)立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos 2θ＝，sin 2θ＝. 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點M的極徑為. 9