2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)案 文(含解析)北師大版

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1、第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [考綱傳真] 1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性. 1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),,(π,0),,(2π,0). 余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y=sin x

2、y=cos x y=tan x 圖像 定義域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 周期為2π 周期為2π 周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 遞增區(qū)間: , k∈Z, 遞減區(qū)間: , k∈Z 遞增區(qū)間: [2kπ-π,2kπ], k∈Z, 遞減區(qū)間: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 遞增區(qū)間 , k∈Z 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 (kπ,0),k∈Z 對(duì)稱中心 ,k∈Z 對(duì)稱中心 ,k∈Z 對(duì)稱軸 x=kπ+(k∈Z) 對(duì)稱軸 x=kπ(k∈Z) 1.對(duì)稱

3、與周期 (1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期. (2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期. 2.奇偶性 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則 ①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z); ②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). (2)若f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),則 ①f(x)為奇函數(shù)的充要條件:φ=kπ+,k∈Z; ②f(x)為偶函數(shù)的充要條件:φ=kπ,k∈Z. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打

4、“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).(  ) (2)y=sin |x|是偶函數(shù).(  ) (3)函數(shù)y=sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ,0)(k∈Z)中心對(duì)稱.(  ) (4)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.函數(shù)f(x)=cos的最小正周期為(  ) A.    B.    C.2π    D.2 D [T==2,故選D.] 3.函數(shù)y=tan 2x的定義域是(  ) A. B. C. D. D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z, ∴y

5、=tan 2x的定義域?yàn)?] 4.函數(shù)y=sin,x∈[-2π,2π]的遞增區(qū)間是(  ) A. B.和 C. D. C [令z=x+,函數(shù)y=sin z的遞增區(qū)間為(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其遞增區(qū)間是,故選C.] 5.(教材改編)函數(shù)f(x)=4-2cos x的最小值是________,取得最小值時(shí),x的取值集合為________. 2 {x|x=6kπ,k∈Z} [f(x)min=4-2=2,此時(shí),x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合為{x|x=6kπ,k∈Z}.] 三角函數(shù)的定

6、義域、值域 【例1】 (1)函數(shù)y=的定義域?yàn)?  ) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)函數(shù)f(x)=3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?  ) A.   B. C. D. (3)(2019·長(zhǎng)沙模擬)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值為(  ) A.4   B.5 C.6    D.7 (1)B (2)B (3)B [(1)由2sin x-≥0得sin x≥, ∴+2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z),故選B. (2)因?yàn)閤∈, 所以2x-∈, 所以sin∈, 所以3sin∈, 所以函數(shù)

7、f(x)在區(qū)間上的值域是,故選B. (3)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x =1-2sin2x+6sin x=-2+, 又sin x∈[-1,1],∴當(dāng)sin x=1時(shí),f(x)取得最大值5. 故選B.] [規(guī)律方法] 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解. 2.三角函數(shù)值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的值域直接求. (2)把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. (3)把sin x或cos x看作一個(gè)整體,轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

8、 (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域. (1)函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(  ) A.2-  B.0 C.-1 D.-1- (2)函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______. (3)函數(shù)y=sin x+cos x+sin xcos x的值域?yàn)開_______. (1)A (2) (3) [(1)因?yàn)?≤x≤9,所以-≤-≤,所以sin∈. 所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-. (2)要使函數(shù)有意義,必須有 即故函數(shù)的定義域?yàn)? . (3)設(shè)t=sin x+cos x, 則sin xcos x

9、=(-≤t≤), y=t+t2-=(t+1)2-1, 當(dāng)t=時(shí),y取最大值為+, 當(dāng)t=-1時(shí),y取最小值為-1. 所以函數(shù)值域?yàn)?] 三角函數(shù)的單調(diào)性 【例2】 (1)函數(shù)f(x)=sin的減區(qū)間為________. (2)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin的一個(gè)遞減區(qū)間為,則ω=________. (3)(2018·全國(guó)卷Ⅱ改編)若函數(shù)f(x)=cos x-sin x在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是________. (1),k∈Z (2)2 (3) [(1)f(x)=sin=-sin,函數(shù)f(x)的減區(qū)間就是函數(shù)y=sin的增區(qū)間. 由2kπ-≤2x-≤

10、2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為,k∈Z. (2)由≤x≤得ω+≤ωx+≤ω+. 又函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(k∈Z), 則k∈Z 即,解得ω=2. (3)f(x)=cos x-sin x=cos, 當(dāng)x∈[0,a]時(shí),≤x+≤a+, 由題意知a+≤π,即a≤,故所求a的最大值為.] [拓展探究] 本例(2)中,若函數(shù)f(x)=sin在上是減函數(shù),試求ω的取值范圍. [解] 由<x<π,得ω+<ωx+<πω+, 由題意,知?,k∈Z, ∴ ∴4k+≤ω≤2k+,k∈Z, 當(dāng)k=0時(shí),≤ω≤. [規(guī)律方法] 三角函數(shù)單調(diào)性問

11、題的解題策略 (1)已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間 ①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則,將解析式先化簡(jiǎn),并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò). (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性求參數(shù),可先求t=ωx+φ的范圍(a,b),再根據(jù)(a,b)是函數(shù)y=Asin t的單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系列不等式組求解. (1)函數(shù)f(x)=tan的遞增區(qū)間是______

12、__. (2)若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是增加的,在區(qū)間上是減少的,則ω=________. (1)(k∈Z) (2) [(1)由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得-<x<+(k∈Z). 故函數(shù)的遞增區(qū)間為. (2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)過原點(diǎn), ∴當(dāng)0≤ωx≤,即0≤x≤時(shí),y=sin ωx是增函數(shù); 當(dāng)≤ωx≤,即≤x≤時(shí),y=sin ωx是減函數(shù). 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上是增加的, 在上是減少的知,=,∴ω=,此時(shí),=π>,符合題意,故ω=.] 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性 ?考法1 三角函數(shù)的周

13、期性 【例3】 (2019·大連模擬)在函數(shù):①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+,④y=tan中,最小正周期為π的所有函數(shù)為(  ) A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③ C [①y=cos|2x|=cos 2x,T=π. ②由圖像知,函數(shù)的周期T=π. ③T=π. ④T=. 綜上可知,最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③,故選C.] ?考法2 三角函數(shù)的奇偶性 【例4】 函數(shù)f(x)=3sin,φ∈(0,π)滿足f(|x|)=f(x),則φ的值為________.  [由題意知f(x)為偶函數(shù),關(guān)于y軸對(duì)稱,∴f(0)=3sin=±3,

14、∴φ-=kπ+,k∈Z,又0<φ<π, ∴φ=.] ?考法3 三角函數(shù)的對(duì)稱性 【例5】 (1)下列函數(shù)的最小正周期為π且圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱的是(  ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin (2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,那么|φ|的最小值為(  ) A. B. C. D. (1)B (2)A [(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π知,排除C, 又當(dāng)x=時(shí),2x+=π,2x-=,2x-=,故選B. (2)由題意得3cos =3cos=3cos=0, ∴+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z, 取

15、k=0,得|φ|的最小值為.] [規(guī)律方法] 三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性問題的解題思路 (1)奇偶性的判斷方法:三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函數(shù)一般可化為y=Acos ωx+b的形式. (2)周期的計(jì)算方法:利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為求解. (3)對(duì)稱性的判斷:對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)?/p>

16、稱中心時(shí),可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷. (1)(2019·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期為π,其圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,則|φ|的最小值為(  ) A. B. C. D. (2)若函數(shù)y=cos(ω∈N*)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是,則ω的最小值為(  ) A.1   B.2 C.4    D.8 (1)B (2)B [(1)由題意,得ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以2×+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),|φ|取得最小值,故選B. (2)由題意知+

17、=kπ+(k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z), 又ω∈N*,所以ωmin=2,故選B.] 1.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為(  ) A.4π  B.2π   C.π   D. C [函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T==π. 故選C.] 2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=的最小正周期為(  ) A. B. C.π D.2π C [f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期T==π.故選C.] 3.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.f(x)的一個(gè)周期為-

18、2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D.f(x)在單調(diào)遞減 D [A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確. B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos圖像的對(duì)稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,B項(xiàng)正確. C項(xiàng),f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當(dāng)k=1時(shí),x=,所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=,C項(xiàng)正確. D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的遞減區(qū)間為2kπ-,2kπ+(k∈Z),遞增區(qū)間為2kπ+,2kπ+(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.] 4.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________. 1 [f(x)=1-cos2x+cos x-=-2+1. ∵x∈,∴cos x∈[0,1], ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最大值,最大值為1.] - 12 -

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