2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [考綱傳真]　1.能畫(huà)出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性． 1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x

2、y＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 周期為2π 周期為2π 周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 遞增區(qū)間： ， k∈Z， 遞減區(qū)間： ， k∈Z 遞增區(qū)間： [2kπ－π，2kπ]， k∈Z， 遞減區(qū)間： [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 遞增區(qū)間 ， k∈Z 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 (kπ，0)，k∈Z 對(duì)稱中心 ，k∈Z 對(duì)稱中心 ，k∈Z 對(duì)稱軸 x＝kπ＋(k∈Z) 對(duì)稱軸 x＝kπ(k∈Z) 1．對(duì)稱

3、與周期 (1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期． (2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期． 2．奇偶性 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則 ①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； ②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． (2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則 ①f(x)為奇函數(shù)的充要條件：φ＝kπ＋，k∈Z； ②f(x)為偶函數(shù)的充要條件：φ＝kπ，k∈Z. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打

4、“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　) (2)y＝sin |x|是偶函數(shù)．(　　) (3)函數(shù)y＝sin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(kπ，0)(k∈Z)中心對(duì)稱．(　　) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期為(　　) A．　　　　B．　　　　C．2π　　　　D．2 D　[T＝＝2，故選D．] 3．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是(　　) A． B． C． D． D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y

5、＝tan 2x的定義域?yàn)?] 4．函數(shù)y＝sin，x∈[－2π，2π]的遞增區(qū)間是(　　) A． B．和 C． D． C　[令z＝x＋，函數(shù)y＝sin z的遞增區(qū)間為(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其遞增區(qū)間是，故選C．] 5．(教材改編)函數(shù)f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值時(shí)，x的取值集合為_(kāi)_______． 2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此時(shí)，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合為{x|x＝6kπ，k∈Z}．] 三角函數(shù)的定

6、義域、值域 【例1】　(1)函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) (2)函數(shù)f(x)＝3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?　　) A．　　 B． C． D． (3)(2019·長(zhǎng)沙模擬)函數(shù)f(x)＝cos 2x＋6cos－x的最大值為(　　) A．4　　 B．5 C．6　　　　D．7 (1)B　(2)B　(3)B　[(1)由2sin x－≥0得sin x≥， ∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故選B． (2)因?yàn)閤∈， 所以2x－∈， 所以sin∈， 所以3sin∈， 所以函數(shù)

7、f(x)在區(qū)間上的值域是，故選B． (3)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋， 又sin x∈[－1,1]，∴當(dāng)sin x＝1時(shí)，f(x)取得最大值5. 故選B．] [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解． 2．三角函數(shù)值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的值域直接求． (2)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (3)把sin x或cos x看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．

8、 (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域． (1)函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(　　) A．2－　 B．0 C．－1 D．－1－ (2)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． (3)函數(shù)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域?yàn)開(kāi)_______． (1)A　(2)　(3)　[(1)因?yàn)?≤x≤9，所以－≤－≤，所以sin∈. 所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－. (2)要使函數(shù)有意義，必須有 即故函數(shù)的定義域?yàn)? . (3)設(shè)t＝sin x＋cos x， 則sin xcos x

9、＝(－≤t≤)， y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1， 當(dāng)t＝時(shí)，y取最大值為＋， 當(dāng)t＝－1時(shí)，y取最小值為－1. 所以函數(shù)值域?yàn)?] 三角函數(shù)的單調(diào)性 【例2】　(1)函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間為_(kāi)_______． (2)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin的一個(gè)遞減區(qū)間為，則ω＝________. (3)(2018·全國(guó)卷Ⅱ改編)若函數(shù)f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是________． (1)，k∈Z　(2)2　(3)　[(1)f(x)＝sin＝－sin，函數(shù)f(x)的減區(qū)間就是函數(shù)y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤2x－≤

10、2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z. (2)由≤x≤得ω＋≤ωx＋≤ω＋. 又函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(k∈Z)， 則k∈Z 即，解得ω＝2. (3)f(x)＝cos x－sin x＝cos， 當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，≤x＋≤a＋， 由題意知a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值為.] [拓展探究]　本例(2)中，若函數(shù)f(x)＝sin在上是減函數(shù)，試求ω的取值范圍． [解]　由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋， 由題意，知?，k∈Z， ∴ ∴4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z， 當(dāng)k＝0時(shí)，≤ω≤. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)

11、題的解題策略 (1)已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間 ①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)． (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)性求參數(shù)，可先求t＝ωx＋φ的范圍(a，b)，再根據(jù)(a，b)是函數(shù)y＝Asin t的單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系列不等式組求解． (1)函數(shù)f(x)＝tan的遞增區(qū)間是______

12、__． (2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，則ω＝________. (1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)． 故函數(shù)的遞增區(qū)間為. (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)過(guò)原點(diǎn)， ∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是增函數(shù)； 當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是減函數(shù)． 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上是增加的， 在上是減少的知，＝，∴ω＝，此時(shí)，＝π＞，符合題意，故ω＝.] 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性 ?考法1　三角函數(shù)的周

13、期性 【例3】　(2019·大連模擬)在函數(shù)：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由圖像知，函數(shù)的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 綜上可知，最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③，故選C．] ?考法2　三角函數(shù)的奇偶性 【例4】　函數(shù)f(x)＝3sin，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為_(kāi)_______． 　[由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f(0)＝3sin＝±3，

14、∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π， ∴φ＝.] ?考法3　三角函數(shù)的對(duì)稱性 【例5】　(1)下列函數(shù)的最小正周期為π且圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱的是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin (2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)A　[(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π知，排除C， 又當(dāng)x＝時(shí)，2x＋＝π，2x－＝，2x－＝，故選B． (2)由題意得3cos ＝3cos＝3cos＝0， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z， 取

15、k＝0，得|φ|的最小值為.] [規(guī)律方法]　三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性問(wèn)題的解題思路 (1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式． (2)周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為求解． (3)對(duì)稱性的判斷：對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)?/p>

16、稱中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷． (1)(2019·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期為π，其圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則|φ|的最小值為(　　) A． B． C． D． (2)若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，則ω的最小值為(　　) A．1　　 B．2 C．4　　　　D．8 (1)B　(2)B　[(1)由題意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值，故選B． (2)由題意知＋

17、＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)， 又ω∈N*，所以ωmin＝2，故選B．] 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為(　　) A．4π　 B．2π　　　C．π　　　D． C　[函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π. 故選C．] 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為(　　) A． B． C．π D．2π C　[f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故選C．] 3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．f(x)的一個(gè)周期為－

18、2π B．y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱 C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 D　[A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個(gè)周期為－2π，A項(xiàng)正確． B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos圖像的對(duì)稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，B項(xiàng)正確． C項(xiàng)，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝，所以f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝，C項(xiàng)正確． D項(xiàng)，因?yàn)閒(x)＝cos的遞減區(qū)間為2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，遞增區(qū)間為2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為1.] - 12 -