2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 三角函數(shù) 5.2 三角函數(shù)的概念 5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 三角函數(shù) 5.2 三角函數(shù)的概念 5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 三角函數(shù) 5.2 三角函數(shù)的概念 5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、5.2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明． 教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解題中的逆用、變形應(yīng)用及使用公式時(shí)由函數(shù)值正負(fù)號(hào)的選取而導(dǎo)致的角的范圍的討論. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)二　　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式 (1)平方關(guān)系變形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)商的變形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. 【新

2、知拓展】 (1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1. (2)sin2α是(sinα)2的簡(jiǎn)寫(xiě)，不能寫(xiě)成sinα2. (3)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義情況下的恒等式． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)由于平方關(guān)系對(duì)任意角都成立，則sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　) (2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)任意角α都成立．(　　) (3)當(dāng)角

3、α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，sin2α＋cos2α＝1也成立．(　　) (4)在利用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，會(huì)得到正負(fù)兩個(gè)值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)若sinα＝，且α是第二象限角，則tanα的值等于(　　) A．－ B. C．± D．± (2)化簡(jiǎn)：＝________. (3)已知＝－5，則tanα＝________. 答案　(1)A　(2)cos80°　(3)－ 題型一 三角函數(shù)求值 例1　(1)已知cosα＝－，求sinα和tanα； (2)已知tanα＝3，求的值． [解]　(1)sin2α＝

4、1－cos2α＝1－2＝2， 因?yàn)閏osα＝－<0，所以α是第二或第三象限角， 當(dāng)α是第二象限角時(shí)，sinα＝，tanα＝＝－； 當(dāng)α是第三象限角時(shí)，sinα＝－，tanα＝＝. (2)解法一：原式＝＝＝. 解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα. 代入原式可得：原式＝＝＝. 解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα. 又sin2α＋cos2α＝1.∴sinα＝，cosα＝， 或sinα＝－，cosα＝－， ∴原式＝. [結(jié)論探究]　在本例(2)中條件不變的情況下，求sin2α＋cos2α的值． 解　原式＝ ＝＝＝. 金版點(diǎn)睛 　　 1．求

5、三角函數(shù)值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論． 2．已知角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的方法 (1)關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值． (2)若無(wú)分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來(lái)代換，將分子、分母同除以cos

6、2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值． 　(1)已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα； (2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值； (3)已知＝，α∈，求的值． 解　(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2， 又α是第二象限角，所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－. (2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2. 所以2sinαcosα－cos2α＝ ＝＝＝－1. (3)∵＝，∴3tan2α－2tanα－1＝0. 即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0， ∴tanα＝－或tanα＝1. ∵α

7、∈，∴tanα<0，∴tanα＝－， ∴＝＝. 題型二 sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用 例2　已知在△ABC中，sinA＋cosA＝. (1)求sinAcosA； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形． [解]　(1)∵sinA＋cosA＝， ∴兩邊平方，得1＋2sinAcosA＝. ∴sinAcosA＝－. (2)由(1)sinAcosA＝－<0，且0

8、，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. (2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號(hào)． 　已知0<θ<π，且sinθ－cosθ＝，求sinθ＋cosθ，tanθ的值． 解　∵sinθ－cosθ＝， ∴(sinθ－cosθ)2＝， 解得sinθcosθ＝. ∵0<θ<π，且sinθcosθ＝>0， ∴sinθ>0，cosθ>0. ∴sinθ＋cosθ＝＝ ＝ ＝. 由得 ∴tanθ＝＝. 題型三 三角函

9、數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明 例3　(1)化簡(jiǎn)： ； (2)求證：＝. [解]　(1)原式＝ ＝＝＝1. (2)證法一：∵右邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝左邊， ∴原等式成立． 證法二：∵左邊＝＝， 右邊＝＝ ＝＝＝， ∴左邊＝右邊，原等式成立． [條件探究]　將本例(1)改為化簡(jiǎn)：. 解　原式＝＝＝1. 金版點(diǎn)睛 1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)的常用方法 (1)化切為弦，減少函數(shù)名稱(chēng)，便于約分化簡(jiǎn)； (2)對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開(kāi)方式化為完全平方，去掉根號(hào)，為防止出錯(cuò)，去掉根號(hào)后首先用絕對(duì)值符號(hào)表示，然后考慮正負(fù)； (3)對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造

10、平方關(guān)系，以便于降冪化簡(jiǎn). 2.簡(jiǎn)單的三角恒等式的證明思路 (1)從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊； (2)證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子； (3)逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡(jiǎn). 　化簡(jiǎn)：(1)·； (2) . 解　(1)原式＝· ＝·＝· ＝·＝， 當(dāng)sinα>0時(shí)，原式＝1；當(dāng)sinα<0時(shí)，原式＝－1. (2)原式＝ ＝ ＝＝1. 1．已知cosθ＝，且<θ<2π，則的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由于cosθ＝，且<θ<2π. 所以sinθ＝－＝－， 所以tanθ＝－，故＝－. 2．已知

11、tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ ＝＝， 又tanθ＝2，故原式＝＝. 3．若sinθ＝－，tanθ>0，則cosθ＝________. 答案?。? 解析　∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ在第三象限內(nèi)， ∴cosθ＝－＝－. 4．已知sinθ＝，則sin4θ－cos4θ的值為_(kāi)_______． 答案?。? 解析　由sinθ＝，可得cos2θ＝1－sin2θ＝，所以sin4θ－cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)(sin2θ－cos2θ)＝sin2θ－cos2θ＝－＝－. 5．化簡(jiǎn)：·. 解　原式＝· ＝＝1. - 10 -