2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點(diǎn)的集合叫作雙曲線，定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. ①當(dāng)2a＜|F1F2|

2、時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線； ③當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a， 線

3、段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 3.等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. 三種常見雙曲線方程的設(shè)法 (1)若已知雙曲線過兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． (3)與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)． (4)過雙曲線

4、的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦長為. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線． (　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線． (　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0． (　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．雙曲線－＝1的焦距為(　　) A．5　　 B．　　　　C．2　　　　D．1 C　[由雙曲線－

5、＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以雙曲線－＝1的焦距為2.] 3．(教材題改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B． C． D．1 D　[依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 4．設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________. 17　[由題意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.] 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線

6、與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為________． －y2＝1　[由題意可得解得a＝2，則b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1.] 雙曲線的定義及應(yīng)用 1. 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A．　　 B．　　　　C．　　　　D． C　[∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，則cos∠F1PF2＝ ＝＝. 選C．] 2．若雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是

7、(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 B　[由題意知，雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)．] [規(guī)律方法]　 雙曲線定義的兩個(gè)應(yīng)用 一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程； 二是在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯(lián)系． 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

8、【例1】　設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． －＝1 　[法一：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a＝|－|＝4，故a＝2. 又b2＝32－22＝5，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 法二：橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，① 又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以－＝1，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 法三：設(shè)雙曲線的方程為＋＝1(27<λ<36)，

9、由于雙曲線過點(diǎn)(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0， 經(jīng)檢驗(yàn)λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合題意，應(yīng)舍去，所以λ＝32. 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.] [規(guī)律方法]　求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法 (1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． (2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值． (1)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝

10、3相切，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1　　　　 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 (2)(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2＝24y的焦點(diǎn)重合，其一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (1)D　(2)B　[(1)由題意知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，所以＝，由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝，即b2＝3，所以a2＝1，故雙曲線的方程為x2－＝1. (2)∵x2＝24y，∴焦點(diǎn)

11、為(0,6)， ∴可設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． ∵漸近線方程為y＝±x， 其中一條漸近線的傾斜角為30°， ∴＝，c＝6，∴a2＝9，b2＝27. 其方程為－＝1.] 雙曲線的幾何性質(zhì) ?考法1　求雙曲線的離心率的值(或范圍) 【例2】　(1)(2017·全國卷Ⅱ)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) (2)(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|

12、，則C的離心率為(　　) A．　　　　B．2 C．　　　　D． (1)C　(2)C　[(1)由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a＞1，∴0＜＜1， ∴1＜1＋＜2， ∴1＜e＜.故選C． (2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，根據(jù)余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.] ?考法2　雙曲線的漸近線問題 【例3】　(1)(2

13、019·合肥質(zhì)檢)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________． (2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是________． (1)y＝±x　(2)x±y＝0　[(1)因?yàn)閑＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，則此雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x. (2)由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|P

14、F2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0.] ?考法3　求雙曲線的方程 【例4】　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[由離心率為，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由題意知kPF＝＝＝1，所以a＝4

15、，解得a＝2，所以雙曲線的方程為－＝1.] [規(guī)律方法]　與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率或范圍．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (1)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) (2)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|

16、＝3|BC|，則E的離心率是________． (1)A　(2)2　[(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1， ∴∴－13m2且n<－m2，此時(shí)n不存在．故選A． (2)由已知得|AB|＝，|BC|＝2c， ∴2×＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，兩邊同除以a2，得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.] 1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y

17、＝±x　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化簡(jiǎn)得2a2＝b2，所以＝.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x，所以y＝±x.故選A] 2．(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A．　　　B．2　　　C．　　　D．2 D　[法一：由離心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D． 法二：離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D．] 3．(2017·全國卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 5　[∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5.] - 9 -