2018版高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程學(xué)案 新人教A版選修4-4

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1、 第二講 參數(shù)方程 一　曲線的參數(shù)方程 1　參數(shù)方程的概念 2　圓的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解曲線參數(shù)方程的有關(guān)概念. 2.掌握?qǐng)A的參數(shù)方程. 3.能夠根據(jù)圓的參數(shù)方程解決最值問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實(shí)際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ有什么實(shí)際意義？ 提示　聯(lián)系x，y的參數(shù)t(θ，φ，…)可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無(wú)實(shí)際意義的任意實(shí)數(shù).圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上

2、任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：①，并且對(duì)于 t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.圓的參數(shù)方程 (1)如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置M0開(kāi)始出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫AO上作均速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)M(x，y)，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是θ，則(θ為參數(shù))，這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程. (2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 (

3、x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ為參數(shù)) 要點(diǎn)一　參數(shù)方程的概念 例1　已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(－3，4)在曲線C上. (1)求常數(shù)a的值； (2)判斷點(diǎn)P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？ 解　(1)將M(－3，4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程得消去參數(shù)t，得a＝1. (2)由(1)可得，曲線C的參數(shù)方程是 把點(diǎn)P的坐標(biāo)(1，0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3，－1)代入方程組，得到這個(gè)方程組無(wú)解，因此點(diǎn)Q不在曲線C上. 規(guī)律方法　點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系 滿足某種約束條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成曲線，點(diǎn)與曲線的位置關(guān)

4、系有兩種：點(diǎn)在曲線上、點(diǎn)不在曲線上. (1)對(duì)于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上，則點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點(diǎn)N(x2，y2)不在曲線上，則點(diǎn)N(x2，y2)的坐標(biāo)不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0. (2)對(duì)于曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，若點(diǎn)M(x1，y1)在曲線上，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)t有解，否則參數(shù)t不存在. 跟蹤演練1　已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π).判斷點(diǎn)A(2，0)，B是否在曲線C上？若在曲線上，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值. 解　把點(diǎn)A(2，0)的坐標(biāo)代入， 得

5、cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0， 因此點(diǎn)A(2，0)在曲線C上，對(duì)應(yīng)參數(shù)θ＝0，同理，把B代入?yún)?shù)方程，得 ∴ 又0≤θ＜2π，∴θ＝π，所以點(diǎn)B在曲線C上，對(duì)應(yīng)θ＝π. 要點(diǎn)二　圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用 例2　設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓， 則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝＝＜3， 所以直線與

6、圓相交.所以過(guò)圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個(gè)交點(diǎn)滿足題意，又3－d＜，故滿足題意的點(diǎn)有2個(gè). 答案　B 規(guī)律方法　1.本題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)；數(shù)形結(jié)合，判定直線與圓的位置關(guān)系.2.參數(shù)方程表示怎樣的曲線，一般是通過(guò)消參，得到普通方程來(lái)判斷，特別要注意變量的取值范圍. 跟蹤演練2　已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值. 解　由已知，可把點(diǎn)(x，y)視為圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上的點(diǎn)，設(shè)(θ為參數(shù)). 則x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋6si

7、n. ∵－1≤sin≤1， ∴11－6≤x2＋y2≤11＋6. ∴x2＋y2的最大值為11＋6，最小值為11－6. 要點(diǎn)三　參數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用 例3　某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí)，已知飛機(jī)離地面高度為H＝2 000 m，水平飛行速度為v1＝100 m/s，如圖所示. (1)求飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度； (2)如果飛機(jī)追擊一輛速度為v2＝20 m/s同向行駛的汽車(chē)，欲使炸彈擊中汽車(chē)，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車(chē)的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？(g＝10 m/s2) 解　(1)如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時(shí)刻為0 s，在時(shí)刻t s時(shí)其坐標(biāo)為M(x，y)，由于炸彈作

8、平拋運(yùn)動(dòng)，依題意，得 即 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)， 所以飛機(jī)投彈t s炸彈的水平位移為100t m，離地面的高度為(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20. (2)由于炸彈水平分運(yùn)動(dòng)和汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，以汽車(chē)參考系.水平方向S相對(duì)＝v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車(chē)投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m). 規(guī)律方法　本題通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)的參數(shù)方程利用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)使問(wèn)題得解.由于水平拋出的炸彈做平拋運(yùn)動(dòng)，可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，炸彈飛行的時(shí)間也就是它作自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間. 跟

9、蹤演練3　如果本例條件不變，求： (1)炸彈投出機(jī)艙10 s后這一時(shí)刻的水平位移和高度各是多少m? (2)如果飛機(jī)迎擊一輛速度為v2＝20 m/s相向行駛的汽車(chē)，欲使炸彈擊中汽車(chē)，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車(chē)的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？ 解　(1)將t＝10代入得 所以炸彈投出機(jī)艙10 s后這一時(shí)刻的水平位移和高度分別是1 000 m和1 500 m. (2)由于炸彈水平分運(yùn)動(dòng)和汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)，以汽車(chē)為參考系. 水平方向s相對(duì)＝v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車(chē)投彈的水平距離為s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2 400(m). 1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上點(diǎn)的橫

10、、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過(guò)參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系.在具體問(wèn)題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義，也可能沒(méi)有什么明顯的幾何意義.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個(gè)參數(shù)的允許取值就可得到曲線上的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，對(duì)于曲線上的任一點(diǎn)也必然對(duì)應(yīng)著參數(shù)相應(yīng)的允許取值. 2.求曲線參數(shù)方程的主要步驟 第一步，畫(huà)出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).畫(huà)圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系. 第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定.

11、 第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問(wèn)題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略. 1.下列方程：(1)(m為參數(shù))；(2)(m，n為參數(shù))；(3)(4)x＋y＝0中，參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由參數(shù)方程的概念知是參數(shù)方程，故選A. 答案　A 2.當(dāng)參數(shù)θ變化時(shí)，由點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線過(guò)點(diǎn)(　　) A.(2，3) B.(1，5) C. D.(2，0) 解析　當(dāng)2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴過(guò)點(diǎn)(2，0). 答案　D 3.參數(shù)方程(t為參數(shù))

12、表示的曲線是(　　) A.兩條直線 B.一條射線 C.兩條射線 D.雙曲線 解析　當(dāng)t＞0時(shí)是一條射線；當(dāng)t＜0時(shí)，也是一條射線，故選C. 答案　C 4.已知(t為參數(shù))，若y＝1，則x＝________. 解析　當(dāng)y＝1時(shí)，t2＝1，∴t＝±1，當(dāng)t＝1時(shí)，x＝2；當(dāng)t＝－1時(shí)，x＝0.∴x的值為2或0. 答案　2或0 5.已知直線y＝x與曲線(α為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，求弦長(zhǎng)|AB|. 解　由得∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1，2)，半徑r＝2， 則圓心(1，2)到直線y＝x的距離d＝＝. ∴|AB|＝2＝2＝. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.已知

13、O為原點(diǎn)，參數(shù)方程(θ為參數(shù))上的任意一點(diǎn)為A，則|OA|＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　|OA|＝＝＝1，故選A. 答案　A 2.已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，曲線C不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.a≥2 B.a＞3 C.a≥1 D.a＜0 解析　∵曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，∴化為普通方程為(x－a)2＋y2＝4，表示圓心為(a，0)，半徑等于2的圓. ∵曲線C不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)a滿足a≥2，故選A. 答案　A 3.圓心在點(diǎn)(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(　　) A.(0≤θ＜2π) B.(

14、0≤θ＜2π) C.(0≤θ＜π) D.(0≤θ＜2π) 解析　圓心在點(diǎn)C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ∈[0，2π)).故圓心在點(diǎn)(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(0≤θ＜2π). 答案　D 4.將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.y＝x－2 B.y＝x＋2 C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1) 解析　將參數(shù)方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]. 答案　C 5.若點(diǎn)(－3，－3)在參數(shù)方程(θ為參數(shù))的曲線上，則θ＝________. 解析　將點(diǎn)(－3，－3)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程(θ為參數(shù))得解得θ＝＋2k

15、π，k∈Z. 答案?。?kπ，k∈Z 6.已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析　由圓C的參數(shù)方程為可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為x2＋(y－1)2＝1，由直線l的極坐標(biāo)方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為y＝1，由可解得所以直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1，1)，(1，1). 答案　(－1，1)，(1，1) 7.已知曲線C：(θ為參數(shù))，如果曲線C與直線x＋y＋a＝0有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　∵ ∴x2＋(y＋1)2＝

16、1. ∵圓與直線有公共點(diǎn)，則d＝≤1， 解得1－≤a≤1＋. 二、能力提升 8.若P(2，－1)為圓O′：(0≤θ＜2π)的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線l的方程是(　　) A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0 C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0 解析　∵圓心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1. ∴直線l方程為x－y－3＝0. 答案　A 9.如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為_(kāi)_______. 解析　將x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∵圓的直徑為1.設(shè)P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos

17、 θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 答案　(θ為參數(shù)) 10.曲線(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析　∵sin t∈[－1，1]，∴y∈[0，2]. ∵方程表示的曲線是線段x＝1(0≤y≤2). 令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3， ∵0≤y≤2，∴y＝. 答案　(1，) 11.設(shè)點(diǎn)M(x，y)在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)，求點(diǎn)P(x＋y，xy)的軌跡. 解　設(shè)點(diǎn)M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，點(diǎn)P(x′，y′). 則

18、 ①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2. ∴所求點(diǎn)P的軌跡為拋物線x2＝2的一部分. 12.已知點(diǎn)M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若4x＋3y－a≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又點(diǎn)M在圓上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ(θ為參數(shù))， 因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝確定) ∴4x＋3y的最大值為1. 若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞). 三、探究

19、與創(chuàng)新 13.已知圓系方程為x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a＞0，且為已知常數(shù)，φ為參數(shù)) (1)求圓心的軌跡方程； (2)證明圓心軌跡與動(dòng)圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為定值. (1)解　由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x－acos φ)2＋(y－asin φ2)＝a2(a＞0). 設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，則(φ為參數(shù))， 消參數(shù)得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2. (2)證明　由方程 得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝為定值. ∴弦長(zhǎng)l＝2＝a(定值). 3　

20、參數(shù)方程和普通方程的互化 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義. 2.掌握參數(shù)方程化為普通方程的基本方法. 3.能夠利用參數(shù)方程化為普通方程解決有關(guān)問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否唯一？ 提示　不一定唯一.普通方程化為參數(shù)方程，關(guān)鍵在于適當(dāng)選擇參數(shù)，如果選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 參數(shù)方程與普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程. (2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，

21、求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致. 要點(diǎn)一　把參數(shù)方程化為普通方程 例1　在方程(a，b為正常數(shù))中， (1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？ (2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？ 解　方程(a，b是正常數(shù))， (1)①×sin θ－②×cos θ得xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同時(shí)為零，∴方程表示一條直線. (2)(i)當(dāng)t為非零常數(shù)時(shí)， 原方程組為 ③2＋④2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y

22、－b)2＝t2，它表示一個(gè)圓. (ii)當(dāng)t＝0時(shí)，表示點(diǎn)(a，b). 　規(guī)律方法　1.消去參數(shù)的常用方法：將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法.如果參數(shù)方程是分式方程，在運(yùn)用代入消元或加減消元之前要做必要的變形.另外，熟悉一些常見(jiàn)的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，＋＝1等.2.把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響.本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線. 跟蹤演練1　參數(shù)方

23、程(α為參數(shù))化成普通方程為_(kāi)_______. 解析　∵cos2α＋sin2α＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1. 答案　x2＋(y－1)2＝1 要點(diǎn)二　把普通方程化成參數(shù)方程 例2　求方程4x2＋y2＝16的參數(shù)方程： (1)設(shè)y＝4sin θ，θ為參數(shù)； (2)若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？若令x＝2t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？ 解　(1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cos θ. ∴4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是 和(θ為參數(shù)) (2)將y＝t代入橢圓

24、方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16， 則x2＝.∴x＝±. 因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是 ，和(t為參數(shù)). 同理將x＝2t代入橢圓4x2＋y2＝16，得橢圓的參數(shù)方程為和(t為參數(shù)). 　規(guī)律方法　1.將圓的普通方程化為參數(shù)方程 (1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； (2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).2.普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計(jì)算y＝g(t))，并且要保證等價(jià)性.若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過(guò)x＝f(t)，y＝g(t)，調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的

25、過(guò)程中，x，y的取值范圍保持一致. 跟蹤演練2　設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________. 解析　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 答案　(t為參數(shù)) 要點(diǎn)三　參數(shù)方程的應(yīng)用 例3　已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值. 解　由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1 得圓的參數(shù)方程為(θ∈[0，2π)). (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的終邊

26、過(guò)點(diǎn)(4，3). ∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－.且φ的終邊過(guò)點(diǎn)(4，－3). ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16. 　規(guī)律方法　1.運(yùn)用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇.選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系.由于三角

27、函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運(yùn)動(dòng)有關(guān)，常選擇時(shí)間為參數(shù).2.解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問(wèn)題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.3.注意運(yùn)用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ). 其中tan φ＝(a≠0)，且φ的終邊過(guò)點(diǎn)(a，b). 跟蹤演練3　如圖，已知點(diǎn)P是圓x2＋y2＝16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(12，0)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用參數(shù)方程求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡. 解　因?yàn)閳Ax2＋y2＝16的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 所以可設(shè)點(diǎn)P(4cos θ，4sin θ)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得(θ為

28、參數(shù))，即點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)(6，0)為圓心、2為半徑的圓. 1.參數(shù)方程和普通方程的互化 參數(shù)方程化為普通方程，可通過(guò)代入消元法和三角恒等式消參法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，通過(guò)曲線的普通方程來(lái)判斷曲線的類(lèi)型. 由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當(dāng)?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y和參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，我們可以選擇時(shí)間、角度、線段長(zhǎng)度、直線的斜率、截距等作為參數(shù). 2.同一道題參數(shù)的選擇往往不是唯一的，適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，可以簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，降低計(jì)算量，提高準(zhǔn)確率.求軌跡方程與求軌跡有所不同，求軌跡方程只需求出方程即可，而求軌跡往往是先

29、求出軌跡方程，然后根據(jù)軌跡方程指明軌跡是什么圖形. 3.參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性 把參數(shù)方程化為普通方程后，很容易改變了變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性. 1.與普通方程x2＋y－1＝0等價(jià)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(　　) A. B. C. D. 解析　A化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.

30、 答案　D 2.將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為_(kāi)_______. 解析　由x＝t＋得x2＝t2＋＋2，又y＝t2＋，∴x2＝y(tǒng)＋2.∵t2＋≥2，∴y≥2. 答案　x2－y＝2(y≥2) 3.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線的普通方程是________. 解析　y2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x，又x＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲線的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1). 答案　y2＝x＋1(－1≤x≤1) 4.已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù)，a∈R)，點(diǎn)M(5，4)在該曲線

31、上. (1)求常數(shù)a； (2)求曲線C的普通方程. 解　(1)由題意，可知故所以a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為由第一個(gè)方程，得t＝，代入第二個(gè)方程，得y＝，即(x－1)2＝4y為所求. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.曲線(θ為參數(shù))的方程等價(jià)于(　　) A.x＝ B.y＝ C.y＝± D.x2＋y2＝1 解析　由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故選A. 答案　A 2.已知直線l：(t為參數(shù))與圓C：(θ為參數(shù))，則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別是(　　) A.，(1，0) B.，(－1，0) C.，(1，0)

32、D.，(－1，0) 解析　直線消去參數(shù)得直線方程為y＝－x，所以斜率k＝－1即傾斜角為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(1，0). 答案　C 3.參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1去掉(0，1)點(diǎn) C.x2＋y2＝1去掉(1，0)點(diǎn) D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)點(diǎn) 解析　x2＋y2＝＋＝1，又∵x＝－1時(shí)，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉點(diǎn)(－1，0). 答案　D 4.若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋y的最大值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由于圓x2＋y2＝1的

33、參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則x＋y＝ sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值為2.故選B. 答案　B 5.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析　由ρcos θ＝4，知x＝4. 又∴x3＝y(tǒng)2(x≥0). 由得或 ∴|AB|＝＝16. 答案　16 6.在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，若圓C1與C2相切，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析

34、　圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x＋4y，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心為(2，2)，半徑長(zhǎng)為2，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑長(zhǎng)為|a|，由于圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5. 答案　±或±5 7.已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t＞0).求曲線C的普通方程. 解　由x＝－兩邊平方得x2＝t＋－2， 又y＝3，則t＋＝(y≥6). 代入x2＝t＋－2，得x2＝－2. ∴3x2－y＋6＝0(y≥6). 故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6). 二、能力提升 8.已知在

35、平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：(θ為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為：ρcos＝0，則圓C截直線所得弦長(zhǎng)為(　　) A. B.2 C.3 D.4 解析　圓C的參數(shù)方程為的圓心為(，1)，半徑為3，直線普通方程為ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圓心C(，1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝1，所以圓C截直線所得弦長(zhǎng)|AB|＝2＝2＝4. 答案　D 9.過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為θ的直線與圓相切，則θ＝________. 解析　直線為y＝xtan θ，圓為(x－4)2＋y2＝4，直線與圓相切時(shí)，易知tan θ＝±，∴θ＝或. 答案　或 10.在直角坐標(biāo)系xOy

36、中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則a＝________. 解析　曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為＋＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線＋＝1也經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，代入解得a＝(舍去－). 答案　 11.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為(2，0)，，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解　(1)由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，.

37、又P為線段MN的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為，故直線OP的平面直角坐標(biāo)方程為y＝x. (2)因?yàn)橹本€l上兩點(diǎn)M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，， 所以直線l的平面直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 又圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－)，半徑為r＝2， 圓心到直線l的距離d＝＝＜r，故直線l與圓C相交. 12.已知曲線C1：(θ為參數(shù))，曲線C2： (t為參數(shù)). (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說(shuō)明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫(xiě)出C′1，C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的

38、個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由. 解　(1)C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2＋y2＝1， 圓心C1(0，0)，半徑r＝1. C2的普通方程為x－y＋＝0.因?yàn)閳A心C1到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C2與C1只有一個(gè)公共點(diǎn). (2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1：(θ為參數(shù))，C′2：(t為參數(shù))， 化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判別式Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同. 三、探究與創(chuàng)新 13.已知曲線C1的參數(shù)方程為(

39、t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0，0≤θ＜2π). 解　(1)將消去參數(shù)t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0， ∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0， 由 解得或 ∴C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，

40、. 二　圓錐曲線的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.掌握橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用. 2.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程. 3.能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 1.橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)φ是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？ 提示　橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中的參數(shù)φ不是動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的旋轉(zhuǎn)角，它是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角，稱(chēng)為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角. 2.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)sec φ的意義是什么？ 提示　sec φ＝，其中φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π. 3.類(lèi)比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的參

41、數(shù)方程嗎？ 提示　(p＞0，t為參數(shù)，t∈R.) [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.橢圓的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 2.雙曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 －＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 3.拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是(t∈R，t為參數(shù)). (2)參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù). 要點(diǎn)一　橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 例1　已知A、B分別是橢圓＋＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡的普通方程. 解　由題意知

42、A(6，0)，B(0，3).由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6cos θ，3sin θ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得(θ為參數(shù))，即 故重心G的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 規(guī)律方法　本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問(wèn)題的優(yōu)越性.運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡(jiǎn)單，運(yùn)算更簡(jiǎn)便. 跟蹤演練1　已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：＋＝1. (1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說(shuō)明它們分別表示什么曲線？ (2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值. 解　(1)由得 ∴曲線C1

43、：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓. 曲線C2：＋＝1表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓. 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) (2)依題設(shè)，當(dāng)t＝時(shí)，P(－4，4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M. 又C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 從而當(dāng)cos θ＝，sin θ＝－時(shí)， ，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 要點(diǎn)二　雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 例2　求證：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點(diǎn)到兩漸近線

44、的距離的乘積是一個(gè)定值. 證明　由雙曲線－＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(asec φ，btan φ)， 它到兩漸近線的距離分別是d1和d2， 則d1·d2＝· ＝＝(定值). 規(guī)律方法　在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問(wèn)題時(shí)，使用曲線的參數(shù)方程非常簡(jiǎn)捷方便，其中點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)參數(shù)形式的點(diǎn)的坐標(biāo)仍適用，另外本題要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的應(yīng)用. 跟蹤演練2　如圖，設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 證明　設(shè)P(sec φ，tan φ)，∵F

45、1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴|PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 要點(diǎn)三　拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用 例3　設(shè)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，P為拋物線上任一點(diǎn)，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程. 解　設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2pt2，2pt)(t為參數(shù))， 當(dāng)t≠0時(shí)，直線OP的方程為y＝x， QF的方程為y＝－2t， 它們的交點(diǎn)M(x，y)由方程組確定， 兩式相乘，消去t，得y2＝－2x， ∴點(diǎn)M

46、的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0). 當(dāng)t＝0時(shí)，M(0，0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0. 　規(guī)律方法　1.拋物線y2＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實(shí)數(shù)，它表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).2.用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程. 跟蹤演練3　已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p＞0，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l. 過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E，若|EF|

47、＝|MF|，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________. 解析　根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F(xiàn)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去). 答案　2 1.圓的參數(shù)方程中的參數(shù)θ是半徑OM的旋轉(zhuǎn)角，橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)φ是橢圓上點(diǎn)M的離心角. 2.橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)). 3.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)cot φ、sec φ、csc φ的意義分別為cot φ＝，sec φ＝，csc φ＝. 4.拋物線y2＝2px的參數(shù)方程(t為參數(shù))，由于＝，因此t的幾何意義是拋物線的點(diǎn)(除頂

48、點(diǎn)外)與拋物線的頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù). 5.利用圓錐曲線的參數(shù)方程，可以方便求解一些需要曲線上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)獨(dú)立表示的問(wèn)題，如求最大值、最小值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等. 1.參數(shù)方程(t為參數(shù))的普通方程是(　　) A.拋物線 B.一條直線 C.橢圓 D.雙曲線 解析　由參數(shù)方程平方相減可得4x2－y2＝16，即－＝1，故答案為D. 答案　D 2.橢圓(φ為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0) C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0) 解析　利用平方關(guān)系化為普通方程：＋＝1. ∴焦點(diǎn)(0，0)，

49、(8，0). 答案　D 3.參數(shù)方程(α為參數(shù))表示的普通方程是________. 解析　因x2＝1＋sin α，y2＝2＋sin α，所以y2－x2＝1，又因x＝sin＋cos＝sin，所以答案為y2－x2＝1(|x|≤且y≥1). 答案　y2－x2＝1(|x|≤且y≥1) 4.點(diǎn)P(1，0)到曲線(參數(shù)t∈R)上的點(diǎn)的最短距離為(　　) A.0 B.1 C. D.2 解析　d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴d＝1，∴dmin＝1. 答案　B 5.已知點(diǎn)P是橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值. 解　因?yàn)镻

50、為橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直線l：x＋2y＝0. 因此點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝.又θ∈[0，2π)，∴dmax＝＝， 即點(diǎn)P到直線e：x＋2y＝0的距離的最大值為. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.x2＋＝1 B.x2＋＝1 C.y2＋＝1 D.y2＋＝1 解析　易知cos θ＝x，sin θ＝，∴x2＋＝1，故選A. 答案　A 2.方程(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.雙曲線的一部分 解析　由xcos θ＝a，∴

51、cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab，又由y＝ bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲線應(yīng)為雙曲線的一部分. 答案　D 3.若點(diǎn)P(3，m)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　拋物線為y2＝4x，準(zhǔn)線為x＝－1，|PF|為P(3，m)到準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為4. 答案　C 4.當(dāng)θ取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.直線 D.線段 解析　設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)

52、坐標(biāo)公式，得x＝2sin θ－2cos θ，y＝3cos θ＋3sin θ，即＝sin θ－cos θ，＝sin θ＋cos θ，兩式平方相加，得＋＝2，是橢圓. 答案　B 5.實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則2x＋y的最大值是________. 解析　因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，所以設(shè)x＝2cos α，y＝sin α，則2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.當(dāng)sin(α＋φ)＝1時(shí)，2x＋y有最大值為5. 答案　5 6.拋物線y＝x2－的頂點(diǎn)軌跡的普通方程為_(kāi)_______. 解析　拋物線方程可化為y＝－，∴其

53、頂點(diǎn)為，記M(x，y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，則消去t得y＝－x2(x≠0). 答案　y＝－x2(x≠0) 7.如圖所示，連接原點(diǎn)O和拋物線y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)M，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)P，使|OM|＝|MP|，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明是什么曲線？ 解　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2y，其參數(shù)方程為得M(2t，2t2). 設(shè)P(x，y)，則M是OP中點(diǎn). ∴∴(t為參數(shù))，消去t得y＝x2，是以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)為(0，1)的拋物線. 二、能力提升 8.若曲線(θ為參數(shù))與直線x＝m相交于不同兩點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A.R B.(0，＋∞) C.(0，1) D.[0，1)

54、 解析　將曲線化為普通方程得(y＋1)2＝ －(x－1)(0≤x≤1).它是拋物線的一部分，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知0≤m＜1. 答案　D 9.圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________. 解析　將參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，表示開(kāi)口向右，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0). 答案　(1，0) 10.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______. 解析　化為普通方程為y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，所以化為極坐標(biāo)方程為ρsin θ

55、＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 答案　ρcos2θ－sin θ＝0 11.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1.C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α).因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值. d(α)

56、＝＝. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. 三、探究與創(chuàng)新 12.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e＝，已知點(diǎn)P到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo). 解　設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，其中，a＞b＞0，0≤θ＜2π.由e2＝＝＝1－可得＝＝即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P的距離為d，則d2＝x2＋＝a2cos2θ＋＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ＝－3b2＋4b2＋3， 如果＞1即b＜，即當(dāng)sin θ＝－1

57、時(shí)，d2有最大值，由題設(shè)得()2＝，由此得b＝－＞，與b＜矛盾.因此必有≤1成立，于是當(dāng)sin θ＝－時(shí)，d2有最大值， 由題設(shè)得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2. 所求橢圓的參數(shù)方程是 由sin θ＝－，cos θ＝±可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)P的距離都是. 三　直線的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.掌握直線的參數(shù)方程. 2.能夠利用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 1.若直線l的傾斜角α＝0，則直線l的參數(shù)方程是什么？ 提示　參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 2.如何理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義？ 提示　過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直

58、線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的長(zhǎng)度，即|t|＝||. ①當(dāng)t＞0時(shí)，的方向向上；②當(dāng)t＜0時(shí)，的方向向下；③當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 直線的參數(shù)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線l上任一點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn) M0(x0，y0)的距離，即|t|＝||. 要點(diǎn)一　直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 例1　已知直線l：(t為參數(shù)). (1)求直線l的傾斜角； (2)若點(diǎn)M(－3，0)在直線l上，求t并說(shuō)明t的幾何意義.

59、 解　(1)由于直線l：(t為參數(shù))表示過(guò)點(diǎn)M0(－，2)且斜率為tan的直線，故直線l的傾斜角α＝. (2)由(1)知，直線l的單位方向向量e＝＝. ∵M(jìn)0＝(－，2)，M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e， ∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t＝－4， 幾何意義為||＝4，且與e方向相反(即點(diǎn)M在直線l上點(diǎn)M0的左下方). 　規(guī)律方法　1.一條直線可以由定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α＜π)唯一確定，直線上的動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.2.直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率為的直線的參數(shù)方程

60、是(a、b為常數(shù)，t為參數(shù)). 跟蹤演練1　直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(1，5)，傾斜角為，且交直線x－y－2＝0于M點(diǎn)，則|MM0|＝________. 解析　由題意可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入直線方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1). 根據(jù)t的幾何意義可知|MM0|＝6(＋1). 答案　6(＋1) 要點(diǎn)二　利用直線的參數(shù)方程求曲線的弦長(zhǎng) 例2　已知過(guò)點(diǎn)M(2，－1)的直線l：(t為參數(shù))，與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|及|AM|·|BM|. 解　l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 令t′＝，則有(t′是參數(shù)). 其中t′是點(diǎn)M(2，－1)

61、到直線l上的一點(diǎn)P(x，y)的有向線段的數(shù)量，代入圓的方程x2＋y2＝4，化簡(jiǎn)得t′2－3t′＋1＝0.∵Δ＞0，可設(shè)t′1，t′2是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系得t′1＋t′2＝3，t′1t′2＝1. 由參數(shù)t′的幾何意義得|MA|＝|t′1|，|MB|＝|t′2|，∴|MA|·|MB|＝|t′1·t′2|＝1， |AB|＝|t′1－t′2|＝＝. 規(guī)律方法　1.在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下，直線上兩點(diǎn)之間的距離可用|t1－t2|來(lái)求.本題易錯(cuò)的地方是：將題目所給參數(shù)方程直接代入圓的方程求解，忽視了參數(shù)t的幾何意義.2.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直

62、線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長(zhǎng)l＝|t1－t2|； (2)定點(diǎn)M0是弦M1M2的中點(diǎn)?t1＋t2＝0； (3)設(shè)弦M1M2中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值tM＝(由此可求|M1M2|及中點(diǎn)坐標(biāo)). 跟蹤演練2　在極坐標(biāo)系中，已知圓心C，半徑r＝1. (1)求圓的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線(t為參數(shù))與圓交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng). 解　(1)由已知得圓心C，半徑為1，圓的方程為＋＝1， 即x2＋y2－3x－3y＋8＝0， (2)由(t為參數(shù))得直線的直角坐標(biāo)系方程x－y＋1＝0， 圓心到直線的距離d＝＝，所以＋d2＝1， 解得|AB|＝. 要點(diǎn)三

63、　直線參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例3　已知直線l過(guò)定點(diǎn)P(3，2)且與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值為最小時(shí)的直線l的方程. 解　設(shè)直線的傾斜角為α，則它的方程為(t為參數(shù)). 由A，B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)知yA＝0，xB＝0， ∴0＝2＋tsin α，即|PA|＝|t|＝，0＝3＋tcos α， 即|PB|＝|t|＝－， 故|PA|·|PB|＝·＝－. ∵90°＜α＜180°，∴當(dāng)2α＝270°，即α＝135°時(shí)， |PA|·|PB|有最小值. ∴直線方程為(t為參數(shù))，化為普通方程為x＋y－5＝0. 規(guī)律方法　利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問(wèn)題，

64、特別是求直線上某一定點(diǎn)與曲線交點(diǎn)距離時(shí)使用參數(shù)的幾何意義更為方便. 跟蹤演練3　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 解　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2 ρsin θ. ∴x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5. (2)法一　直線l的普通方程為y＝－x＋3＋， 與圓C：x2＋(y－)2＝5聯(lián)立，消去y， 得x2－

65、3x＋2＝0， 解之得或 不妨設(shè)A(1，2＋)，B(2，1＋). 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 法二　將l的參數(shù)方程代入x2＋(y－)2＝5， 得＋＝5， 即t2－3t＋4＝0，(*) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0. 故可設(shè)t1，t2是(*)式的兩個(gè)實(shí)根. ∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4. ∴t1＞0，t2＞0. 又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)， ∴由t的幾何意義， 得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3. 1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(

66、x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，可為正、為負(fù)，也可為零. 2.在直線參數(shù)方程中，如果直線上的點(diǎn)M1、M2所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1和t2，則線段M1M2的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t中＝·(t1＋t2). 1.直線(t為參數(shù))的傾斜角α等于(　　) A.40° B.50° C.－45° D.135° 解析　根據(jù)tan α＝＝－1，因此傾斜角為135°. 答案　D 2.若(λ為參數(shù))與(t為參數(shù))表示同一條直線，則λ與t的關(guān)系是(　　) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t＝5λ D.t＝－5λ 解析　由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函數(shù)，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直線的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ. 答案　C 3.已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：2x－4y＝5相交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A(1，2)，則|AB|＝________. 解析　將代入2x－4y＝5，得t＝，則B.又A(1，2)，所以|AB|＝. 答案　 4.求直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)到定點(diǎn)(4，3)