2018版高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程學(xué)案 新人教A版選修4-4

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1、 第二講 參數(shù)方程 一　曲線的參數(shù)方程 1　參數(shù)方程的概念 2　圓的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解曲線參數(shù)方程的有關(guān)概念. 2.掌握圓的參數(shù)方程. 3.能夠根據(jù)圓的參數(shù)方程解決最值問題. [知識鏈接] 曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ有什么實際意義？ 提示　聯(lián)系x，y的參數(shù)t(θ，φ，…)可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無實際意義的任意實數(shù).圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上

2、任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：①，并且對于 t的每一個允許值，由方程組①所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出的點的坐標(biāo)間的關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.圓的參數(shù)方程 (1)如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點M從初始位置M0開始出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作均速圓周運動，設(shè)M(x，y)，點M轉(zhuǎn)過的角度是θ，則(θ為參數(shù))，這就是圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程. (2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 (

3、x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ為參數(shù)) 要點一　參數(shù)方程的概念 例1　已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，a∈R)，點M(－3，4)在曲線C上. (1)求常數(shù)a的值； (2)判斷點P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？ 解　(1)將M(－3，4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程得消去參數(shù)t，得a＝1. (2)由(1)可得，曲線C的參數(shù)方程是 把點P的坐標(biāo)(1，0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點Q的坐標(biāo)(3，－1)代入方程組，得到這個方程組無解，因此點Q不在曲線C上. 規(guī)律方法　點與曲線的位置關(guān)系 滿足某種約束條件的動點的軌跡形成曲線，點與曲線的位置關(guān)

4、系有兩種：點在曲線上、點不在曲線上. (1)對于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點M(x1，y1)在曲線上，則點M(x1，y1)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點N(x2，y2)不在曲線上，則點N(x2，y2)的坐標(biāo)不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0. (2)對于曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，若點M(x1，y1)在曲線上，則對應(yīng)的參數(shù)t有解，否則參數(shù)t不存在. 跟蹤演練1　已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π).判斷點A(2，0)，B是否在曲線C上？若在曲線上，求出點對應(yīng)的參數(shù)的值. 解　把點A(2，0)的坐標(biāo)代入， 得

5、cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0， 因此點A(2，0)在曲線C上，對應(yīng)參數(shù)θ＝0，同理，把B代入?yún)?shù)方程，得 ∴ 又0≤θ＜2π，∴θ＝π，所以點B在曲線C上，對應(yīng)θ＝π. 要點二　圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用 例2　設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓， 則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝＝＜3， 所以直線與

6、圓相交.所以過圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個交點滿足題意，又3－d＜，故滿足題意的點有2個. 答案　B 規(guī)律方法　1.本題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)；數(shù)形結(jié)合，判定直線與圓的位置關(guān)系.2.參數(shù)方程表示怎樣的曲線，一般是通過消參，得到普通方程來判斷，特別要注意變量的取值范圍. 跟蹤演練2　已知實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值. 解　由已知，可把點(x，y)視為圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上的點，設(shè)(θ為參數(shù)). 則x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋6si

7、n. ∵－1≤sin≤1， ∴11－6≤x2＋y2≤11＋6. ∴x2＋y2的最大值為11＋6，最小值為11－6. 要點三　參數(shù)方程的實際應(yīng)用 例3　某飛機進行投彈演習(xí)，已知飛機離地面高度為H＝2 000 m，水平飛行速度為v1＝100 m/s，如圖所示. (1)求飛機投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度； (2)如果飛機追擊一輛速度為v2＝20 m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠處投彈？(g＝10 m/s2) 解　(1)如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機艙的時刻為0 s，在時刻t s時其坐標(biāo)為M(x，y)，由于炸彈作

8、平拋運動，依題意，得 即 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)， 所以飛機投彈t s炸彈的水平位移為100t m，離地面的高度為(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20. (2)由于炸彈水平分運動和汽車的運動均為勻速直線運動，以汽車參考系.水平方向S相對＝v相對t，所以飛機應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m). 規(guī)律方法　本題通過點的坐標(biāo)的參數(shù)方程利用運動學(xué)知識使問題得解.由于水平拋出的炸彈做平拋運動，可以分解為在水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動，炸彈飛行的時間也就是它作自由落體運動所用的時間. 跟

9、蹤演練3　如果本例條件不變，求： (1)炸彈投出機艙10 s后這一時刻的水平位移和高度各是多少m? (2)如果飛機迎擊一輛速度為v2＝20 m/s相向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠處投彈？ 解　(1)將t＝10代入得 所以炸彈投出機艙10 s后這一時刻的水平位移和高度分別是1 000 m和1 500 m. (2)由于炸彈水平分運動和汽車的運動均為勻速直線運動，以汽車為參考系. 水平方向s相對＝v相對t，所以飛機應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2 400(m). 1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上點的橫

10、、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系.在具體問題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個參數(shù)的允許取值就可得到曲線上的一個對應(yīng)點，反過來，對于曲線上的任一點也必然對應(yīng)著參數(shù)相應(yīng)的允許取值. 2.求曲線參數(shù)方程的主要步驟 第一步，畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標(biāo).畫圖時要注意根據(jù)幾何條件選擇點的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系. 第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定.

11、 第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略. 1.下列方程：(1)(m為參數(shù))；(2)(m，n為參數(shù))；(3)(4)x＋y＝0中，參數(shù)方程的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由參數(shù)方程的概念知是參數(shù)方程，故選A. 答案　A 2.當(dāng)參數(shù)θ變化時，由點P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線過點(　　) A.(2，3) B.(1，5) C. D.(2，0) 解析　當(dāng)2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴過點(2，0). 答案　D 3.參數(shù)方程(t為參數(shù))

12、表示的曲線是(　　) A.兩條直線 B.一條射線 C.兩條射線 D.雙曲線 解析　當(dāng)t＞0時是一條射線；當(dāng)t＜0時，也是一條射線，故選C. 答案　C 4.已知(t為參數(shù))，若y＝1，則x＝________. 解析　當(dāng)y＝1時，t2＝1，∴t＝±1，當(dāng)t＝1時，x＝2；當(dāng)t＝－1時，x＝0.∴x的值為2或0. 答案　2或0 5.已知直線y＝x與曲線(α為參數(shù))相交于兩點A和B，求弦長|AB|. 解　由得∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1，2)，半徑r＝2， 則圓心(1，2)到直線y＝x的距離d＝＝. ∴|AB|＝2＝2＝. 一、基礎(chǔ)達標(biāo) 1.已知

13、O為原點，參數(shù)方程(θ為參數(shù))上的任意一點為A，則|OA|＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　|OA|＝＝＝1，故選A. 答案　A 2.已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，曲線C不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.a≥2 B.a＞3 C.a≥1 D.a＜0 解析　∵曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，∴化為普通方程為(x－a)2＋y2＝4，表示圓心為(a，0)，半徑等于2的圓. ∵曲線C不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)a滿足a≥2，故選A. 答案　A 3.圓心在點(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(　　) A.(0≤θ＜2π) B.(

14、0≤θ＜2π) C.(0≤θ＜π) D.(0≤θ＜2π) 解析　圓心在點C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ∈[0，2π)).故圓心在點(－1，2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(0≤θ＜2π). 答案　D 4.將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.y＝x－2 B.y＝x＋2 C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1) 解析　將參數(shù)方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]. 答案　C 5.若點(－3，－3)在參數(shù)方程(θ為參數(shù))的曲線上，則θ＝________. 解析　將點(－3，－3)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程(θ為參數(shù))得解得θ＝＋2k

15、π，k∈Z. 答案?。?kπ，k∈Z 6.已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l與圓C的交點的直角坐標(biāo)為________. 解析　由圓C的參數(shù)方程為可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為x2＋(y－1)2＝1，由直線l的極坐標(biāo)方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐標(biāo)系下的方程為y＝1，由可解得所以直線l與圓C的交點的直角坐標(biāo)為(－1，1)，(1，1). 答案　(－1，1)，(1，1) 7.已知曲線C：(θ為參數(shù))，如果曲線C與直線x＋y＋a＝0有公共點，求實數(shù)a的取值范圍. 解　∵ ∴x2＋(y＋1)2＝

16、1. ∵圓與直線有公共點，則d＝≤1， 解得1－≤a≤1＋. 二、能力提升 8.若P(2，－1)為圓O′：(0≤θ＜2π)的弦的中點，則該弦所在直線l的方程是(　　) A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0 C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0 解析　∵圓心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1. ∴直線l方程為x－y－3＝0. 答案　A 9.如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________. 解析　將x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∵圓的直徑為1.設(shè)P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos

17、 θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 答案　(θ為參數(shù)) 10.曲線(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝4的交點坐標(biāo)為________. 解析　∵sin t∈[－1，1]，∴y∈[0，2]. ∵方程表示的曲線是線段x＝1(0≤y≤2). 令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3， ∵0≤y≤2，∴y＝. 答案　(1，) 11.設(shè)點M(x，y)在圓x2＋y2＝1上移動，求點P(x＋y，xy)的軌跡. 解　設(shè)點M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，點P(x′，y′). 則

18、 ①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2. ∴所求點P的軌跡為拋物線x2＝2的一部分. 12.已知點M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動點，若4x＋3y－a≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 解　由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又點M在圓上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ(θ為參數(shù))， 因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝確定) ∴4x＋3y的最大值為1. 若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max， 故實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞). 三、探究

19、與創(chuàng)新 13.已知圓系方程為x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a＞0，且為已知常數(shù)，φ為參數(shù)) (1)求圓心的軌跡方程； (2)證明圓心軌跡與動圓相交所得的公共弦長為定值. (1)解　由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x－acos φ)2＋(y－asin φ2)＝a2(a＞0). 設(shè)圓心坐標(biāo)為(x，y)，則(φ為參數(shù))， 消參數(shù)得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2. (2)證明　由方程 得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝為定值. ∴弦長l＝2＝a(定值). 3　

20、參數(shù)方程和普通方程的互化 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義. 2.掌握參數(shù)方程化為普通方程的基本方法. 3.能夠利用參數(shù)方程化為普通方程解決有關(guān)問題. [知識鏈接] 普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否唯一？ 提示　不一定唯一.普通方程化為參數(shù)方程，關(guān)鍵在于適當(dāng)選擇參數(shù)，如果選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 參數(shù)方程與普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程. (2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，

21、求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致. 要點一　把參數(shù)方程化為普通方程 例1　在方程(a，b為正常數(shù))中， (1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時，方程表示何種曲線？ (2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時，方程表示何種曲線？ 解　方程(a，b是正常數(shù))， (1)①×sin θ－②×cos θ得xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同時為零，∴方程表示一條直線. (2)(i)當(dāng)t為非零常數(shù)時， 原方程組為 ③2＋④2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y

22、－b)2＝t2，它表示一個圓. (ii)當(dāng)t＝0時，表示點(a，b). 　規(guī)律方法　1.消去參數(shù)的常用方法：將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法.如果參數(shù)方程是分式方程，在運用代入消元或加減消元之前要做必要的變形.另外，熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，＋＝1等.2.把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響.本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線. 跟蹤演練1　參數(shù)方

23、程(α為參數(shù))化成普通方程為________. 解析　∵cos2α＋sin2α＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1. 答案　x2＋(y－1)2＝1 要點二　把普通方程化成參數(shù)方程 例2　求方程4x2＋y2＝16的參數(shù)方程： (1)設(shè)y＝4sin θ，θ為參數(shù)； (2)若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？若令x＝2t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？ 解　(1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cos θ. ∴4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是 和(θ為參數(shù)) (2)將y＝t代入橢圓

24、方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16， 則x2＝.∴x＝±. 因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是 ，和(t為參數(shù)). 同理將x＝2t代入橢圓4x2＋y2＝16，得橢圓的參數(shù)方程為和(t為參數(shù)). 　規(guī)律方法　1.將圓的普通方程化為參數(shù)方程 (1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； (2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).2.普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計算y＝g(t))，并且要保證等價性.若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x＝f(t)，y＝g(t)，調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的

25、過程中，x，y的取值范圍保持一致. 跟蹤演練2　設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________. 解析　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 答案　(t為參數(shù)) 要點三　參數(shù)方程的應(yīng)用 例3　已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值. 解　由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1 得圓的參數(shù)方程為(θ∈[0，2π)). (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的終邊

26、過點(4，3). ∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－.且φ的終邊過點(4，－3). ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16. 　規(guī)律方法　1.運用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇.選擇參數(shù)時，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系.由于三角

27、函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運動有關(guān)，常選擇時間為參數(shù).2.解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題.3.注意運用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ). 其中tan φ＝(a≠0)，且φ的終邊過點(a，b). 跟蹤演練3　如圖，已知點P是圓x2＋y2＝16上的一個動點，定點A(12，0)，當(dāng)點P在圓上運動時，利用參數(shù)方程求線段PA的中點M的軌跡. 解　因為圓x2＋y2＝16的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 所以可設(shè)點P(4cos θ，4sin θ)，設(shè)點M(x，y)，由線段中點坐標(biāo)公式得(θ為

28、參數(shù))，即點M的軌跡的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，所以點M的軌跡是以點(6，0)為圓心、2為半徑的圓. 1.參數(shù)方程和普通方程的互化 參數(shù)方程化為普通方程，可通過代入消元法和三角恒等式消參法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型. 由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當(dāng)?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點M的坐標(biāo)x，y和參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)實際問題的要求，我們可以選擇時間、角度、線段長度、直線的斜率、截距等作為參數(shù). 2.同一道題參數(shù)的選擇往往不是唯一的，適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，可以簡化解題的過程，降低計算量，提高準(zhǔn)確率.求軌跡方程與求軌跡有所不同，求軌跡方程只需求出方程即可，而求軌跡往往是先

29、求出軌跡方程，然后根據(jù)軌跡方程指明軌跡是什么圖形. 3.參數(shù)方程與普通方程的等價性 把參數(shù)方程化為普通方程后，很容易改變了變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價性. 1.與普通方程x2＋y－1＝0等價的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(　　) A. B. C. D. 解析　A化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.

30、 答案　D 2.將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為________. 解析　由x＝t＋得x2＝t2＋＋2，又y＝t2＋，∴x2＝y(tǒng)＋2.∵t2＋≥2，∴y≥2. 答案　x2－y＝2(y≥2) 3.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線的普通方程是________. 解析　y2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x，又x＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲線的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1). 答案　y2＝x＋1(－1≤x≤1) 4.已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù)，a∈R)，點M(5，4)在該曲線

31、上. (1)求常數(shù)a； (2)求曲線C的普通方程. 解　(1)由題意，可知故所以a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為由第一個方程，得t＝，代入第二個方程，得y＝，即(x－1)2＝4y為所求. 一、基礎(chǔ)達標(biāo) 1.曲線(θ為參數(shù))的方程等價于(　　) A.x＝ B.y＝ C.y＝± D.x2＋y2＝1 解析　由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故選A. 答案　A 2.已知直線l：(t為參數(shù))與圓C：(θ為參數(shù))，則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別是(　　) A.，(1，0) B.，(－1，0) C.，(1，0)

32、D.，(－1，0) 解析　直線消去參數(shù)得直線方程為y＝－x，所以斜率k＝－1即傾斜角為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(1，0). 答案　C 3.參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1去掉(0，1)點 C.x2＋y2＝1去掉(1，0)點 D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)點 解析　x2＋y2＝＋＝1，又∵x＝－1時，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉點(－1，0). 答案　D 4.若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋y的最大值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由于圓x2＋y2＝1的

33、參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則x＋y＝ sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值為2.故選B. 答案　B 5.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析　由ρcos θ＝4，知x＝4. 又∴x3＝y(tǒng)2(x≥0). 由得或 ∴|AB|＝＝16. 答案　16 6.在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4cos，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，若圓C1與C2相切，則實數(shù)a＝________. 解析

34、　圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x＋4y，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心為(2，2)，半徑長為2，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑長為|a|，由于圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5. 答案　±或±5 7.已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t＞0).求曲線C的普通方程. 解　由x＝－兩邊平方得x2＝t＋－2， 又y＝3，則t＋＝(y≥6). 代入x2＝t＋－2，得x2＝－2. ∴3x2－y＋6＝0(y≥6). 故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6). 二、能力提升 8.已知在

35、平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：(θ為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為：ρcos＝0，則圓C截直線所得弦長為(　　) A. B.2 C.3 D.4 解析　圓C的參數(shù)方程為的圓心為(，1)，半徑為3，直線普通方程為ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圓心C(，1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝1，所以圓C截直線所得弦長|AB|＝2＝2＝4. 答案　D 9.過原點作傾斜角為θ的直線與圓相切，則θ＝________. 解析　直線為y＝xtan θ，圓為(x－4)2＋y2＝4，直線與圓相切時，易知tan θ＝±，∴θ＝或. 答案　或 10.在直角坐標(biāo)系xOy

36、中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a＞0)有一個公共點在x軸上，則a＝________. 解析　曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為＋＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點坐標(biāo)為，故曲線＋＝1也經(jīng)過這個點，代入解得a＝(舍去－). 答案　 11.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知直線l上兩點M，N的極坐標(biāo)分別為(2，0)，，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)設(shè)P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解　(1)由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，.

37、又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標(biāo)為，故直線OP的平面直角坐標(biāo)方程為y＝x. (2)因為直線l上兩點M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2，0)，， 所以直線l的平面直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 又圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－)，半徑為r＝2， 圓心到直線l的距離d＝＝＜r，故直線l與圓C相交. 12.已知曲線C1：(θ為參數(shù))，曲線C2： (t為參數(shù)). (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù)； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫出C′1，C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的

38、個數(shù)是否相同？說明你的理由. 解　(1)C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2＋y2＝1， 圓心C1(0，0)，半徑r＝1. C2的普通方程為x－y＋＝0.因為圓心C1到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C2與C1只有一個公共點. (2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1：(θ為參數(shù))，C′2：(t為參數(shù))， 化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判別式Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點的個數(shù)相同. 三、探究與創(chuàng)新 13.已知曲線C1的參數(shù)方程為(

39、t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0，0≤θ＜2π). 解　(1)將消去參數(shù)t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0， ∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0， 由 解得或 ∴C1與C2的交點的極坐標(biāo)分別為，

40、. 二　圓錐曲線的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.掌握橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用. 2.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程. 3.能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點的軌跡問題. [知識鏈接] 1.橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)φ是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？ 提示　橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中的參數(shù)φ不是動點M(x，y)的旋轉(zhuǎn)角，它是點M所對應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角，稱為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角. 2.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)sec φ的意義是什么？ 提示　sec φ＝，其中φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π. 3.類比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的參

41、數(shù)方程嗎？ 提示　(p＞0，t為參數(shù)，t∈R.) [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.橢圓的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 2.雙曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 －＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 3.拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是(t∈R，t為參數(shù)). (2)參數(shù)t表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù). 要點一　橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 例1　已知A、B分別是橢圓＋＝1的右頂點和上頂點，動點C在該橢圓上運動，求△ABC重心G的軌跡的普通方程. 解　由題意知

42、A(6，0)，B(0，3).由于動點C在橢圓上運動，故可設(shè)動點C的坐標(biāo)為(6cos θ，3sin θ)，點G的坐標(biāo)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得(θ為參數(shù))，即 故重心G的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 規(guī)律方法　本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性.運用參數(shù)方程顯得很簡單，運算更簡便. 跟蹤演練1　已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：＋＝1. (1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？ (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值. 解　(1)由得 ∴曲線C1

43、：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓. 曲線C2：＋＝1表示中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓. 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) (2)依題設(shè)，當(dāng)t＝時，P(－4，4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M. 又C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 從而當(dāng)cos θ＝，sin θ＝－時， ，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 要點二　雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 例2　求證：雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點到兩漸近線

44、的距離的乘積是一個定值. 證明　由雙曲線－＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設(shè)雙曲線上任一點的坐標(biāo)為(asec φ，btan φ)， 它到兩漸近線的距離分別是d1和d2， 則d1·d2＝· ＝＝(定值). 規(guī)律方法　在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問題時，使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標(biāo)仍適用，另外本題要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的應(yīng)用. 跟蹤演練2　如圖，設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，證明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 證明　設(shè)P(sec φ，tan φ)，∵F

45、1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴|PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 要點三　拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用 例3　設(shè)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任一點，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點M的軌跡方程. 解　設(shè)P點的坐標(biāo)為(2pt2，2pt)(t為參數(shù))， 當(dāng)t≠0時，直線OP的方程為y＝x， QF的方程為y＝－2t， 它們的交點M(x，y)由方程組確定， 兩式相乘，消去t，得y2＝－2x， ∴點M

46、的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0). 當(dāng)t＝0時，M(0，0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0. 　規(guī)律方法　1.拋物線y2＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實數(shù)，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù).2.用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程. 跟蹤演練3　已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p＞0，焦點為F，準(zhǔn)線為l. 過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若|EF|

47、＝|MF|，點M的橫坐標(biāo)是3，則p＝________. 解析　根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F(xiàn)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負值舍去). 答案　2 1.圓的參數(shù)方程中的參數(shù)θ是半徑OM的旋轉(zhuǎn)角，橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)φ是橢圓上點M的離心角. 2.橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)). 3.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)cot φ、sec φ、csc φ的意義分別為cot φ＝，sec φ＝，csc φ＝. 4.拋物線y2＝2px的參數(shù)方程(t為參數(shù))，由于＝，因此t的幾何意義是拋物線的點(除頂

48、點外)與拋物線的頂點連線的斜率的倒數(shù). 5.利用圓錐曲線的參數(shù)方程，可以方便求解一些需要曲線上點的兩個坐標(biāo)獨立表示的問題，如求最大值、最小值問題、軌跡問題等. 1.參數(shù)方程(t為參數(shù))的普通方程是(　　) A.拋物線 B.一條直線 C.橢圓 D.雙曲線 解析　由參數(shù)方程平方相減可得4x2－y2＝16，即－＝1，故答案為D. 答案　D 2.橢圓(φ為參數(shù))的焦點坐標(biāo)為(　　) A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0) C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0) 解析　利用平方關(guān)系化為普通方程：＋＝1. ∴焦點(0，0)，

49、(8，0). 答案　D 3.參數(shù)方程(α為參數(shù))表示的普通方程是________. 解析　因x2＝1＋sin α，y2＝2＋sin α，所以y2－x2＝1，又因x＝sin＋cos＝sin，所以答案為y2－x2＝1(|x|≤且y≥1). 答案　y2－x2＝1(|x|≤且y≥1) 4.點P(1，0)到曲線(參數(shù)t∈R)上的點的最短距離為(　　) A.0 B.1 C. D.2 解析　d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴d＝1，∴dmin＝1. 答案　B 5.已知點P是橢圓＋y2＝1上任意一點，求點P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值. 解　因為P

50、為橢圓＋y2＝1上任意一點，故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直線l：x＋2y＝0. 因此點P到直線l的距離 d＝＝.又θ∈[0，2π)，∴dmax＝＝， 即點P到直線e：x＋2y＝0的距離的最大值為. 一、基礎(chǔ)達標(biāo) 1.參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A.x2＋＝1 B.x2＋＝1 C.y2＋＝1 D.y2＋＝1 解析　易知cos θ＝x，sin θ＝，∴x2＋＝1，故選A. 答案　A 2.方程(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.雙曲線的一部分 解析　由xcos θ＝a，∴

51、cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab，又由y＝ bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲線應(yīng)為雙曲線的一部分. 答案　D 3.若點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　拋物線為y2＝4x，準(zhǔn)線為x＝－1，|PF|為P(3，m)到準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為4. 答案　C 4.當(dāng)θ取一切實數(shù)時，連接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)兩點的線段的中點的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.直線 D.線段 解析　設(shè)中點M(x，y)，由中點

52、坐標(biāo)公式，得x＝2sin θ－2cos θ，y＝3cos θ＋3sin θ，即＝sin θ－cos θ，＝sin θ＋cos θ，兩式平方相加，得＋＝2，是橢圓. 答案　B 5.實數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則2x＋y的最大值是________. 解析　因為實數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，所以設(shè)x＝2cos α，y＝sin α，則2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.當(dāng)sin(α＋φ)＝1時，2x＋y有最大值為5. 答案　5 6.拋物線y＝x2－的頂點軌跡的普通方程為________. 解析　拋物線方程可化為y＝－，∴其

53、頂點為，記M(x，y)為所求軌跡上任意一點，則消去t得y＝－x2(x≠0). 答案　y＝－x2(x≠0) 7.如圖所示，連接原點O和拋物線y＝x2上的動點M，延長OM到點P，使|OM|＝|MP|，求P點的軌跡方程，并說明是什么曲線？ 解　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2y，其參數(shù)方程為得M(2t，2t2). 設(shè)P(x，y)，則M是OP中點. ∴∴(t為參數(shù))，消去t得y＝x2，是以y軸為對稱軸，焦點為(0，1)的拋物線. 二、能力提升 8.若曲線(θ為參數(shù))與直線x＝m相交于不同兩點，則m的取值范圍是(　　) A.R B.(0，＋∞) C.(0，1) D.[0，1)

54、 解析　將曲線化為普通方程得(y＋1)2＝ －(x－1)(0≤x≤1).它是拋物線的一部分，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知0≤m＜1. 答案　D 9.圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標(biāo)是________. 解析　將參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，表示開口向右，焦點在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點坐標(biāo)為(1，0). 答案　(1，0) 10.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________. 解析　化為普通方程為y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，所以化為極坐標(biāo)方程為ρsin θ

55、＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 答案　ρcos2θ－sin θ＝0 11.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo). 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1.C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α).因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值. d(α)

56、＝＝. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為. 三、探究與創(chuàng)新 12.設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率e＝，已知點P到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標(biāo). 解　設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，其中，a＞b＞0，0≤θ＜2π.由e2＝＝＝1－可得＝＝即a＝2b.設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d，則d2＝x2＋＝a2cos2θ＋＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ＝－3b2＋4b2＋3， 如果＞1即b＜，即當(dāng)sin θ＝－1

57、時，d2有最大值，由題設(shè)得()2＝，由此得b＝－＞，與b＜矛盾.因此必有≤1成立，于是當(dāng)sin θ＝－時，d2有最大值， 由題設(shè)得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2. 所求橢圓的參數(shù)方程是 由sin θ＝－，cos θ＝±可得，橢圓上的點，點到點P的距離都是. 三　直線的參數(shù)方程 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.掌握直線的參數(shù)方程. 2.能夠利用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題. [知識鏈接] 1.若直線l的傾斜角α＝0，則直線l的參數(shù)方程是什么？ 提示　參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 2.如何理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義？ 提示　過定點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直

58、線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x，y)為終點的有向線段的長度，即|t|＝||. ①當(dāng)t＞0時，的方向向上；②當(dāng)t＜0時，的方向向下；③當(dāng)t＝0時，點M與點M0重合. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線l上任一點M(x，y)到點 M0(x0，y0)的距離，即|t|＝||. 要點一　直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 例1　已知直線l：(t為參數(shù)). (1)求直線l的傾斜角； (2)若點M(－3，0)在直線l上，求t并說明t的幾何意義.

59、 解　(1)由于直線l：(t為參數(shù))表示過點M0(－，2)且斜率為tan的直線，故直線l的傾斜角α＝. (2)由(1)知，直線l的單位方向向量e＝＝. ∵M0＝(－，2)，M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e， ∴點M對應(yīng)的參數(shù)t＝－4， 幾何意義為||＝4，且與e方向相反(即點M在直線l上點M0的左下方). 　規(guī)律方法　1.一條直線可以由定點M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α＜π)唯一確定，直線上的動點M(x，y)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.2.直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過定點M0(x0，y0)，斜率為的直線的參數(shù)方程

60、是(a、b為常數(shù)，t為參數(shù)). 跟蹤演練1　直線l經(jīng)過點M0(1，5)，傾斜角為，且交直線x－y－2＝0于M點，則|MM0|＝________. 解析　由題意可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入直線方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1). 根據(jù)t的幾何意義可知|MM0|＝6(＋1). 答案　6(＋1) 要點二　利用直線的參數(shù)方程求曲線的弦長 例2　已知過點M(2，－1)的直線l：(t為參數(shù))，與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，求|AB|及|AM|·|BM|. 解　l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 令t′＝，則有(t′是參數(shù)). 其中t′是點M(2，－1)

61、到直線l上的一點P(x，y)的有向線段的數(shù)量，代入圓的方程x2＋y2＝4，化簡得t′2－3t′＋1＝0.∵Δ＞0，可設(shè)t′1，t′2是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系得t′1＋t′2＝3，t′1t′2＝1. 由參數(shù)t′的幾何意義得|MA|＝|t′1|，|MB|＝|t′2|，∴|MA|·|MB|＝|t′1·t′2|＝1， |AB|＝|t′1－t′2|＝＝. 規(guī)律方法　1.在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下，直線上兩點之間的距離可用|t1－t2|來求.本題易錯的地方是：將題目所給參數(shù)方程直接代入圓的方程求解，忽視了參數(shù)t的幾何意義.2.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直

62、線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2|； (2)定點M0是弦M1M2的中點?t1＋t2＝0； (3)設(shè)弦M1M2中點為M，則點M對應(yīng)的參數(shù)值tM＝(由此可求|M1M2|及中點坐標(biāo)). 跟蹤演練2　在極坐標(biāo)系中，已知圓心C，半徑r＝1. (1)求圓的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線(t為參數(shù))與圓交于A，B兩點，求弦AB的長. 解　(1)由已知得圓心C，半徑為1，圓的方程為＋＝1， 即x2＋y2－3x－3y＋8＝0， (2)由(t為參數(shù))得直線的直角坐標(biāo)系方程x－y＋1＝0， 圓心到直線的距離d＝＝，所以＋d2＝1， 解得|AB|＝. 要點三

63、　直線參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 例3　已知直線l過定點P(3，2)且與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值為最小時的直線l的方程. 解　設(shè)直線的傾斜角為α，則它的方程為(t為參數(shù)). 由A，B是坐標(biāo)軸上的點知yA＝0，xB＝0， ∴0＝2＋tsin α，即|PA|＝|t|＝，0＝3＋tcos α， 即|PB|＝|t|＝－， 故|PA|·|PB|＝·＝－. ∵90°＜α＜180°，∴當(dāng)2α＝270°，即α＝135°時， |PA|·|PB|有最小值. ∴直線方程為(t為參數(shù))，化為普通方程為x＋y－5＝0. 規(guī)律方法　利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問題，

64、特別是求直線上某一定點與曲線交點距離時使用參數(shù)的幾何意義更為方便. 跟蹤演練3　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 解　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2 ρsin θ. ∴x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5. (2)法一　直線l的普通方程為y＝－x＋3＋， 與圓C：x2＋(y－)2＝5聯(lián)立，消去y， 得x2－

65、3x＋2＝0， 解之得或 不妨設(shè)A(1，2＋)，B(2，1＋). 又點P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 法二　將l的參數(shù)方程代入x2＋(y－)2＝5， 得＋＝5， 即t2－3t＋4＝0，(*) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0. 故可設(shè)t1，t2是(*)式的兩個實根. ∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4. ∴t1＞0，t2＞0. 又直線l過點P(3，)， ∴由t的幾何意義， 得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3. 1.經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(

66、x，y)為終點的有向線段的數(shù)量，可為正、為負，也可為零. 2.在直線參數(shù)方程中，如果直線上的點M1、M2所對應(yīng)的參數(shù)值分別為t1和t2，則線段M1M2的中點所對應(yīng)的參數(shù)值為t中＝·(t1＋t2). 1.直線(t為參數(shù))的傾斜角α等于(　　) A.40° B.50° C.－45° D.135° 解析　根據(jù)tan α＝＝－1，因此傾斜角為135°. 答案　D 2.若(λ為參數(shù))與(t為參數(shù))表示同一條直線，則λ與t的關(guān)系是(　　) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t＝5λ D.t＝－5λ 解析　由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函數(shù)，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直線的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ. 答案　C 3.已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：2x－4y＝5相交于點B，且點A(1，2)，則|AB|＝________. 解析　將代入2x－4y＝5，得t＝，則B.又A(1，2)，所以|AB|＝. 答案　 4.求直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：x＋y－2＝0的交點到定點(4，3)