6、式為________．
答案 (1)C (2)[－1,2) (－1,1] (3)4 (4)f(x)＝x＋
題型一 函數(shù)的三種表示方法
例1 某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x(臺)與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．
[解] (1)列表法：
(2)圖像法：
(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
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函數(shù)的表示方法
(1)解析法有兩個優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值．中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù)．
7、
(2)圖像法的優(yōu)點是能直觀形象地表示出隨自變量的變化，相應的函數(shù)值的變化趨勢，有利于我們通過圖像來研究函數(shù)的某些性質(zhì)．圖像法在生產(chǎn)和生活中有許多應用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖等．
(3)列表法的優(yōu)點是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值，表格法在實際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應用，如銀行利率表、列車時刻表等．
某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系．
解 (1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為：
x/道
0
8、
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖．
(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
題型二 作函數(shù)的圖像
例2 作出下列各函數(shù)的圖像：
(1)y＝1－x，x∈Z；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
－1
－2
…
描點可得這個函數(shù)的圖像由一些點組成，這些點都在直線y＝1－x上，
∵x∈Z，∴y∈Z，這些點稱為整
9、點，如圖(1)所示．
(2)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
描點、連線可得這個函數(shù)的圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分，如圖(2)所示．
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作函數(shù)圖像應注意的問題
(1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點、連線．作圖像時一般應先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，最后列表畫出圖像．
(2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖像與坐標軸的交點、區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點．
畫出下列函數(shù)的圖像：
10、
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x>1或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線，如圖(2)．
題型三 函數(shù)解析式的求法
例3 (1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
[解] (1)設f(x)＝kx＋b(k≠0)，
則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或
11、k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(2)解法一(配湊法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二(換元法)：
令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
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求函數(shù)解析式的五種常用方法
(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型，求f(x)的解析式時，根據(jù)類型設出其解析式，確定其系數(shù)即可．
(2)換元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析
12、式，注意：換元后新元的范圍．
(3)配湊法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)時，可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”，即用g(x)來表示f(x)，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式時，可直接用新自變量g(x)替換y＝f(x)中的x.
(5)方程組法：當同一個對應關(guān)系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解．
(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求該二次函數(shù)的解析式；
(2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f
13、(x)；
(3)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；
(4)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．
解 (1)設二次函數(shù)的解析式為
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意，得
解得故f(x)＝x2＋1.
(2)解法一：令x＋1＝t，則x＝t－1，
代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2，
即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.
解法二：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.
(3)解法一：∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)
14、2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
解法二：令＋4＝t(t≥4)，則x＝(t－4)2.
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，
即f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
(4)用代替x有2f＋f(x)＝，
所以有
①×2－②，得3f(x)＝4x－，即f(x)＝－(x≠0).
題型四 分段函數(shù)
例4 (1)已知函數(shù)f(x)＝
①求f(2)，f；
②若f(a)＝3，求a的值；
(2)已知函數(shù)f(x)＝
①畫出函數(shù)f(x)的圖像；
②求函數(shù)f
15、(x)的定義域和值域；
③利用圖像解不等式f(x)>x.
[解] (1)①f(2)＝2×2＝4，f＝2＝.
②當a≤－1時，f(a)＝a＋2，即a＋2＝3，
∴a＝1(舍去)．
當－11時，f(x)＝1，所以函數(shù)f(x)的值域為[0,1]．
③由圖像，知不
16、等式f(x)>x的解集為{x|x<0}．
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分段函數(shù)求值應注意的問題
(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，然后代入相應的解析式求得，當不明確時要分類討論．
(2)分段函數(shù)的解析式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同解析式，所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點或幾段線段，而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是分別求出各段上的值域的并集．
(1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________；
(2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿逆時針方向
17、由B點(起點)向A點(終點)移動，設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y.
①根據(jù)題意寫出y與x之間的函數(shù)解析式；
②作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值．
答案 (1) (2)見解析
解析 (1)由于≤1，所以f＝－2＝－，
而>1，所以f＝1＋2＝.
所以f＝.
(2)①點P移動，△ABP的面積隨之變化，可分點P落在邊BC上，CD上，DA上三種情況進行討論，得關(guān)系式
y＝
②函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可得ymax＝8.
1．在下面四個圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖像的只可能是( )
答案 D
解析 根據(jù)函數(shù)的定義，任意作出與x軸垂直的直線
18、，直線與函數(shù)圖像至多有一個交點，因此只有D符合．
2．若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，則g(x)＝( )
A．3x－3 B．3x－5
C．3x－1 D．3x＋4
答案 C
解析 ∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，
∴g(x)＝3x－1.
3．函數(shù)y＝x＋的圖像是圖中的( )
答案 C
解析 ∵y＝x＋＝畫出圖像即為C.
4．設函數(shù)f(x)＝則f的值為______．
答案
解析 f＝，f＝f＝.
5．某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：
(1)5 km以內(nèi)(含5 km)，票價2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票價增加1元(不足5 km的部分按5 km計算)．
如果某條線路的總里程為20 km，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．
解 設里程為x km時，票價為y元．
由題意可知，自變量x的取值范圍是(0,20]．由“招手即停”公共汽車票價的制定規(guī)則，可得函數(shù)解析式為
y＝
根據(jù)這個函數(shù)的解析式，可畫出函數(shù)的圖像，如圖所示．
11
2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時 函數(shù)的表示方法學案 新人教B版必修第一冊
