2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．直線與圓的位置關(guān)系 (1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離． (2)兩種研究方法： ① ② 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 位置關(guān)系 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r

2、2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|

3、 2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論 (1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條． (2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． (　　) (2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切． (　　) (3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交． (　　) (4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次

4、項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程． (　　) (5)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．直線過圓心 C．直線不過圓心，但與圓相交 D．相離 B　[依題意知圓心為(－1,0)，到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝0，所以直線過圓心．] 3．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　B．相交　　　C．外切　

5、　　D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

6、若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(－∞，＋∞)　　 B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) D　[圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心C(1,1)，半徑r＝1.因為直線與圓相交，所以d＝0或m<0.故選D．] 2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 C　[直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點

7、(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C．] 3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 C　[如圖所示，因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點有3個．] [規(guī)律方法]　判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法 (1)幾何法：利用d與r的關(guān)系． (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷． (3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線

8、與圓相交． 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題． 圓與圓的位置關(guān)系 【例1】　已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為(　　) A.　　　B. C．　　　D．2 C　[由圓C1與圓C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根據(jù)基本(均值)不等式可知ab≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．故選C．] [拓展探究]　把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值． [解]　由C1與C2內(nèi)切得＝1. 即(a＋b)2＝1，又ab≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故

9、ab的最大值為. [規(guī)律方法]　判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是 (1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長； (2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值； (3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論． 已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． [解]　(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4， 兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，

10、r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， ∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2， ∴圓C1和C2相交． (2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離＝＝3， 故公共弦長為2＝2. 直線與圓的綜合問題 ?考法1　圓的切線問題 【例2】　(1)已知圓的方程為x2＋y2＝1，則在y軸上截距為的切線方程為(　　) A．y＝x＋ B．y＝－x＋ C．y＝x＋或y＝－x＋ D．x＝1或y＝x＋ (2)(2019·惠州第一次調(diào)研)過點A(3,4)

11、作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的切線l，則切線l的方程為________． (1)C　(2)x＋y－7＝0　[(1)在y軸上截距為且斜率不存在的直線顯然不是切線，故設(shè)切線方程為y＝kx＋，則＝1，所以k＝±1，故所求切線方程為y＝x＋或y＝－x＋. (2)設(shè)切線l的方程為y＝kx＋b，點A(3,4)在切線l上，故4＝3k＋b.圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的圓心(2,3)到切線l的距離d＝＝，可得＝，解得k＝－1，故b＝7，切線l的方程為x＋y－7＝0.] ?考法2　直線與圓相交的弦長問題 【例3】　(1)直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長

12、為________． (2)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 (1)2　(2)B　[(1)∵圓x2＋y2＝4的圓心為點(0,0)，半徑r＝2，∴圓心到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝1，∴弦長|AB|＝2＝2. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋

13、3，由弦長為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，選B.] ?考法3　直線、圓與相關(guān)知識的交匯 【例4】　(2015·全國卷Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|. [解]　(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1. 因為直線l與圓C交于兩點，所以<1， 解得

14、2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＋8. 由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1， 所以直線l的方程為y＝x＋1. 故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2. [規(guī)律方法]　1.圓的切線方程的兩種求法 (1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k. (2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r

15、，進而求出k. 2．弦長的兩種求法 (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長． (2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2. (1)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． (2)若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝有且只有兩個公共點，則m的取值范圍是________． (1)2　(2)[1，)　[(1)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝，半徑r＝2，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長為2＝2

16、. (2)畫出圖像如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點A，B時，m＝1，此時直線l與曲線y＝有兩個公共點，當(dāng)直線l與曲線相切時，m＝，因此當(dāng)1≤m<時，直線l：x＋y＝m與曲線y＝有且只有兩個公共點．] 1．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6]　　　 B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] A　[由題意知圓心的坐標為(2,0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0

17、，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故選A.] 2．(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. 2　[由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2.] 3．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝

18、.|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 4．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)．當(dāng)m變化時，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． [解]　(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又點C的坐標為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點坐標為，可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3， 即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． - 9 -