2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 三角函數(shù) 5.2 三角函數(shù)的概念 5.2.1 三角函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、5.2.1　三角函數(shù)的概念 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.2.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.3.理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等． 教學(xué)重點：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號． 教學(xué)難點：任意角的三角函數(shù)的定義的建構(gòu)過程. 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一　　　三角函數(shù)的概念 (1)單位圓中三角函數(shù)的定義 (2)三角函數(shù)的定義域 知識點二　三角函數(shù)值的符號 規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知識點三　誘導(dǎo)公式(一) 【新知拓展】 (1)三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，

2、這個實數(shù)的大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)． (2)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α＝β＋720°，則cosα＝cosβ.(　　) (2)若sinα＝sinβ，則α＝β.(　　) (3)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)若sinα<0，且tanα<0，則α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角α的終邊經(jīng)過點P(5，－12)，則sinα＝

3、________，cosα＝________，tanα＝________. (3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________. (4)sin2·cos3·tan4的值的符號為________． 答案　(1)D　(2)－　?。?3)　(4)負(fù) 題型一 三角函數(shù)的定義 例1　已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值． [解]　r＝＝5|a|， 若a>0，則r＝5a，角α在第二象限， sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， tanα＝＝＝－； 若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限， sinα＝－，cosα＝

4、，tanα＝－. [條件探究]　在本例中，若將題設(shè)條件改為：已知角α的終邊在直線y＝x上，問題不變，怎樣求解？ 解　因為角α的終邊在直線y＝x上， 所以可設(shè)P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點． 則r＝ ＝2|a|(a≠0)． 若a>0，則α為第一象限角，r＝2a，sinα＝＝， cosα＝＝，tanα＝＝. 若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝. 金版點睛 利用三角函數(shù)的定義求值的策略 (1)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種： 方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用

5、正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值． 方法二：在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sinα＝，cosα＝.已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便． (2)當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論． (3)若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理． 　(1)設(shè)a<0，角α的終邊與單位圓的交點為P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ (2)已知角α終邊上的點P(4,3m)，且sinα＝m，求m的值． 答案　(1)A　(2)見解析 解

6、析　(1)∵點P在單位圓上，則|OP|＝1. 即＝1，解得a＝±. ∵a<0，∴a＝－， ∴P點的坐標(biāo)為， ∴sinα＝－，cosα＝， ∴sinα＋2cosα＝－＋2×＝. (2)∵P(4,3m)，∴r＝， ∴sinα＝＝＝m， 兩邊平方，得＝m2. ∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±. 題型二 三角函數(shù)值的符號　　　　　　　　　　　　　 例2　(1)若sinαtanα<0，且<0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)判斷下列各式的符號： ①tan120°·sin269°；②cos4·tan.

7、 [解析]　(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號， 從而α為第二、三象限角． 由<0可知cosα，tanα異號，從而α為第三、四象限角． 綜上可知，α為第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°·sin269°>0. ②∵π<4<，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－＝－6π＋， ∴－是第一象限角，∴tan>0. ∴cos4·tan<0. [答案]　(1)C　(2)見解析 金版點睛 判斷給定角的三角函數(shù)值正負(fù)的步驟 (1)確定α的終邊所在的

8、象限； (2)利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷． 　(1)若三角形的兩內(nèi)角A，B滿足sinA·cosB<0，則此三角形必為(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上三種情況都有可能 (2)點P(tanα，cosα)在第三象限，則α是第________象限角． 答案　(1)B　(2)二 解析　(1)三角形內(nèi)角的取值范圍是(0，π)，故sinA>0.因為sinAcosB<0，所以cosB<0，所以B是鈍角，故三角形是鈍角三角形． (2)因為點P(tanα，cosα)在第三象限，所以tanα<0，cosα<0，則角α

9、的終邊在第二象限. 題型三 與三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題 例3　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝； (2)y＝＋. [解]　(1)要使函數(shù)有意義，需tanx≠0， ∴x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z. ∴x≠，k∈Z. 于是函數(shù)的定義域是. (2)要使函數(shù)有意義，需 即 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)， ∴函數(shù)的定義域是. 金版點睛 求解函數(shù)定義域的解題策略 (1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式或不等式組求得，對于與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制． (2)要特別注意求一個固定集合

10、與一個含有無限多段的集合的交集時，可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個固定集合再求交集． 　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝sinx＋tanx； (2)y＝＋tanx. 解　(1)依題意，得 ∴函數(shù)的定義域是. (2)當(dāng)sinx≥0且tanx有意義時，函數(shù)才有意義， ∴(k∈Z)． ∴函數(shù)的定義域為x2kπ≤x<2kπ＋或2kπ＋

11、 (2)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°) ＝sin60°cos30°＋tan45° ＝×＋1＝. 金版點睛 利用誘導(dǎo)公式化簡的步驟 (1)將已知角化為k·360°＋α(k為整數(shù)，0°≤α<360°)或2kπ＋β(k為整數(shù)，0≤β<2π)的形式． (2)將原三角函數(shù)值化為角α的同名三角函數(shù)值． (3)借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡求值的目的． 　求下列各式的值： (1)cos＋tan(－))； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°. 解　(1)原式＝co

12、s＋tan ＝cos＋tan＝＋1＝. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋＝. 1．如果角α的終邊過點P(2sin30°，－2cos30°)，則sinα的值等于(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　由題意得P(1，－)，它與原點的距離r＝＝2，所以sinα＝－. 2．當(dāng)α為第二象限角時，－的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 答案　C 解析　∵α為第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴

13、－＝－＝2. 3．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角或鈍角三角形 答案　C 解析　因為sinA>0，所以cosB，tanC中一定有一個小于0，即B，C中有一個鈍角． 4．若750°角的終邊上有一點(4，a)，則a＝________. 答案　 解析　tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝＝，解得a＝. 5．計算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°. 解　原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°) ＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4. - 10 -