2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [考綱傳真]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度的孤所對(duì)的圓心角為1弧度的角，它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)

2、數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，記作sin α x叫作α的余弦，記作cos α 叫作α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線

3、 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 4.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 若α分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，則所在象限如圖： [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)小于90°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)角α的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　) (4)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(

4、2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)角－870°的終邊所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的終邊相同，故－870°的終邊在第三象限．] 3．若角θ同時(shí)滿足sin θ＜0且tan θ＜0，則角θ的終邊一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由sin θ＜0知角θ的終邊在三、四象限或y軸負(fù)半軸上，由tan θ＜0知角θ的終邊在二、四象限，故角θ的終邊在第四象限，故選D.] 4．(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則s

5、in α＝(　　) A.　 B．± C.　　　D．± B　[由題意知|r|2＝＋y2＝1，所以y＝±.由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±.] 5．在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長為(　　) A．10π　 B．9π C.π　　　D.π D　[單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是200×＝π，由弧長公式得l＝π.] 象限角與終邊相同的角 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 A　[當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，α＝2n·180°＋45°＝n·36

6、0°＋45°，α為第一象限角； 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α為第三象限角，所以α為第一或第三象限角．故選A.] 2．若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 C　[∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角，故選C.] 3．與－2 015°終邊相同的最小正角是________． 145°　[－2 015°＝6×(

7、－360°)＋145°，因此與－2 015°終邊相同的最小正角是145°.] 4．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． {β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}　[如圖，直線y＝x過原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以角β的集合S＝S1∪S2 ＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β

8、|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．] [規(guī)律方法]　1.象限角的兩種判斷方法 (1)圖像法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角． (2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角． 2．終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線． (2)按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角． (3)再由終邊相同角的表示

9、方法寫出滿足條件角的集合． (4)求并集化簡集合． 扇形的弧長、面積公式 【例1】　(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角； (2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？ [解]　(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則 解得(舍去)或 ∴扇形的圓心角為. (2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100，此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形的面積最大． [規(guī)律方法]　解決有關(guān)

10、扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(xiàng) (1)解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時(shí)，要注意角的單位，一般將角度化為弧度． (2)求解扇形面積的最值問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決． (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形． (1)若扇形的圓心角α＝120°，弦長AB＝12 cm，則弧長l＝________cm. π　[設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖． 由sin 60°＝，得r＝4 cm， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π cm.] (2)已知扇形AOB的周長為C，當(dāng)圓心角為多少時(shí)，扇形的面積最大？ [解]　設(shè)扇形AOB的

11、半徑為r，弧長為l，圓心角為α，由題意可知 ∴l(xiāng)＝C－2r，代入②可得：S＝(C－2r)·r＝r－r2， ∵S＝－＋，0＜r＜，∴當(dāng)r＝時(shí)，S最大，此時(shí)l＝C－＝，∴α＝＝2. 三角函數(shù)的定義 ?考法1　利用三角函數(shù)的定義求值 【例2】　(1)已知點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|＝4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(－2，－2) B． C．(－2，－2) D． (2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cos α＝－，則＋＝________. (1)A　(2)－　[(1)設(shè)P(x，y)，由三角函數(shù)的定義知，＝sin ，＝cos，即y＝4sin＝－2，x＝4cos

12、＝－2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，－2)，故選A. (2)r＝，由cos α＝－得＝－ 解得x＝或x＝－(舍去) 所以P， 所以sin α＝－，所以tan α＝＝， 則＋＝－＋＝－.] ?考法2　三角函數(shù)值的符號(hào)判定 【例3】　(1)若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不確定 (1)C　(2)A　[(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號(hào)，從而可判斷角α為第二或第三象限角．

13、由＜0可知cos α，tan α異號(hào)，從而可判斷角α為第三或第四象限角． 綜上可知，角α為第三象限角． (2)sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，則sin 2·cos 3·tan 4＜0，故選A.] ?考法3　三角函數(shù)線的應(yīng)用 【例4】　函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． (k∈Z)　[∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．

14、(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解． 2．利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法 對(duì)于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集． (1)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A. B． C. D． (2)若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，則cos θ的值為________． (3)函數(shù)y＝lg(2sin x－1)的定義域?yàn)開__

15、_____． (1)A　(2)－　(3)k∈Z　[(1)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos ＝－，y＝sin ＝. ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A. (2)由題意知r＝， ∴sin θ＝＝m， ∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2， ∴cos θ＝＝－. (3)由題意知2sin x－1＞0，即sin x＞， 根據(jù)三角函數(shù)線，畫出x滿足條件的終邊范圍．(如圖陰影所示) ∴.] 1．(2014·全國卷Ⅰ)若tan α>0，則(　　) A．sin 2α>0　　 B．cos α>0 C．sin α>0 D．cos 2α>0 A　[∵tan α>0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角． ∴sin α，cos α都可正、可負(fù)，排除B，C. 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 結(jié)合正、余弦函數(shù)圖像可知，A正確． 取α＝，則tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正確．] 2．(2014·大綱全國卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cos α＝(　　) A. B． C．－ D．－ D　[因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－.] - 10 -