2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.3平面向量的數(shù)量積教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.3平面向量的數(shù)量積教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的求法；2.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積求向量的夾角、向量的模；3.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積證明兩個(gè)向量垂直． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解數(shù)量積的意義，掌握求數(shù)量積的各種方法；2.理解數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)；3.利用數(shù)量積解決向量的幾何問題． 1． 平面向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__. 兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條

2、件是a·b＝0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b＝±|a||b|. 2． 平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 3． 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|. 4． 平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·

3、b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5． 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝||＝. (3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角的余弦值有關(guān)，

4、在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍． 2． a·b>0是兩個(gè)向量a·b夾角為銳角的必要不充分條件．因?yàn)槿簟碼，b〉＝0，則a·b>0，而a，b夾角不是銳角；另外還要注意區(qū)分△ABC中，、的夾角與角B的關(guān)系． 3． 計(jì)算數(shù)量積時(shí)利用數(shù)量積的幾何意義是一種重要方法． 1． 已知向量a和向量b的夾角為135°，|a|＝2，|b|＝3，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝___. 答案?。? 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝2×3×＝－3. 2． 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案　 解析

5、　由a⊥b知a·b＝0. 又3a＋2b與λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝. 3． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為______． 答案　 解析　設(shè)a和b的夾角為θ，|a|cos θ＝|a| ＝＝＝. 4． (xx·遼寧)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k等于 (　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 答案　D 解析　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12. 5．

6、 (xx·陜西)設(shè)向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ等于 (　　) A. B. C．0 D．－1 答案　C 解析　利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 題型一　平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，

7、c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 思維啟迪：(1)由于∠C＝90°，因此選向量，為基底． (2)先算出8a－b，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)·＝(－)·(－) ＝－·＋＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4. 探究提高　求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．本題從不同

8、角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件． 　(xx·北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________． 答案　1　1 解析　方法一　以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則 E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因?yàn)椋?1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 方法二　由圖知，無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·

9、1＝1， 當(dāng)E運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1. 題型二　向量的夾角與向量的模 例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 思維啟迪：運(yùn)用數(shù)量積的定義和|a|＝. 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．

10、 |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝. (3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3. 探究提高　(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，它是求距離常用的公式． (2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系．在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的． (1)已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為(　　) A.

11、 B. C. D. (2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，則|a＋2b|等于 (　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)∵cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝. (2)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a＋2b|＝2. 題型三　向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用 例3　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實(shí)

12、數(shù)) 思維啟迪：(1)證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問題，數(shù)量積為零即得證． (2)由模相等，列等式、化簡． (1)證明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直． (2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)． 又k≠0，∴cos(β－α

13、)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 探究提高　(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a⊥b，則只需證明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明a·b＝0. (3)數(shù)量積的運(yùn)算中，a·b＝0?a⊥b中，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b. 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f

14、(t)． (1)證明　∵a·b＝×－1×＝0， ∴a⊥b. (2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0， 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， ∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0， ∴k＝f(t)＝ (t≠0)． 三審圖形抓特點(diǎn) 典例：(4分)如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起， 若＝x＋y，則x＝________， y＝________. 審題路線圖 圖形有一副三角板構(gòu)成 ↓(注意

15、一副三角板的特點(diǎn)) 令|AB|＝1，|AC|＝1 ↓(一副三角板的兩斜邊等長) |DE|＝|BC|＝ ↓(非等腰三角板的特點(diǎn)) |BD|＝|DE|sin 60°＝×＝ ↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°) 在上的投影即為x ↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋×＝1＋ ↓在上的投影即為y ↓y＝|BD|·sin 45°＝×＝. 解析　方法一　結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由＝x＋y知，x，y分別為在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝， ∴||＝||·sin 60°＝. ∴在上的投影 x＝1＋cos 45°＝1＋×＝1＋， 在上的投影y＝sin

16、45°＝. 方法二　∵＝x＋y，又＝＋， ∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y. 又⊥，∴·＝(x－1)2. 設(shè)||＝1，則由題意||＝||＝. 又∠BED＝60°，∴||＝.顯然與的夾角為45°. ∴由·＝(x－1)2， 得×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝＋1. 同理，在＝(x－1)＋y兩邊取數(shù)量積可得y＝. 答案　1＋　 溫馨提醒　突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由一副三角板構(gòu)成)．根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷．方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜． 方法與技巧 1． 計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾

17、何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2． 求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算． 3． 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧． 失誤與防范 1． (1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系． 2． a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 3． a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)

18、間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·遼寧)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x等于 (　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　D 解析　a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1. 2． (xx·重慶)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于 (　　) A. B. C．2 D．10 答案　B 解析　∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a

19、·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 聯(lián)立①②解得x＝－，y＝－. 4． 在△ABC中，AB＝3，A

20、C＝2，BC＝，則·等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由于·＝||·||·cos∠BAC ＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx·課標(biāo)全國)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 答案　3 解析　∵a，b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 6． (xx·浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，B

21、C＝10，則·＝________. 答案?。?6 解析　如圖所示， ＝＋， ＝＋ ＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. 7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是__________． 答案　(－∞，－6)∪ 解析　由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得： 6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a與b的夾角是45°. (1)求b； (2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c.

22、解　(1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝， ∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0， ∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5. 又c與b同向，故可設(shè)c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝， ∴c＝b＝(－1,3)． 9． (12分)設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1， ∴(2te1＋7

23、e2)·(e1＋te2) ＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. 由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7

24、. 答案　A 解析　∵·＝1，且AB＝2， ∴1＝||||cos(π－B)，∴||||cos B＝－1. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－2×(－1)． ∴|BC|＝. 2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案　A 解析　a·b為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉， ∴|a|·cos〈a，b〉＝－4. 3． (xx·

25、江西)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則等于 (　　) A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 解析　∵＝－，∴||2＝2－2·＋2. ∵＝－，∴||2＝2－2·＋2. ∴||2＋||2 ＝(2＋2)－2·(＋)＋22 ＝2－2·2＋22. 又2＝162，＝2， 代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值為10. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． (xx·安徽)設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝______

26、__. 答案　 解析　利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解． a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝. 5． (xx·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn) F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 答案　 解析　方法一　坐標(biāo)法． 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)． 故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，

27、 ∴·＝(，0)·(x,2)＝x. 又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)． ∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝. 方法二　用，表示，是關(guān)鍵． 設(shè)＝x，則＝(x－1). ·＝·(＋) ＝·(＋x)＝x2＝2x， 又∵·＝，∴2x＝， ∴x＝.∴＝＋＝＋. ∴·＝(＋)· ＝ ＝2＋2 ＝×2＋×4＝. 6． (xx·上海)在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足＝，則·的取值范圍是________． 答案　[1,4] 解析　利用基向量法，把，都用，表示，再求數(shù)量積． 如圖所示， 設(shè)＝ ＝λ(0≤λ≤1)，則＝

28、λ， ＝λ，＝－ ＝(λ－1)， ∴·＝(＋)·(＋) ＝(＋λ)·[＋(λ－1)] ＝(λ－1)·＋λ· ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ， ∴當(dāng)λ＝0時(shí)，·取得最大值4； 當(dāng)λ＝1時(shí)，·取得最小值1. ∴·∈[1,4]． 三、解答題 7． (13分)設(shè)平面上有兩個(gè)向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝. (1)求證：向量a＋b與a－b垂直； (2)當(dāng)向量a＋b與a－b的模相等時(shí)，求α的大小． (1)證明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0， 故向量a＋b與a－b垂直． (2)解　由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方得 3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|， 所以a·b＝0，即·cos α＋·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°， k∈Z， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z， 又0°≤α<360°，則α＝30°或α＝210°.