2020屆高考數學大二輪復習 下篇 指導五 回扣溯源 查缺補漏教學案

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1、 指導五 回扣溯源·查缺補漏 　　　集合、復數與常用邏輯用語 [方法結論·記熟用活] 1．集合 (1)集合的運算性質：①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB；④交集的補集等于補集的并集，即?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；并集的補集等于補集的交集，即?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． (2)子集、真子集個數計算公式： 對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．復數 (1)復數的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d. (2)共軛復數

2、：當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數． (3)運算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)． (4)復數的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 3．四種命題的關系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 4．充分條件與必要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； 若p?q，則p，q互為充要條件． 5．全(特)稱命題及其否定 (

3、1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定 p：?x0∈M，p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定 p：?x∈M，p(x)． [警示易錯·跳出陷阱] 1．遇到A∩B＝?時，注意“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時，不要忽略A＝?的情況． 2．區(qū)分命題的否定和否命題的不同，否命題是對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定． 3．“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，但A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，但B不能推出A. 4．復數z為純虛數的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋

4、bi(a，b∈R))．還要注意巧妙運用參數問題和合理消參的技巧． [習題回扣·保溫必勝] 1．設U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∩B＝ (2,3] ，A∪B＝ [1,4) ．A∪?UB＝ (－∞，3]∪[4，＋∞) ． 2．已知(1＋2i)＝4＋3i，則z＝ 2＋i ，＝ ＋i . 3．已知p：?x0∈R，x－x0＋1≤0，則p ?x∈R，x2－x＋1＞0 . 4．已知條件p：x2＋2x－3＞0，條件q：x＞a，且 p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為 [1，＋∞) ． 　　　函數圖象與性質、函數與方程 [方法

5、結論·記熟用活] 1．函數的性質 (1)單調性：單調性是函數在其定義域上的局部性質．證明函數的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論．復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則； (2)奇偶性：①若f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)＝0；③奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性； (3)周期性：①若y＝f(x)對x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數；②若y＝f(x)是偶函數，其圖象又關于直線x＝a對稱

6、，則f(x)是周期為2|a|的周期函數；③若y＝f(x)是奇函數，其圖象又關于直線x＝a對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數；④若f(x＋a)＝－f(x)，則y＝f(x)是周期為2|a|的周期函數． 2．函數與方程 (1)零點定義：x0為函數f(x)的零點?f(x0)＝0?(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點． (2)確定函數零點的三種常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0. ②零點定理法：根據連續(xù)函數y＝f(x)滿足f(a)f(b)＜0，判斷函數在區(qū)間(a，b)內存在零點． ③數形結合法：尤其是方程兩端對應的函數類型不同時多用此法求解． [警示易錯·跳出陷阱]

7、 1．解決分段函數問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍． 2．求函數單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開．單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 3．判斷函數的奇偶性，要注意定義域必須關于原點對稱，有時還要對函數式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． 4．準確理解基本初等函數的定義和性質．如函數y＝ax(a＞0，a≠1)的單調性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax＞0；對數函數y＝logax(a＞0，a≠1)容易忽視真數與底數的限制條件． 5．易混淆函數的零點和函數圖象與x軸的交點，不能把函數零點、方程的解、不等式解

8、集的端點值進行準確互化． [習題回扣·保溫必勝] 1．若函數f(x)＝x2－mx＋m＋2是偶函數，則m＝ 0 . 2．若函數f(x)＝x2＋mx－2在區(qū)間(－∞，2)上是單調減函數，則實數m的取值范圍為 (－∞，－4] ． 3．已知函數y＝loga(x＋b)的圖象如圖所示，則a＝ ；b＝ 3 . 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一個根在區(qū)間(0,1)上，另一個根在區(qū)間(1,2)上，則實數m的取值范圍是 (－4，－2) ． 　　　導數及其應用 [方法結論·記熟用活] 1．導數的幾何意義 (1)f′(x0)的幾何意義；曲線y＝f(x)在

9、點x＝x0的導數就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上． 2．利用導數研究函數的單調性 求可導函數單調區(qū)間的一般步驟：①求函數f(x)的定義域；②求導函數f′(x)；③由f′(x)＞0的解集確定函數f(x)的單調增區(qū)間，由f′(x)＜0的解集確定函數f(x)的單調減區(qū)間． 3．利用導數研究函數的極值與最值 (1)求函數的極值的一般步驟：①確定函數的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化； 若左正右

10、負，則x0為極大值點； 若左負右正，則x0為極小值點； 若不變號，則x0不是極值點． (2)求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟： ①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值； ②比較函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 4．與不等式有關的恒成立與存在性問題 (1)f(x)＞g(x)對一切x∈I恒成立?I是f(x)＞g(x)的解集的子集?[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I)． (2)存在x0∈I使f(x)＞g(x)成立?I與f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集?[f(x)－g(x)]max＞

11、0(x∈I)． (3)對?x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min. (4)對?x1∈D1，?x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min，f(x)定義域為D1，g(x)定義域為D2. 5．證明不等式問題 不等式的證明可轉化為利用導數研究函數的單調性、極值和最值，再由單調性或最值來證明不等式，其中構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵． [警示易錯·跳出陷阱] 1．曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”是不同的．前者只有一條，后者則可能有多條． 2．利用導數研究函數的單調性，首先確

12、定函數的定義域． 3．已知單調性求參數時，應明確f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增函數的充分條件．當f(x)在(a，b)上是增函數時，應有f′(x)≥0恒成立(其中滿足f′(x)＝0的x只有有限個)，否則答案不全面． 4．可導函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件． 5．求定積分時應明確定積分結果可負，但曲邊形的面積非負． [習題回扣·保溫必勝] 1．曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則a＋b＝ 2 . 2．函數f(x)＝2x3－6x2＋7的單調遞增區(qū)間是

13、 (－∞，0)，(2，＋∞) ． 3．函數f(x)＝x3－4x＋在x＝ －2 處取極大值，其值是 . 4．已知定義在R上的奇函數f(x)，其導函數為f′(x)，當x∈(0，＋∞)時，恒有xf′(x)＜f(－x)．若g(x)＝xf(x)，則滿足g(1)＜g(1－2x)的實數x的取值范圍是 (－∞，0)∪(1，＋∞) ． 　　　三角函數、解三角形 [方法結論·記熟用活] 1．“牢記”四組公式 (1)同角三角函數關系式 ①平方關系：sin2α＋cos2α＝1； ②商數關系：tan α＝. (2)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin α

14、cos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝. (3)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝； cos2α＝，sin2α＝. (4)輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 2．三種三角函數的性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調性 在(k∈Z)上單調遞增；在(k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ

15、](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減 在(k∈Z)上單調遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z) 3.三角函數的圖象變換 4．正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5．余弦定理及其推論、變形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2

16、－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. [警示易錯·跳出陷阱] 1．在求三角函數的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍． 2．求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解． 3．三角函數圖象變換中，注意由y＝sin ωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)時，平移量為，而不是φ. 4．在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足

17、“大邊對大角”，避免增解． [習題回扣·保溫必勝] 1．函數f(x)＝tan xcos x的值域是(－1,1)． 2．已知函數f(x)＝sin，為了得到函數g(x)＝cos 2x的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 解析：A　[g(x)＝sin ＝sin，∴y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．] 3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝ ； (2)若角A＝，則b＝ 2或1

18、. 　　　平面向量、算法、合情推理 [方法結論·記熟用活] 1．平面向量 (1)平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 ①a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)平面向量的三個性質 ①若a＝(x，y)，則|a|＝＝. ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則||＝. ③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . ④|a·b|≤|a|·|b|. (3)三點共線的判定 三個點A，B，C共線?，共線； 向量，，中三終點

19、A，B，C共線?存在實數α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. 2．程序框圖 程序框圖的三種基本邏輯結構 (1)順序結構：如圖(1)所示； (2)條件結構：如圖(2)和(3)所示； (3)循環(huán)結構：如圖(4)和(5)所示． 3．合情推理的思維過程 (1)歸納推理的思維過程 ―→―→ (2)類比推理的思維過程 ―→―→ [警示易錯·跳出陷阱] 1．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b. 2．a·b＞0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要不充分條件． 3．在解決含有循環(huán)結構的框圖時，要弄清停止循環(huán)的條件．注意理解循環(huán)條件中“≥”與“＞”的區(qū)別．

20、 4．解決程序框圖問題時，要注意流程線的指向與其上文字“是”“否”的對應． 5．類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應從本質上類比． [習題回扣·保溫必勝] 1. 秦九韶是我國南宋時期的數學家，他在所著的《數書九章》中提出的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3,4，則輸出v的值為(　　) A．6　　　　　　 B．25 C．100 D．400 解析：C　[輸入n＝3，x＝4，v＝1，i＝3－1＝2；v＝1×4＋2＝6；i＝2－1＝1；v＝6×4＋1＝25，i＝1－

21、1＝0；v＝25×4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序結束，輸出的v＝100.故選C.] 2．已知甲、乙、丙三人恰好都去過青島、三亞中的一個城市，三人分別給出了以下說法： 甲說：我去過三亞，乙去過三亞，丙去過青島； 乙說：我去過三亞，甲說的不完全對； 丙說：我去過青島，乙說的對． 已知甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對，則去過青島的是(　　) A．甲、乙　　　　　　　 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 解析：C　[若甲說的不對，則乙、丙說的對，即乙一定去過三亞，丙一定去過青島，甲只可能去過青島；若乙、丙說的不對，則得出與“甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對”矛盾，所以

22、去過青島的是甲、丙．] 3．已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2＝，設向量，的夾角為θ，則cos θ＝________. 解析：通解：因為2＝，所以E為BC中點．設正方形的邊長為2，則||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2， 所以cos θ＝＝＝－. 優(yōu)解： 因為2＝，所以E為BC中點． 設正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則點A(0，0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以＝(2,1)，＝(－2,2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2， 故cos θ＝＝＝－. 答案：－ 　　　數列 [方法結論·

23、記熟用活] 1．等差數列 (1)基本公式：通項公式、前n項和公式． (2)項的性質：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，am＋an＝ap＋aq，當p＝q時，am＋an＝2ap. (3)基本方法：①基本量法；②定義法證明數列{an}為等差數列，其他證明方法均為定義法的延伸；③函數方法處理等差數列的前n項和問題． 2．等比數列 (1)基本公式：通項公式、前n項和公式(公比等于1和不等于1)． (2)項的性質：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，aman＝apaq，當p＝q時，aman＝a. (3)基本方法：①基本量法；②定義法證明數列{an}為等比數列，其他證明方法均為

24、定義法的延伸． 3．數列求和的常用方法 (1)等差數列或等比數列的求和，直接利用公式求和． (2)形如{an·bn}(其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列)的數列，利用錯位相減法求和． (3)通項公式形如an＝(其中a，b1，b2，c為常數)用裂項相消法求和． (4)通項公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a為常數，n∈N*)等正負項交叉的數列求和一般用并項法．并項時應注意分n為奇數、偶數兩種情況討論． [警示易錯·跳出陷阱] 1．已知數列的前n項和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝S

25、n－Sn－1. 2．運用等比數列的前n項和公式時，易忘記分類討論．一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論． 3．利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項． 4．裂項相消法求和時，分裂前后的值要相等， 如≠－，而是＝. [習題回扣·保溫必勝] 1．已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，則數列{an}的通項公式為 an＝ . 2．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數列{an}的公比q＝ 1或－1 . 3．等差數列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，則其前n項和取最小值時n的值為(　　) A．6　　　　　

26、　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：C　[由d＞0可得等差數列{an}是遞增數列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C.] 　　　不等式 [方法結論·記熟用活] 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形

27、，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。? 2．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的條件是 3．基本不等式 (1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當且僅當a＝b時取等號． (2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件． 4．線性規(guī)劃 (1)可行域的確定，“線定界，點定域”． (2)線性目標函數的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得． (3)線性目標函數的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條

28、件的最優(yōu)解有無數多個． [警示易錯·跳出陷阱] 1．求解形如ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的一元二次不等式時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，應分a＞0，a＜0進行討論．在填空題中不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式． 2．求解線性規(guī)劃問題時應明確：“直線定界，特殊點定域”，定界時注意是否包含邊界． 3．使用基本不等式≥時應注意“一正、二定、三相等”的條件，在多次使用基本不等式求最值時，應注意取“等號”的條件是否一致． [習題回扣·保溫必勝] 1．若x，y滿足約束條件則z＝3x＋5y的最大值為17，最小值為 －11 . 2．若關于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋

29、m＝0沒有實數根，則m的取值范圍為 (－∞，－1)∪ . 3．函數f(x)＝x＋的值域是 (－∞，－2]∪[2，＋∞) ． 　　　立體幾何 [方法結論·記熟用活] 1．三視圖排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．畫三視圖的基本要求：正(主)俯一樣長，俯側(左)一樣寬，正(主)側(左)一樣高． 2．平行、垂直關系的轉化示意圖 (2)兩個結論 ①?a∥b， ②?b⊥α. 3．(理)用空間向量證明平行垂直 設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1

30、)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．則有： (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 4．(理)用向量求空間角 (1)直線l1，l2的夾角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)． (2)直線l與

31、平面α的夾角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夾角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)． [警示易錯·跳出陷阱] 1．在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． 2．不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易

32、誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件． 3．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數量關系． 4．(理)幾種角的范圍： 兩條異面直線所成的角0°＜α≤90°； 直線與平面所成的角0°≤α≤90°； 二面角0°≤α≤180°； 兩條相交直線所成的角(夾角)0°＜α≤90°； 直線的傾斜角0°≤α＜180°； 兩個向量的夾角0°≤α≤180°； 銳角0°＜α＜90°. 5．(理)空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關系

33、，如求解二面角時，不能根據幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯． [習題回扣·保溫必勝] 1．一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(左)視圖可能為(　　) 解析：D　[分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故其側(左)視圖應為D.] 2．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．若m∥α，m⊥n，則n⊥α D．若m⊥α，n?α，則m⊥n 解析：D　[ 在正方體ABC

34、DA′B′C′D′中，令底面A′B′C′D′為平面α. A．令m＝AB，n＝BC，滿足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A項錯誤； B．令m＝AA′，n＝A′B′，滿足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B項錯誤； C．令m＝AB，n＝AD，滿足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C項錯誤．D正確．] 3．三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則＝________. 解析：由題意，知VD－ABE＝VA－BDE＝V1，VP－ABC＝VA－PBC＝V2. 因為D，E分別為PB，PC中點，所以＝. 設點A到平面PBC的距離為d

35、， 則＝＝＝. 答案： 4．(理)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為2，則AC1與側面ABB1A1所成的角為________． 解析：以C為原點建立坐標系，得下列坐標：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．點C1在側面ABB1A1內的射影為點C2， 所以＝(－2,0,2)，＝， 設直線AC1與平面ABB1A1所成的角為θ，則cos θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 答案： 　　　解析幾何 [方法結論·記熟用活] 1．直線：直線的傾斜角和斜率、直線方程的四種特殊形式、直線方程的一般形式、兩直線平行關系和垂直關系的判斷、點到直

36、線的距離公式、兩平行線間的距離公式． 2．圓：圓的定義、標準方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圓的充要條件、直線與圓的位置關系(三種，距離判斷方法)、圓與圓的位置關系(距離判斷方法)． 3．圓錐曲線定義、標準方程和性質 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|定點F不在直線l上，PM⊥l于M 標準方程 ＋＝1(a＞b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0) 圖形 幾何性質 軸 長軸長2a，短軸長2b 實軸長

37、2a，虛軸長2b 離心率 e＝ ＝ (0＜e＜1) e＝＝ (e＞1) e＝1 漸近線 y＝±x 4.直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝或|P1P2|＝ . 5．拋物線y2＝2px(p＞0)，過焦點的弦AB有如下結論： (1)xA·xB＝； (2)yA·yB＝－p2； (3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. [警示易錯·跳出陷阱] 1．不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確定傾

38、斜角的范圍時出錯． 2．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為＋＝1；再如，過定點P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為y－y0＝k(x－x0)等． 3．討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0. 4．圓的標準方程中，易誤把r2當成r；圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件． 5．易誤認為兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內切的情況導致漏解． 6．利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有

39、兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． 7．已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解． [習題回扣·保溫必勝] 1．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a的值為(　　) A．4＋ B．4＋ C．4± D．4± 解析：C　[依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4

40、±.] 2．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析： B　[設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，因為AB過F1且A，B在橢圓上，如圖，則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又離心率e＝＝， 故c＝2.所以b2＝a2－c2＝8，所以橢圓C的方程為＋＝1.] 3．已知點F(－c,0)(c＞0)是雙曲線－＝1(a＞0

41、，b＞0)的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2＋y2＝c2交于點F和另一個點P，且點P在拋物線y2＝4cx上，則該雙曲線的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析： C　[本題主要考查圓錐曲線間知識的綜合應用，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數學運算． 如圖，由x2＋y2＝c2與y2＝4cx及題意可取P((－2)c,2c)，又P在過F且與漸近線平行的直線y＝(x＋c)上，所以2＝[(－2)c＋c]，又a2＋b2＝c2且e＝，所以e＝.故選C.] 4．已知離心率為e＝的雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，且O為坐標原點，以O

42、F為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若△AOF的面積為4，則a的值為________． 解析：因為e＝ ＝， 所以＝，＝＝， 設|AF|＝m，則|OA|＝2m， 所以S△AOF＝·m·2m＝4， 解得m＝2. 由勾股定理，得c＝＝2. 又＝，所以a＝4. 答案：4 　　　概率與統(tǒng)計 [方法結論·記熟用活] 1．概率的計算公式 (1)古典概型的概率計算公式 P(A)＝. (2)互斥事件的概率計算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)對立事件的概率計算公式 P()＝1－P(A)． (4)幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. 2．抽樣

43、方法 簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣． (1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個個體被抽到的概率都為； (2)分層抽樣實際上就是按比例抽樣，即按各層個體數占總體的比確定各層應抽取的樣本容量． 3．統(tǒng)計中的四個數據特征 (1)眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據． (2)中位數：樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數． (3)平均數：樣本數據的算術平均數，即 ＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差與標準差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標準差：s ＝ .

44、 4．頻率分布直方圖的三個結論 (1)小長方形的面積＝組距×＝頻率． (2)各小長方形的面積之和等于1. (3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. 5．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過樣本點的中心(，)． 6．獨立性檢驗 利用獨立性檢驗來考查兩個分類變量是否有關系，并且能較為準確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法是根據觀測數據計算，由公式K2＝所給出的檢驗隨機變量K2的觀測值k，并且k的值越大，說明“X與Y有關系”成立的可能性就越大． 7．(理)排列數、組合數的公式及性質 公式 ①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ②C＝＝＝ 性質 ①0！＝1

45、；A＝n！ ②C＝C；C＝C＋C 8.(理)二項式定理 (1)二項式定理 二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二項展開式 的通項公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項 二項式系數 二項展開式中各項的系數C(k∈{0,1,2，…，n}) (2)二項式系數的性質 ①0≤k≤n時，C與C的關系是C＝C. ②二項式系數先增后減中間項最大．當n為偶數時，第＋1項的二項式系數最大，最大值為Cn；當n為奇數時，第項和項的二項式系數最大，最大值為Cn和Cn. ③各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋

46、…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 9．(理)八組公式 (1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)數學期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)數學期望的性質 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np； ③若X服從兩點分布，則E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，標準差＝. (5)方差的性質 ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，則D(X)＝

47、np(1－p)； ③若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)． (6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)獨立重復試驗的概率計算公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k. (8)條件概率公式 P(B|A)＝. 10．(理)正態(tài)分布 如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. [警示易錯·跳出陷阱] 1．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關系：對立事件是互斥事件

48、，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 2．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導致樣本數據的頻率求錯． 3．(理)要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生． (2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 4．(理)二項式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在遇到類似問題時，要注意區(qū)分

49、．還要注意二項式系數與項的系數的區(qū)別與聯(lián)系，同時明確二項式系數最大項與展開式系數最大項的不同． 5．(理)易忘判定隨機變量是否服從二項分布，盲目使用二項分布的數學期望和方差公式計算致誤． (理)[習題回扣·保溫必勝] 1．一組數據共有7個數，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數沒記清，但知道這組數的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，這個數的所有可能值的和為(　　) A．9 B．3 C．17 D．－11 解析：A　[設這個數為x，則平均數為，眾數為2，若x≤2，則中位數為2，此時x＝－11；若2＜x＜4，則中位數為x，此時2x＝＋2，x＝3；若x≥4，

50、則中位數為4.2×4＝＋2，x＝17. 所有可能值為－11,3,17，故其和為－11＋3＋17＝9.] 2．某數學興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現從中任選2名學生去參加學校數學競賽，則 (1)參賽學生中恰好有1名男生的概率為 . (2)參賽學生中至少有1名男生的概率為 . 3．某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待的時間不多于10分鐘的概率為 . 4．天氣預報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則在這段時間內至少有一個地方

51、降雨的概率是________． 解析：事件A：甲地降雨，事件B：乙地降雨，則至少有一個地方降雨的概率為P(AB)＋P(A)＋P(B) ＝0.2×0.3＋0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3 ＝0.44. 答案：0.44 5．現要發(fā)行10 000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1 000張，10元的彩票200張，50元的彩票50張，100元的彩票50張，1 000元的彩票5張，1張彩票可能中獎金額的均值是________元． 解析：設X表示1張彩票的中獎金額，則它的分布列為 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.869 5 0.1 0.0

52、2 0.005 0.005 0.000 5 EX＝0×0.8695＋2×0.1＋10×0.02＋50×0.005＋100×0.005＋100×0.005＝1.65 答案：1.65 (文)[習題回扣·保溫必勝] 1．一組數據共有7個數，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數沒記清，但知道這組數的平均數、中位數、眾數依次成等差數列，這個數的所有可能值的和為(　　) A．9 B．3 C．17 D．－11 解析：A　[設這個數為x，則平均數為，眾數為2，若x≤2，則中位數為2，此時x＝－11；若2＜x＜4，則中位數為x，此時2x＝＋2，x＝3；若x≥4，

53、則中位數為4.2×4＝＋2，x＝17. 所有可能值為－11,3,17，故其和為－11＋3＋17＝9.] 2．某數學興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現從中任選2名學生去參加學校數學競賽，則 (1)參賽學生中恰好有1名男生的概率為. (2)參賽學生中至少有1名男生的概率為. 3．某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待的時間不多于10分鐘的概率為. 4．有人收集了10年中某城市的居民收入x億元與某種商品的銷售額y萬元的有關數據，由調查數據得到y(tǒng)對x的回歸直線方程是＝1.447x－15.843.若這座城市居民的年收入達到40億元

54、，則這種商品的銷售額估計是________萬元． 解析：當x＝40時，＝1.447×40－15.843＝42.037. 答案：42.037 5．為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表： 患病 未患病 總計 服用藥 10 45 55 沒服用藥 20 30 50 總計 30 75 105 通過計算K2說明可有________的把握認為藥物有效(P(K2≥5.024)≈0.025)． 解析：K2的觀測值k＝≈6.109 1＞5.024，所以有97.5%的把握認為藥物有效． 答案：97.5% 　　　選修4系列 [方法結論·記熟用活]

55、 1．坐標系與參數方程(選修4－4) (1) 直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)， 則 (2)圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： ①當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； ②當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos θ； ③當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ. (3)直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ

56、0)，且與極軸所成的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程： ①直線過極點：θ＝θ0和θ＝π－θ0； ②直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； ③直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. (4)幾種常見曲線的參數方程 ①直線 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數方程是其中t是參數． ②圓 以O′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是其中α是參數． 當圓心為(0,0)時，方程為其中α是參數． ③橢圓 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方程是其中φ是參數． 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數方

57、程是其中φ是參數． 2．不等式選講(選修4－5) (1)絕對值不等式 定理1：如果a，b是實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立． (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c(c＞0)?－c≤ax＋b≤c. ②|ax＋b|≥c(c＞0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用絕對值不等式幾

58、何意義求解，體現數形結合思想． ②利用“零點分段法”求解，體現分類討論思想． ③通過構建函數，利用函數圖象求解，體現函數與方程思想． (4)證明不等式的基本方法 ①比較法；②綜合法；③分析法；④反證法；⑤放縮法． (5)二維形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，等號成立． [警示易錯·跳出陷阱] 1．將曲線的參數方程化為普通方程主要消去參數，簡稱為“消參”．把參數方程化為普通方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數方程與普通方程的等價性． 2．“零點分

59、段法”是解絕對值不等式的最基本方法，一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數式等于零，求出相應的根；(2)把這些根按由小到大進行排序，n個根把數軸分為n＋1個區(qū)間；(3)在各個區(qū)間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集． [習題回扣·保溫必勝] 1．(選修4－4)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a＞0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. ①說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； ②曲線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan

60、α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解析：①消去參數t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. ②曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，或a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上． 所以a＝1. 2．(

61、選修4－5)設函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|. ①若a＝－1，解不等式f(x)≥3； ②如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍． 解析：①當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3. (ⅰ)當x≤－1時，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式組的解集為. (ⅱ)當－1＜x≤1時，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，不等式組的解集為?. (ⅲ)當x＞1時，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，不等式組的解集為. 綜上得f(x)≥3的解集為∪. ②若a＝1，則f(x)＝2|x－1|不滿足題設條件． 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值為1－a. 由題意有1－a≥2，即a≤－1. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3. 綜上可知，a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞)． - 28 -