2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)五 回扣溯源 查缺補(bǔ)漏教學(xué)案

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1、 指導(dǎo)五 回扣溯源·查缺補(bǔ)漏 　　　集合、復(fù)數(shù)與常用邏輯用語 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．集合 (1)集合的運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB；④交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． (2)子集、真子集個數(shù)計(jì)算公式： 對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．復(fù)數(shù) (1)復(fù)數(shù)的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d. (2)共軛復(fù)數(shù)

2、：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)． (3)運(yùn)算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)． (4)復(fù)數(shù)的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 3．四種命題的關(guān)系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 4．充分條件與必要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； 若p?q，則p，q互為充要條件． 5．全(特)稱命題及其否定 (

3、1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定 p：?x0∈M，p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定 p：?x∈M，p(x)． [警示易錯·跳出陷阱] 1．遇到A∩B＝?時(shí)，注意“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應(yīng)用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時(shí)，不要忽略A＝?的情況． 2．區(qū)分命題的否定和否命題的不同，否命題是對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定． 3．“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，但A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，但B不能推出A. 4．復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋

4、bi(a，b∈R))．還要注意巧妙運(yùn)用參數(shù)問題和合理消參的技巧． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．設(shè)U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∩B＝ (2,3] ，A∪B＝ [1,4) ．A∪?UB＝ (－∞，3]∪[4，＋∞) ． 2．已知(1＋2i)＝4＋3i，則z＝ 2＋i ，＝ ＋i . 3．已知p：?x0∈R，x－x0＋1≤0，則p ?x∈R，x2－x＋1＞0 . 4．已知條件p：x2＋2x－3＞0，條件q：x＞a，且 p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為 [1，＋∞) ． 　　　函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程 [方法

5、結(jié)論·記熟用活] 1．函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則； (2)奇偶性：①若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)＝0；③奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性； (3)周期性：①若y＝f(x)對x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；②若y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x＝a對稱

6、，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)；③若y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x＝a對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù)；④若f(x＋a)＝－f(x)，則y＝f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)． 2．函數(shù)與方程 (1)零點(diǎn)定義：x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)?f(x0)＝0?(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)． (2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0. ②零點(diǎn)定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)＜0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)． ③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多用此法求解． [警示易錯·跳出陷阱]

7、 1．解決分段函數(shù)問題時(shí)，要注意與解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍． 2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 3．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時(shí)還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． 4．準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的單調(diào)性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax＞0；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件． 5．易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解

8、集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．若函數(shù)f(x)＝x2－mx＋m＋2是偶函數(shù)，則m＝ 0 . 2．若函數(shù)f(x)＝x2＋mx－2在區(qū)間(－∞，2)上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (－∞，－4] ． 3．已知函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象如圖所示，則a＝ ；b＝ 3 . 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一個根在區(qū)間(0,1)上，另一個根在區(qū)間(1,2)上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (－4，－2) ． 　　　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)f′(x0)的幾何意義；曲線y＝f(x)在

9、點(diǎn)x＝x0的導(dǎo)數(shù)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上． 2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)＞0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)＜0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間． 3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 (1)求函數(shù)的極值的一般步驟：①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號變化； 若左正右

10、負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)； 若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)； 若不變號，則x0不是極值點(diǎn)． (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟： ①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； ②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 4．與不等式有關(guān)的恒成立與存在性問題 (1)f(x)＞g(x)對一切x∈I恒成立?I是f(x)＞g(x)的解集的子集?[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I)． (2)存在x0∈I使f(x)＞g(x)成立?I與f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集?[f(x)－g(x)]max＞

11、0(x∈I)． (3)對?x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min. (4)對?x1∈D1，?x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min，f(x)定義域?yàn)镈1，g(x)定義域?yàn)镈2. 5．證明不等式問題 不等式的證明可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再由單調(diào)性或最值來證明不等式，其中構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵． [警示易錯·跳出陷阱] 1．曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0，y0)的切線”是不同的．前者只有一條，后者則可能有多條． 2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，首先確

12、定函數(shù)的定義域． 3．已知單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，應(yīng)明確f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增函數(shù)的充分條件．當(dāng)f(x)在(a，b)上是增函數(shù)時(shí)，應(yīng)有f′(x)≥0恒成立(其中滿足f′(x)＝0的x只有有限個)，否則答案不全面． 4．可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件． 5．求定積分時(shí)應(yīng)明確定積分結(jié)果可負(fù)，但曲邊形的面積非負(fù)． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則a＋b＝ 2 . 2．函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋7的單調(diào)遞增區(qū)間是

13、 (－∞，0)，(2，＋∞) ． 3．函數(shù)f(x)＝x3－4x＋在x＝ －2 處取極大值，其值是 . 4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，恒有xf′(x)＜f(－x)．若g(x)＝xf(x)，則滿足g(1)＜g(1－2x)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是 (－∞，0)∪(1，＋∞) ． 　　　三角函數(shù)、解三角形 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．“牢記”四組公式 (1)同角三角函數(shù)關(guān)系式 ①平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1； ②商數(shù)關(guān)系：tan α＝. (2)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin α

14、cos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝. (3)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝； cos2α＝，sin2α＝. (4)輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 2．三種三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在(k∈Z)上單調(diào)遞增；在(k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ

15、](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z) 3.三角函數(shù)的圖象變換 4．正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5．余弦定理及其推論、變形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2

16、－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. [警示易錯·跳出陷阱] 1．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略x的取值范圍． 2．求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號，當(dāng)ω＜0時(shí)，需把ω的符號化為正值后求解． 3．三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sin ωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)時(shí)，平移量為，而不是φ. 4．在已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足

17、“大邊對大角”，避免增解． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．函數(shù)f(x)＝tan xcos x的值域是(－1,1)． 2．已知函數(shù)f(x)＝sin，為了得到函數(shù)g(x)＝cos 2x的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 解析：A　[g(x)＝sin ＝sin，∴y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．] 3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝ ； (2)若角A＝，則b＝ 2或1

18、. 　　　平面向量、算法、合情推理 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．平面向量 (1)平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 ①a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. ②a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)平面向量的三個性質(zhì) ①若a＝(x，y)，則|a|＝＝. ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則||＝. ③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . ④|a·b|≤|a|·|b|. (3)三點(diǎn)共線的判定 三個點(diǎn)A，B，C共線?，共線； 向量，，中三終點(diǎn)

19、A，B，C共線?存在實(shí)數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. 2．程序框圖 程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu) (1)順序結(jié)構(gòu)：如圖(1)所示； (2)條件結(jié)構(gòu)：如圖(2)和(3)所示； (3)循環(huán)結(jié)構(gòu)：如圖(4)和(5)所示． 3．合情推理的思維過程 (1)歸納推理的思維過程 ―→―→ (2)類比推理的思維過程 ―→―→ [警示易錯·跳出陷阱] 1．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 2．a(chǎn)·b＞0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要不充分條件． 3．在解決含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖時(shí)，要弄清停止循環(huán)的條件．注意理解循環(huán)條件中“≥”與“＞”的區(qū)別．

20、 4．解決程序框圖問題時(shí)，要注意流程線的指向與其上文字“是”“否”的對應(yīng)． 5．類比推理易盲目機(jī)械類比，不要被表面的假象(某一點(diǎn)表面相似)迷惑，應(yīng)從本質(zhì)上類比． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1. 秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3,4，則輸出v的值為(　　) A．6　　　　　　 B．25 C．100 D．400 解析：C　[輸入n＝3，x＝4，v＝1，i＝3－1＝2；v＝1×4＋2＝6；i＝2－1＝1；v＝6×4＋1＝25，i＝1－

21、1＝0；v＝25×4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序結(jié)束，輸出的v＝100.故選C.] 2．已知甲、乙、丙三人恰好都去過青島、三亞中的一個城市，三人分別給出了以下說法： 甲說：我去過三亞，乙去過三亞，丙去過青島； 乙說：我去過三亞，甲說的不完全對； 丙說：我去過青島，乙說的對． 已知甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對，則去過青島的是(　　) A．甲、乙　　　　　　　 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 解析：C　[若甲說的不對，則乙、丙說的對，即乙一定去過三亞，丙一定去過青島，甲只可能去過青島；若乙、丙說的不對，則得出與“甲、乙、丙三人中恰好有一人說的不對”矛盾，所以

22、去過青島的是甲、丙．] 3．已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足2＝，設(shè)向量，的夾角為θ，則cos θ＝________. 解析：通解：因?yàn)?＝，所以E為BC中點(diǎn)．設(shè)正方形的邊長為2，則||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2， 所以cos θ＝＝＝－. 優(yōu)解： 因?yàn)?＝，所以E為BC中點(diǎn)． 設(shè)正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則點(diǎn)A(0，0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以＝(2,1)，＝(－2,2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2， 故cos θ＝＝＝－. 答案：－ 　　　數(shù)列 [方法結(jié)論·

23、記熟用活] 1．等差數(shù)列 (1)基本公式：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式． (2)項(xiàng)的性質(zhì)：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時(shí)，am＋an＝ap＋aq，當(dāng)p＝q時(shí)，am＋an＝2ap. (3)基本方法：①基本量法；②定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其他證明方法均為定義法的延伸；③函數(shù)方法處理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問題． 2．等比數(shù)列 (1)基本公式：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式(公比等于1和不等于1)． (2)項(xiàng)的性質(zhì)：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時(shí)，aman＝apaq，當(dāng)p＝q時(shí)，aman＝a. (3)基本方法：①基本量法；②定義法證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其他證明方法均為

24、定義法的延伸． 3．?dāng)?shù)列求和的常用方法 (1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和． (2)形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯位相減法求和． (3)通項(xiàng)公式形如an＝(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項(xiàng)相消法求和． (4)通項(xiàng)公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a為常數(shù)，n∈N*)等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)列求和一般用并項(xiàng)法．并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論． [警示易錯·跳出陷阱] 1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝S

25、n－Sn－1. 2．運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，易忘記分類討論．一定分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論． 3．利用錯位相減法求和時(shí)，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)． 4．裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，分裂前后的值要相等， 如≠－，而是＝. [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝ . 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列{an}的公比q＝ 1或－1 . 3．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為(　　) A．6　　　　　

26、　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：C　[由d＞0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C.] 　　　不等式 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形

27、，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。? 2．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的條件是 3．基本不等式 (1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號． (2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件． 4．線性規(guī)劃 (1)可行域的確定，“線定界，點(diǎn)定域”． (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得． (3)線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時(shí)滿足條

28、件的最優(yōu)解有無數(shù)多個． [警示易錯·跳出陷阱] 1．求解形如ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的一元二次不等式時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，應(yīng)分a＞0，a＜0進(jìn)行討論．在填空題中不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式． 2．求解線性規(guī)劃問題時(shí)應(yīng)明確：“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，定界時(shí)注意是否包含邊界． 3．使用基本不等式≥時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”的條件，在多次使用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意取“等號”的條件是否一致． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．若x，y滿足約束條件則z＝3x＋5y的最大值為17，最小值為 －11 . 2．若關(guān)于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋

29、m＝0沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為 (－∞，－1)∪ . 3．函數(shù)f(x)＝x＋的值域是 (－∞，－2]∪[2，＋∞) ． 　　　立體幾何 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．三視圖排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度和正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．畫三視圖的基本要求：正(主)俯一樣長，俯側(cè)(左)一樣寬，正(主)側(cè)(左)一樣高． 2．平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 (2)兩個結(jié)論 ①?a∥b， ②?b⊥α. 3．(理)用空間向量證明平行垂直 設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1

30、)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．則有： (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 4．(理)用向量求空間角 (1)直線l1，l2的夾角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)． (2)直線l與

31、平面α的夾角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夾角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)． [警示易錯·跳出陷阱] 1．在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般是以正(主)視圖和俯視圖為主． 2．不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易

32、誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件． 3．注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系． 4．(理)幾種角的范圍： 兩條異面直線所成的角0°＜α≤90°； 直線與平面所成的角0°≤α≤90°； 二面角0°≤α≤180°； 兩條相交直線所成的角(夾角)0°＜α≤90°； 直線的傾斜角0°≤α＜180°； 兩個向量的夾角0°≤α≤180°； 銳角0°＜α＜90°. 5．(理)空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系

33、，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為(　　) 解析：D　[分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故其側(cè)(左)視圖應(yīng)為D.] 2．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．若m∥α，m⊥n，則n⊥α D．若m⊥α，n?α，則m⊥n 解析：D　[ 在正方體ABC

34、DA′B′C′D′中，令底面A′B′C′D′為平面α. A．令m＝AB，n＝BC，滿足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A項(xiàng)錯誤； B．令m＝AA′，n＝A′B′，滿足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B項(xiàng)錯誤； C．令m＝AB，n＝AD，滿足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C項(xiàng)錯誤．D正確．] 3．三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則＝________. 解析：由題意，知VD－ABE＝VA－BDE＝V1，VP－ABC＝VA－PBC＝V2. 因?yàn)镈，E分別為PB，PC中點(diǎn)，所以＝. 設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d

35、， 則＝＝＝. 答案： 4．(理)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為________． 解析：以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．點(diǎn)C1在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影為點(diǎn)C2， 所以＝(－2,0,2)，＝， 設(shè)直線AC1與平面ABB1A1所成的角為θ，則cos θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 答案： 　　　解析幾何 [方法結(jié)論·記熟用活] 1．直線：直線的傾斜角和斜率、直線方程的四種特殊形式、直線方程的一般形式、兩直線平行關(guān)系和垂直關(guān)系的判斷、點(diǎn)到直

36、線的距離公式、兩平行線間的距離公式． 2．圓：圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圓的充要條件、直線與圓的位置關(guān)系(三種，距離判斷方法)、圓與圓的位置關(guān)系(距離判斷方法)． 3．圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|定點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0) 圖形 幾何性質(zhì) 軸 長軸長2a，短軸長2b 實(shí)軸長

37、2a，虛軸長2b 離心率 e＝ ＝ (0＜e＜1) e＝＝ (e＞1) e＝1 漸近線 y＝±x 4.直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝或|P1P2|＝ . 5．拋物線y2＝2px(p＞0)，過焦點(diǎn)的弦AB有如下結(jié)論： (1)xA·xB＝； (2)yA·yB＝－p2； (3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. [警示易錯·跳出陷阱] 1．不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾

38、斜角的范圍時(shí)出錯． 2．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等． 3．討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時(shí)，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0. 4．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，易誤把r2當(dāng)成r；圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件． 5．易誤認(rèn)為兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解． 6．利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有

39、兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． 7．已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．4＋ B．4＋ C．4± D．4± 解析：C　[依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4

40、±.] 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析： B　[設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，因?yàn)锳B過F1且A，B在橢圓上，如圖，則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又離心率e＝＝， 故c＝2.所以b2＝a2－c2＝8，所以橢圓C的方程為＋＝1.] 3．已知點(diǎn)F(－c,0)(c＞0)是雙曲線－＝1(a＞0

41、，b＞0)的左焦點(diǎn)，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2＋y2＝c2交于點(diǎn)F和另一個點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y2＝4cx上，則該雙曲線的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析： C　[本題主要考查圓錐曲線間知識的綜合應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 如圖，由x2＋y2＝c2與y2＝4cx及題意可取P((－2)c,2c)，又P在過F且與漸近線平行的直線y＝(x＋c)上，所以2＝[(－2)c＋c]，又a2＋b2＝c2且e＝，所以e＝.故選C.] 4．已知離心率為e＝的雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)

42、F為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，若△AOF的面積為4，則a的值為________． 解析：因?yàn)閑＝ ＝， 所以＝，＝＝， 設(shè)|AF|＝m，則|OA|＝2m， 所以S△AOF＝·m·2m＝4， 解得m＝2. 由勾股定理，得c＝＝2. 又＝，所以a＝4. 答案：4 　　　概率與統(tǒng)計(jì) [方法結(jié)論·記熟用活] 1．概率的計(jì)算公式 (1)古典概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝. (2)互斥事件的概率計(jì)算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)對立事件的概率計(jì)算公式 P()＝1－P(A)． (4)幾何概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝. 2．抽樣

43、方法 簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣． (1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個個體被抽到的概率都為； (2)分層抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣，即按各層個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量． 3．統(tǒng)計(jì)中的四個數(shù)據(jù)特征 (1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 ＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標(biāo)準(zhǔn)差：s ＝ .

44、 4．頻率分布直方圖的三個結(jié)論 (1)小長方形的面積＝組距×＝頻率． (2)各小長方形的面積之和等于1. (3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. 5．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過樣本點(diǎn)的中心(，)． 6．獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可靠程度，具體的做法是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算，由公式K2＝所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的觀測值k，并且k的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性就越大． 7．(理)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 ①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ②C＝＝＝ 性質(zhì) ①0?。?

45、；A＝n！ ②C＝C；C＝C＋C 8.(理)二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二項(xiàng)展開式 的通項(xiàng)公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項(xiàng) 二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C(k∈{0,1,2，…，n}) (2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①0≤k≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是C＝C. ②二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn和Cn. ③各二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋

46、…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 9．(理)八組公式 (1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì) ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)數(shù)學(xué)期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np； ③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差＝. (5)方差的性質(zhì) ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，則D(X)＝

47、np(1－p)； ③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)． (6)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k. (8)條件概率公式 P(B|A)＝. 10．(理)正態(tài)分布 如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. [警示易錯·跳出陷阱] 1．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件

48、，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 2．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯． 3．(理)要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生． (2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 4．(理)二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分

49、．還要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)明確二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)的不同． 5．(理)易忘判定隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，盲目使用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式計(jì)算致誤． (理)[習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個數(shù)的所有可能值的和為(　　) A．9 B．3 C．17 D．－11 解析：A　[設(shè)這個數(shù)為x，則平均數(shù)為，眾數(shù)為2，若x≤2，則中位數(shù)為2，此時(shí)x＝－11；若2＜x＜4，則中位數(shù)為x，此時(shí)2x＝＋2，x＝3；若x≥4，

50、則中位數(shù)為4.2×4＝＋2，x＝17. 所有可能值為－11,3,17，故其和為－11＋3＋17＝9.] 2．某數(shù)學(xué)興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加學(xué)校數(shù)學(xué)競賽，則 (1)參賽學(xué)生中恰好有1名男生的概率為 . (2)參賽學(xué)生中至少有1名男生的概率為 . 3．某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率為 . 4．天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)至少有一個地方

51、降雨的概率是________． 解析：事件A：甲地降雨，事件B：乙地降雨，則至少有一個地方降雨的概率為P(AB)＋P(A)＋P(B) ＝0.2×0.3＋0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3 ＝0.44. 答案：0.44 5．現(xiàn)要發(fā)行10 000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1 000張，10元的彩票200張，50元的彩票50張，100元的彩票50張，1 000元的彩票5張，1張彩票可能中獎金額的均值是________元． 解析：設(shè)X表示1張彩票的中獎金額，則它的分布列為 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.869 5 0.1 0.0

52、2 0.005 0.005 0.000 5 EX＝0×0.8695＋2×0.1＋10×0.02＋50×0.005＋100×0.005＋100×0.005＝1.65 答案：1.65 (文)[習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個數(shù)的所有可能值的和為(　　) A．9 B．3 C．17 D．－11 解析：A　[設(shè)這個數(shù)為x，則平均數(shù)為，眾數(shù)為2，若x≤2，則中位數(shù)為2，此時(shí)x＝－11；若2＜x＜4，則中位數(shù)為x，此時(shí)2x＝＋2，x＝3；若x≥4，

53、則中位數(shù)為4.2×4＝＋2，x＝17. 所有可能值為－11,3,17，故其和為－11＋3＋17＝9.] 2．某數(shù)學(xué)興趣小組有男生3名，記為a1，a2，a3；有女生2名，記為b1，b2，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加學(xué)校數(shù)學(xué)競賽，則 (1)參賽學(xué)生中恰好有1名男生的概率為. (2)參賽學(xué)生中至少有1名男生的概率為. 3．某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率為. 4．有人收集了10年中某城市的居民收入x億元與某種商品的銷售額y萬元的有關(guān)數(shù)據(jù)，由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程是＝1.447x－15.843.若這座城市居民的年收入達(dá)到40億元

54、，則這種商品的銷售額估計(jì)是________萬元． 解析：當(dāng)x＝40時(shí)，＝1.447×40－15.843＝42.037. 答案：42.037 5．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表： 患病 未患病 總計(jì) 服用藥 10 45 55 沒服用藥 20 30 50 總計(jì) 30 75 105 通過計(jì)算K2說明可有________的把握認(rèn)為藥物有效(P(K2≥5.024)≈0.025)． 解析：K2的觀測值k＝≈6.109 1＞5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效． 答案：97.5% 　　　選修4系列 [方法結(jié)論·記熟用活]

55、 1．坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修4－4) (1) 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)， 則 (2)圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： ①當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； ②當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos θ； ③當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ. (3)直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ

56、0)，且與極軸所成的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： ①直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π－θ0； ②直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； ③直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. (4)幾種常見曲線的參數(shù)方程 ①直線 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)． ②圓 以O(shè)′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù)． 當(dāng)圓心為(0,0)時(shí)，方程為其中α是參數(shù)． ③橢圓 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù)． 橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方

57、程是其中φ是參數(shù)． 2．不等式選講(選修4－5) (1)絕對值不等式 定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號成立． (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|(zhì)ax＋b|≤c(c＞0)?－c≤ax＋b≤c. ②|ax＋b|≥c(c＞0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用絕對值不等式幾

58、何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想． ②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想． ③通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想． (4)證明不等式的基本方法 ①比較法；②綜合法；③分析法；④反證法；⑤放縮法． (5)二維形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號成立． [警示易錯·跳出陷阱] 1．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程主要消去參數(shù)，簡稱為“消參”．把參數(shù)方程化為普通方程后，很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性． 2．“零點(diǎn)分

59、段法”是解絕對值不等式的最基本方法，一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數(shù)式等于零，求出相應(yīng)的根；(2)把這些根按由小到大進(jìn)行排序，n個根把數(shù)軸分為n＋1個區(qū)間；(3)在各個區(qū)間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集；(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集． [習(xí)題回扣·保溫必勝] 1．(選修4－4)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. ①說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； ②曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan

60、α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. 解析：①消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. ②曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，或a＝1. a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上． 所以a＝1. 2．(

61、選修4－5)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|. ①若a＝－1，解不等式f(x)≥3； ②如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍． 解析：①當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3. (ⅰ)當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式組的解集為. (ⅱ)當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，不等式組的解集為?. (ⅲ)當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，不等式組的解集為. 綜上得f(x)≥3的解集為∪. ②若a＝1，則f(x)＝2|x－1|不滿足題設(shè)條件． 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值為1－a. 由題意有1－a≥2，即a≤－1. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3. 綜上可知，a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞)． - 28 -