2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.8函數(shù)與方程教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查函數(shù)零點的個數(shù)和取值范圍；2.利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍；3.利用二分法求方程近似解；4.與實際問題相聯(lián)系，考查數(shù)學應用能力． 復習備考要這樣做　1.準確理解函數(shù)零點與方程的根，函數(shù)圖象與x軸交點之間的關(guān)系，能根據(jù)零點存在性定理和二分法求方程近似解；2.會利用函數(shù)值域求解“a＝f(x)有解”型問題；3.利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)問題． 1． 函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的

2、零點． (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是f(x)＝0的根． 2． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0)， (x2,

3、0) (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 兩個 一個 無 3. 二分法 (1)定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． (2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點c；③計算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； (ⅱ)若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))； (

4、ⅲ)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))． ④判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復②③④. [難點正本　疑點清源] (1)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)＝0的根； (2)函數(shù)零點的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件，而不是必要條件． (3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 1． 若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個

5、零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是_______． 答案?。?，－ 解析　由，得. ∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點為－，－. 2． 已知函數(shù)f(x)＝ln x－x＋2有一個零點所在的區(qū)間為(k，k＋1) (k∈N*)，則k的值為 ________． 答案　3 解析　由題意知，f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以該函數(shù)的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi)， 所以k＝3. 3． (xx·湖北)函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為 (　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　

6、D．7 答案　C 解析　當x＝0時，f(x)＝0.又因為x∈[0,4]， 所以0≤x2≤16. 因為5π<16<， 所以函數(shù)y＝cos x2在x2取，，，，時為0， 此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為6. 4． (xx·課標全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為 (　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 答案　C 解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.

7、 ∴f(x)在其定義域上是嚴格單調(diào)遞增函數(shù)． ∵f(－)＝e－－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0， f()＝e－2<0，f()＝e－1>0， ∴f()·f()<0. 題型一　函數(shù)零點的判斷 例1　判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 思維啟迪：第(1)問利用零點的存在性定理或直接求出零點，第(2)問利用零點的存在性定理或利用兩圖象的交點來求解． 解　(1)方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0，

8、∴f(1)·f(8)<0， 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點． 方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]． ∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零點． (2)方法一　∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0， f(3)＝log25－3

9、≤x≤3時，兩圖象有一個交點， 因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零點． 探究提高　求解函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是用定理，二是解方程， 三是用圖象．值得說明的是，零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件． 函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是 (　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 答案　B 解析　∵f′(x)＝2xln 2＋3>0， ∴f(

10、x)＝2x＋3x在R上是增函數(shù)． 而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0， f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0， ∴f(－1)·f(0)<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上有零點． 題型二　函數(shù)零點個數(shù)的判斷 例2　若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是________． 思維啟迪：函數(shù)零點的個數(shù)?方程解的個數(shù)?函數(shù)y＝f(x)與y＝log3|x|交點的個數(shù)． 答案　4 解析　由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)．

11、 在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下： 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點， 即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個零點． 探究提高　對函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)結(jié)合零點存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、 對稱性確定函數(shù)零點個數(shù)；(2)利用函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程根的個數(shù)或函數(shù)零點個 數(shù)． (xx·天津)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因為f′(x)＝2xln 2＋3x

12、2>0， 所以函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上遞增， 且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1個零點． 題型三　二次函數(shù)的零點問題 例3　已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍； (2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍． 思維啟迪：設(shè)出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制． 解　(1)由條件，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，如圖(1)所

13、示，得 ? 即－

14、)由已知條件解得a>2. (2)由已知條件解得22. (4)由已知條件f(1)f(3)<0，解得

15、可以通過 構(gòu)造相應的函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的存在性問題求解，也可直接通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn) 化為函數(shù)的值域問題求解． 解　方法一　(換元法) 設(shè)t＝2x (t>0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有實根，即方程(*)有正根． 令f(t)＝t2＋at＋a＋1. ①若方程(*)有兩個正實根t1，t2， 則解得－1

16、＝－，設(shè)t＝2x (t>0)， 則a＝－＝－ ＝2－，其中t＋1>1， 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，當且僅當t＝－1時取等號，故a≤2－2. 探究提高　對于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決． (xx·天津)已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(0,1)∪(1,4) 解析　 根據(jù)絕對值的意義， y＝ ＝ 在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實線所示． 根據(jù)圖象可知，當0

17、的應用 典例：(12分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)． (1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． 審題視角　(1)y＝g(x)－m有零點即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點，所以可以結(jié)合圖象求 解．(2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根?y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個不同交點，所以可 利用它們的圖象求解． 規(guī)范解答 解　(1)方法一　∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號成立的條件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，[3分] 因而只需m≥

18、2e，則y＝g(x)－m就有零點．[6分] 方法二　作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[3分] 可知若使y＝g(x)－m有零點，則只需m≥2e.[6分] (2) 若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點， 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖．[8分] ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下， 最大值為m－1＋e2.[10分] 故當m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩 個相異實根

19、． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[12分] 溫馨提醒　(1)求函數(shù)零點的值，判斷函數(shù)零點的范圍及零點的個數(shù)以及已知函數(shù)零點求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當方程不易甚至不可能解出時，可構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解． (2)本題的易錯點是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯．要注意函數(shù)最值的求法． 方法與技巧 1． 函數(shù)零點的判定常用的方法有 (1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0. 2． 研究方程f(x)＝g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點． 3． 二分法是求方程的根的近似值的一種

20、計算方法．其實質(zhì)是通過不斷地“取中點”來逐步 縮小零點所在的范圍，當達到一定的精確度要求時，所得區(qū)間的任一點就是這個函數(shù)零 點的近似值． 4． 轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求 參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題． 失誤與防范 1． 函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的 橫坐標． 2． 函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不必要；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函 數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象. (時間：60分鐘) A組　專項基礎(chǔ)訓練 一、選擇題(每小題5分，共20分

21、) 1． 方程|x2－2x|＝a2＋1 (a>0)的解的個數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的 圖象總有兩個交點． ∴方程有兩解． 點評　y＝|x2－2x|的圖象畫不準確致誤． 2． (xx·福建)若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是

22、 (　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2. 3． 函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為 (　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案

23、　B 解析　當x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；當x>0時，由f(x) ＝－2＋ln x＝0， 得x＝e2，所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2，故選B. 4． 已知三個函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則 (　　) A．a(chǎn)0， 且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．

24、 故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)． ∵g(2)＝0，故g(x)的零點b＝2； h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0， 故h(x)的零點c∈，因此a0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x，則在R上，函數(shù)f(x) 零點的個數(shù)為________． 答案　3 解析　函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝2 014x＋log2 014x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根 據(jù)對稱性可知函數(shù)

25、在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3. 6． (xx·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1， x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________． 答案　x11，所以x1

26、(x)＝ 則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點為____________． 答案　1＋或1 解析　即求f(x)＝x的根， ∴或 解得x＝1＋或x＝1. ∴g(x)的零點為x＝1＋或x＝1. 三、解答題(共25分) 8． (12分)判斷函數(shù)f(x)＝4x＋x2－x3在區(qū)間[－1,1]上零點的個數(shù)，并說明理由． 解　因為f(－1)＝－4＋1＋＝－<0，f(1)＝4＋1－＝>0，所以f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－22，當－1≤x≤1時，0≤f′(x)≤，所以f(x) 在[－1,1]上單調(diào)遞增． 所以f(x)在[－1,1]上有且只有一個零點．

27、 9． (13分)已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．解　∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根． 設(shè)2x＝t (t>0)，則t2＋mt＋1＝0. 當Δ＝0，即m2－4＝0， ∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合題意． 當Δ>0，即m>2或m<－2時， t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根， 即f(x)有兩個零點或沒有零點． ∴這種情況不符合題意． 綜上可知，m＝－2時，f(x)有唯一零點，該零點為x＝0. B組　專項能力提

28、升 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x3. 又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點個數(shù)為 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時，f(x)＝x3， 則當－1≤x≤0時，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|， 所以當x＝0時，f(x)＝g(x)．

29、 當x≠0時，若0

30、和y＝cos x的圖象，如圖，由于x>1時，y＝ >1，y＝cos x≤1，所以兩圖象只有一個交點，即方程－cos x＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)只有一個零點，所以選B. 3． (xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0

31、 D．不小于零 答案　A 解析　在同一坐標系中作出y＝log2x和y＝x的圖象，由圖象知f(x1)<0. 二、填空題(每小題4分，共12分) 4． 用二分法求方程x2＝2的正實根的近似解(精確度0.001)時，如果我們選取初始區(qū)間 [1.4,1.5]，則要達到精確度要求至少需要計算的次數(shù)是________． 答案　7 解析　設(shè)至少需要計算n次，由題意知<0.001，即2n>100，由26＝64,27＝128 知n＝7. 5． 已知函數(shù)y＝f(x) (x∈R)滿足f(－x＋2)＝f(－x)，當x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，則y＝f(x)

32、與y＝log7x的交點的個數(shù)為________． 答案　6 解析　因為f(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)為周期函數(shù)，其周期為2. 在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝log7x的圖象如圖， 當x＝7時，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)與y＝log7x共有6個交點． 6． (xx·海淀調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點， 則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　畫出f(x)＝ 的圖象，如圖． 由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，結(jié)合圖象得：0

33、解答題(13分) 7． (1)m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.①有且僅有一個零點；②有兩個零點且均比－1 大； (2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)①函數(shù)f(x)有且僅有一個零點?方程f(x)＝0有兩個相等實根?Δ＝0，即4m2－ 4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1. ②設(shè)f(x)的兩個零點分別為x1，x2， 則x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4. 由題意，有? ? ∴－5