2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法（Ⅰ）證明平行與垂直教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法（Ⅰ）證明平行與垂直教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.利用線線、線面、面面關(guān)系考查空間向量的運(yùn)算；2.能用向量方法證明線面的平行或垂直；3.考查用向量方法解決立體幾何中的一些探索性問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系；3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；4.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用． 1． 用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置 (1)給定一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，

2、以A為起點(diǎn)作向量＝ta，則此向量方程叫做直線l的參數(shù)方程．向量a稱為該直線的方向向量． (2)對空間任一確定的點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)t，滿足等式＝(1－t)＋t，叫做空間直線的向量參數(shù)方程． 2． 用向量證明空間中的平行關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. (2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u. (4)設(shè)平面α和β的法向量分別

3、為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2. 3． 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u. (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 利用空間向量解決立體幾何中的平行問題 (1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量，但要注意說明這兩條直線不共線． (2)證明線面平行的方法 ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，但要說明直線不在平面內(nèi)． ②證明能

4、夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量 共線，也要說明直線不在平面內(nèi)． ③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．同時(shí)要注意強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)． 1． 兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是__________． 答案　平行 解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2. 2． 已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為______________． 答案　，－，4 解

5、析　由題意知，⊥，⊥. 所以 即 解得，x＝，y＝－，z＝4. 3． 已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列結(jié)論正確的是 (　　) A．a(chǎn)∥c，b∥c B．a(chǎn)∥b，a⊥c C．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對 答案　C 解析　∵c＝2a，∴a∥c， 又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝－4＋0＋4＝0， ∴a⊥b. 4． 若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是 (　　) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．

6、n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 答案　A 解析　兩個(gè)平面垂直時(shí)其法向量也垂直，只有選項(xiàng)A中的兩個(gè)向量垂直． 5． 若平面α、β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則 (　　) A．α∥β B．α⊥β C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確 答案　C 題型一　利用空間向量證明平行問題 例1　如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、 B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD. 思維啟迪：證明線面平行，可以利用判定定理先證線線平

7、行；也可以尋找平面的法向量． 證明　方法一　如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1， 則M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是＝， 設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 則n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n，又MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 方法二　＝－＝－ ＝(－)＝， ∴∥，又∵M(jìn)N與DA1不共線，∴MN∥DA1， 又∵M(jìn)N?平面A1BD，A1D

8、?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 探究提高　用向量證明線面平行的方法有 (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示； (4)本題易錯(cuò)點(diǎn)：只證明MN∥A1D，而忽視MN?平面A1BD. 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)． 求證：PB∥平面EFG. 證明　∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形， ∴AB、AP、AD兩兩垂直，以A為

9、坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、 E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)． ∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 設(shè)＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴　解得s＝t＝2. ∴＝2＋2， 又∵與不共線，∴、與共面． ∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG. 題型二　利用空間向量證明垂直問題 例2　如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1 的中點(diǎn)．求

10、證：AB1⊥平面A1BD. 證明　方法一　設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ. 令＝a，＝b，＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底， 則＝a＋c，＝a＋b，＝a－c， m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc， ·m＝(a－c)· ＝4－2μ－4λ＝0. 故⊥m，結(jié)論得證． 方法二　如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO. 因?yàn)椤鰽BC為正三角形， 所以AO⊥BC. 因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1

11、B1. 取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)， A(0,0，)，B1(1,2,0)． 設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因?yàn)閚⊥，n⊥， 故? 令x＝1，則y＝2，z＝－， 故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個(gè)法向量， 而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n， 故AB1⊥平面A1BD. 探究提高　證明線面平行和垂直問題，可以用幾何法，也可以用向量法．用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的

12、判定定理．若能建立空間直角坐標(biāo)系，其證法較為靈活方便． 如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)．求證： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 證明　(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz， 令A(yù)B＝AA1＝4， 則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)． 取AB中點(diǎn)為N，連接CN， 則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， ∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)， ∴＝，∴DE∥

13、NC， 又∵NC?平面ABC，DE?平面ABC. 故DE∥平面ABC. (2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)． ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF， 又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF. 題型三　利用空間向量解決探索性問題 例3　(xx·福建)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1， E為CD的中點(diǎn)． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長

14、；若不存在，說明理由． 思維啟迪：利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對于存在性問題可通過計(jì)算下結(jié)論． (1)證明　以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)． 設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)， E，B1(a,0,1)， 故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. ∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1. (2)解　假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)． 使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)． 又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． ∵n

15、⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得 取x＝1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0， 解得z0＝. 又DP?平面B1AE， ∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝. 探究提高　對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證．另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”. 如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)． (1)求證：AC⊥SD. (2)若SD⊥

16、平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由． (1)證明　連接BD，設(shè)AC交BD于O，則AC⊥BD. 由題意知SO⊥平面ABCD. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 設(shè)底面邊長為a，則高SO＝a， 于是S，D， B，C，＝， ＝，則·＝0. 故OC⊥SD.從而AC⊥SD. (2)解　棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC. 理由如下： 由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量， 且＝，＝， ＝. 設(shè)＝t，則＝＋＝＋t ＝， 而·＝0?t＝. 即當(dāng)SE∶EC

17、＝2∶1時(shí)，⊥. 而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC. 利用空間向量解決立體幾何問題 典例：(12分)(xx·大綱全國)如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD， BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成角的正弦值． 考點(diǎn)分析　本題以四棱錐為載體，考查多面體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定以及直線與平面所成角的計(jì)算． 解題策略　本題有兩種解題思路：①利用常規(guī)方法，從線線垂直證明線面垂直，作出所求線面角；②利用空間向量，將線面垂直轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的關(guān)系，利用平面的法向量求線面角．

18、 規(guī)范解答 (1)證明　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，射線CB為y軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz. 設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)，B(0,2,0)．[2分] 又設(shè)S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0. ＝(x－2，y－2，z)， ＝(x，y－2，z)， ＝(x－1，y，z)， 由||＝|| 得 ＝， 故x＝1. 由||＝1得y2＋z2＝1.① 又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4， 即y2＋z2－4y＋1＝0.② 聯(lián)立①②得[6分] 于是S(1，，)，＝(－1，－，)， ＝(1，－，)，＝(0，，)． 因?yàn)椤ぃ?/p>

19、0，·＝0， 故DS⊥AS，DS⊥BS. 又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.[8分] (2)解　設(shè)平面SBC的法向量a＝(m，n，p)， 則a⊥，a⊥，a·＝0，a·＝0. 又＝(1，－，)，＝(0,2,0)， 故 取p＝2得a＝(－，0,2)．[10分] 又＝(－2,0,0)， cos〈，a〉＝＝， 所以AB與平面SBC所成角的正弦值為.[12分] 解后反思　直線和平面的位置關(guān)系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來判斷．證明的主要思路：(1)證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線；(2)證明線面平行：①證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，②證明直線

20、的方向向量可用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示；(3)證明面面平行：可證兩個(gè)平面的法向量共線；(4)證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直；(5)證明線面垂直：①證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，②證明直線的方向向量與平面的法向量共線；(6)證明面面垂直：可證兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 方法與技巧 用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線

21、、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題． 失誤與防范 用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是

22、 (　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 答案　A 解析　逐一驗(yàn)證法，對于選項(xiàng)A，＝(1,4,1)， ∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)． 2． 已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a為 (　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－

23、1) 答案　C 解析　由條件知＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， 可觀察出a＝±(1,1,1)． 3． 若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個(gè)法向量為u＝(1,1，－1)，則(　　) A．l∥α或l?α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 答案　A 4. 如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2， P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．則AM與PM的位置關(guān)系為(　　) A．平行 B．異面 C．垂直 D．以上都不對 答案　C 解析　以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA，DC，

24、DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz， 依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)， M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，) ＝(，1，－)， ＝(，2,0)－(2，0,0) ＝(－，2,0)， ∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0， 即⊥，∴AM⊥PM. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，則m＝________. 答案　2 6． 設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A

25、(1，－3,2)、B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝________. 答案　16 解析　＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)． 根據(jù)共面向量定理，設(shè)＝x＋y (x、y∈R)， 則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4) ＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)， ∴　解得x＝－7，y＝4，a＝16. 7. 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B 和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系 是________． 答案　平行 解析　∵正方體棱長為a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝，

26、∴＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， ∴·＝·＝0， ∴⊥.又∵M(jìn)N?平面B1BCC1， ∴MN∥平面B1BCC1. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中 點(diǎn)，AC＝BC＝BB1.求證： (1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D. 證明　如圖，以C1點(diǎn)為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)

27、，C1(0,0,0)，D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)， ＝(－2,2，－2)， 所以·＝0－4＋4＝0， 因此⊥，故BC1⊥AB1. (2)連接A1C，取A1C的中點(diǎn)E，連接DE，由于E(1,0,1)， 所以＝(0,1,1)， 又＝(0，－2，－2)， 所以＝－，又ED和BC1不共線， 所以ED∥BC1，又DE?平面CA1D， BC1?平面CA1D，故BC1∥平面CA1D. 9． (12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD， E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.求證： (1)EF∥平面PAB； (2

28、)平面PAD⊥平面PDC. 證明　(1)以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， ∴E，F(xiàn)， ＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)， ＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)． ∵＝－，∴∥，即EF∥AB， 又AB?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB. (2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， ∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD

29、⊥DC. 又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為 (　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 答案　A 解析　由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0. 解得 2．

30、 已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴，∴. 3. 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD 的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的 位置關(guān)系是 (　　) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 答案　C 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2

31、，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________. 答案　－4 解析　∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4. 5． 已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________． 答案　 解析　|a|＝＝3， |b|＝＝3， a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4， ∴co

32、s〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝， S平行四邊形＝|a||b|·sin〈a，b〉＝. 6. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點(diǎn)， O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q 為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足＝λ 的實(shí)數(shù)λ的有________個(gè)． 答案　2 解析　建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x＋y＝1.

33、 ∴有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對應(yīng)有2個(gè)λ. 三、解答題 7． (13分)在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論． (1)證明　如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、 C(0，a,0)、E、 P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設(shè)G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則 由·＝·(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．