2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.6雙曲線教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.熟練掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線的基本量對圖形、性質(zhì)的影響；2.理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握解決直線與雙曲線問題的通法． 1． 雙曲線的概念 平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a (2a<2c)，則點P的軌跡叫雙曲線．這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F

2、1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0： (1)當(dāng)ac時，P點不存在． 2． 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸　對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實虛軸 線段A1A2叫

3、做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長 a、b、c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [難點正本　疑點清源] 1． 雙曲線的定義用代數(shù)式表示為||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|，這里要注意兩點： (1)距離之差的絕對值． (2)2a<|F1F2|. 這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同． 2． 漸近線與離心率 －＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為＝＝＝.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。?

4、 1． (xx·天津)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：－＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(，0)，則a＝________，b＝________. 答案　1　2 解析　與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ， 即－＝1. 由題意知c＝，則4λ＋16λ＝5?λ＝，則a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2. 2． (xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________． 答案　2 解析　∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5， ∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2. 3． (xx·遼寧)已知雙曲

5、線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 答案　2 解析　設(shè)P在雙曲線的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因為PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8， 所以x＝－1，x＋2＝＋1， 所以|PF2|＋|PF1|＝2. 4． 若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為 (　　) A. B．5 C. D．2 答案　A 解析　焦點(c,0)到漸近線y＝x的距

6、離為＝b，則由題意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2， ∴離心率e＝＝. 5． (xx·課標(biāo)全國)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|＝4，則C的實軸長為 (　　) A. B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　設(shè)C：－＝1. ∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)， ∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C的實軸長為4. 題型一　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　(1)(xx·山東)已知雙曲線－＝1 (a>0，

7、b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． (2)與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為__________． 思維啟迪：設(shè)雙曲線方程為－＝1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個方程；也可根據(jù)雙曲線的定義直接確定a、b、c. 答案　(1)－＝1　(2)－＝1 解析　(1)橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率為e＝.由于雙曲線－＝1與橢圓＋＝1有相同的焦點，因此a2＋b2＝7. 又雙曲線的離心率e＝＝，所以＝， 所以a＝

8、2，b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k，將點(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 探究提高　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為－＝λ (λ≠0)，再由條件求出λ的值即可． 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)虛軸長為12，離心率為； (2)焦距為26，且經(jīng)過點M(

9、0,12)． 解　(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1或－＝1 (a>0，b>0)． 由題意知，2b＝12，e＝＝. ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. (2)∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 題型二　雙曲線的幾何性質(zhì) 例2　中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸長與雙曲線半實軸長之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (

10、2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 思維啟迪：　(1)分別設(shè)出橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，雙曲線方程為－＝1 (m>0，n>0)． (2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值． (3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cos∠F1PF2. 解　(1)由已知：c＝，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線半實、虛軸長分別為m、n， 則， 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， 所以|

11、PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 探究提高　在研究雙曲線的性質(zhì)時，半實軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e>1. (1)(xx·大綱全國)已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝ (　　) A. B. C. D. (2)(xx·浙江)已知橢圓C1

12、：＋＝1 (a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則 (　　) A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)由x2－y2＝2知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4， ∴a＝，c＝2. 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2. 又∵|F1F2|＝2c＝4， ∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝ ＝. (2)由

13、題意知，a2＝b2＋5，因此橢圓方程為(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，聯(lián)立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直線截橢圓的弦長d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝. 題型三　直線與雙曲線的位置關(guān)系 例3　過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積． 思維啟迪：寫出直線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立組成方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求|AB|；求O到直線的距離，代入面積公式得△AOB的面積． (1)解　由雙曲

14、線的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得5x2＋6x－27＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝·＝. (2)解　直線AB的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點O到直線AB的距離為 d＝＝. ∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝. 探究提高　雙曲線的綜合問題主要是直線與雙曲線的位置關(guān)系問題．解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用

15、根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|＝|x1－x2|. 已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點． (1)求雙曲線C2的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·>2(其中O為原點)，求k的取值范圍． 解　(1)設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1 (a>0，b>0)， 則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 故C2的方程為－y2＝1. (2)將y＝kx＋代入－y2＝1

16、， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得 ， ∴k2≠且k2<1.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝. 又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴>2，即>0，解得

17、由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問題時，有時不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢的原因，任何情況下都沒有考慮判別式，導(dǎo)致解題錯誤． 規(guī)范解答 解　設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意．[2分] 設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋1－k.[3分] 由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　[6分] ∴x0＝＝. 由題意，得＝1，解得k＝2.[8分] 當(dāng)k＝2時，方程①成為

18、2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①沒有實數(shù)解．[11分] ∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點．[12分] 溫馨提醒　(1)本題是以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，思路也很清晰，但結(jié)論卻不一定正確．錯誤原因是忽視對直線與雙曲線是否相交的判斷，從而導(dǎo)致錯誤，因為所求的直線是基于假設(shè)存在的情況下所得的． (2)本題屬探索性問題．若存在，可用點差法求出AB的斜率，進(jìn)而求方程；也可以設(shè)斜率k，利用待定系數(shù)法求方程． (3)求得的方程是否符合要求，一定要注意檢驗. 方法與技巧 1． 與雙曲線－＝1 (a

19、>0，b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為－＝t (t≠0)． 2． 已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程－＝0就是雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的兩條漸近線方程． 失誤與防范 1． 區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2. 2． 雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)． 3． 雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x. 4． 若利用弦長公式計

20、算，在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況． 5． 直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·湖南)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案

21、　A 解析　∵－＝1的焦距為10，∴c＝5＝.① 又雙曲線漸近線方程為y＝±x，且P(2,1)在漸近線上， ∴＝1，即a＝2b.② 由①②解得a＝2，b＝，故應(yīng)選A. 2． (xx·福建)已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由雙曲線中a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2，得32＝a2＋5， ∴a2＝4.∴e＝＝. 3． 設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　　) A.－＝

22、1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由題意知橢圓C1的焦點坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 4． (xx·課標(biāo)全國)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 (　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點

23、且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，故|AB|＝，依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 已知中心在原點的雙曲線C，過點P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________． 答案　－＝1或－＝1 解析　∵雙曲線C的離心率為2，∴2＝，∴＝， ∴可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1，把P(2，)代入得，a2＝3或a2＝，∴所求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. 6． 雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝____

24、_______. 答案　－ 解析　由題意知a2＝1，b2＝－，則a＝1，b＝. ∴ ＝2，解得m＝－. 7． 已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________． 答案　 解析　如圖，∠B1F1B2＝60°， 則c＝b，即c2＝3b2， 由c2＝3(c2－a2)， 得＝，則e＝. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解　橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 因

25、而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1 (a>0，b>0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 9． (12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點P(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解　∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵過點P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2

26、＝6. (2)證明　方法一　由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－. ∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0. 方法二　∵＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M(jìn)點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)解　△F1MF2的底|F1F2|＝4， 由(2)知m＝±. ∴△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝， ∴S△F1MF2＝×4

27、×＝6. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－， ∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac. ∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)，故選D. 2． 已知點F是雙曲線－＝1

28、(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2，＋∞) 答案　D 解析　根據(jù)雙曲線的對稱性，若△ABE是鈍角三角形，則只要0<∠BAE<即可．直線AB：x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝，取點A，則|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<，故>a＋c，即b2>a2＋ac，即c2－ac－2a2>0，即e2－e－2>0，得e>2或e<－

29、1，又e>1，故e>2.故選D. 3． 若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1 (a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為 (　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D. 答案　B 解析　由a2＋1＝4，得a＝，則雙曲線方程為－y2＝1. 設(shè)點P(x0，y0)，則－y＝1，即y＝－1. ·＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1 ＝2－，∵x0≥， 故·的取值范圍是[3＋2，＋∞)，故選B. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． (xx·重慶)設(shè)P為直線y＝x與雙曲線－＝1

30、 (a>0，b>0)左支的交點，F(xiàn)1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e＝________. 答案　 解析　∵直線y＝x與雙曲線－＝1相交， 由消去y得x＝， 又PF1垂直于x軸，∴＝c，即e＝＝. 5． 設(shè)點F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，點P是雙曲線上一點，若3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積為________． 答案　3 解析　據(jù)題意，|PF1|＝|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2， 解得|PF1|＝8，|PF2|＝6. 又|F1F2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得， cos∠F1PF2＝＝. 所以sin∠F1PF2＝＝，

31、 所以S△PF1F2＝×6×8×＝3. 6． 已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________． 答案　 解析　由定義，知|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝－e2. 要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值， ∴當(dāng)cos∠F1PF2＝－1時，得e＝， 即e的最大值為. 三、解答題 7． (13分)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－

32、y2＝1的右支交于不同的兩點A、B. (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由． 解　(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線C的方程 2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.① 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點， 故 解得k的取值范圍是－2