2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；2.討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.從導(dǎo)數(shù)的定義和“以直代曲”的思想理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具作用；2.理解導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，掌握利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值、最值的方法步驟． 1． 函數(shù)的單調(diào)性 在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 2． 函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一

2、般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)， ①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值． (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值． 3． 函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值． (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)

3、遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． (3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： ①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較． 2． f′(x)>0在(

4、a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分條件． 3． 對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件． 1． 若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________. 答案　3 解析　f′(x)＝＝.因?yàn)閒(x)在x＝1處取極值，所以1是f′(x)＝0的根，將x＝1代入得a＝3. 2． 函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－3，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)， 則f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立

5、，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3. 3. 如圖是y＝f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對于下列四個(gè)判斷： ①f(x)在[－2，－1]上是增函數(shù)； ②x＝－1是f(x)的極小值點(diǎn)； ③f(x)在[－1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)； ④x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)． 其中正確的判斷是________．(填序號) 答案?、冖? 解析　①∵f′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f(x)在[－2，－1]上是減函數(shù)； ②∵f′(－1)＝0且在x＝0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值為左負(fù)右正， ∴x＝－1是f(x)的極小值點(diǎn)； ③對， ④不對，由于f′(3)≠0. 4． 設(shè)函數(shù)

6、g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為 (　　) A．－1 B．0 C．－ D. 答案　C 解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 0  極小值  0 所以當(dāng)x＝時(shí)，g(x)有最小值g＝－. 5． (xx·遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為

7、 (　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　設(shè)m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函數(shù)．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集為{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞). 題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 例1　已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由． 思維啟

8、迪：函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對參數(shù)的討論． 解　f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0， 即f(x)在R上遞增， 若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a. 因此當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[ln a，＋∞)． (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2

9、3. 故存在實(shí)數(shù)a≥e3，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)． 探究提高　(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟： ①確定函數(shù)f(x)的定義域； ②求導(dǎo)數(shù)f′(x)； ③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． (2)要注意對含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論； (3)對已知函數(shù)的單調(diào)性的問題一定要掌握導(dǎo)數(shù)的條件． 已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)對f(x)求

10、導(dǎo)，得f′(x)＝3x2－2ax－3. 由f′(x)≥0，得a≤. 記t(x)＝，當(dāng)x≥1時(shí)，t(x)是增函數(shù)， ∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0. (2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0， ∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3. 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－) － (－，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，

11、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 題型二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 例2　已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)設(shè)a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍． 思維啟迪：(1)單調(diào)區(qū)間即為f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間． (2)f′(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋)(x－2－)． 當(dāng)x∈(－∞，2－)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(2－，2＋)時(shí)，f′(x)<0，

12、f(x)在(2－，2＋)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(2＋，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)上單調(diào)遞增． 綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)， f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2－，2＋)． (2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]． 當(dāng)1－a2≥0時(shí)，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點(diǎn)； 當(dāng)1－a2<0時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)根x1＝a－， x2＝a＋. 由題意，知2

13、值點(diǎn)．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)． (2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)為不對1－a2進(jìn)行討論，致使解答不全面． (xx·安徽)設(shè)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)； (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 解　對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex·.① (1)當(dāng)a＝時(shí)，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝.結(jié)合①，可知 x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以x1＝是極小值點(diǎn)，x2＝是極大值點(diǎn)． (2)若f

14、(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a>0，知0

15、函數(shù)f(x)的解析式． (2)列出f′(x)與f(x)的變化表，比較端點(diǎn)值和極值的大小． 解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 依題意f′(1)＝3，f′＝0， 得解之得 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f′(x)的變化情況如下表： x －4 (－4，－2) －2 (－2，) (，1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －11  極大值13 極小值 4 ∴

16、f(x)在[－4,1]上的最大值為13，最小值為－11. 探究提高　在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得． (xx·重慶)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c在點(diǎn)x＝2處取得極值c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b. 由于f(x)在點(diǎn)x＝2處取得極值c－16， 故

17、有即 化簡得解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c， f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. 當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)<0， 故f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)． 由此可知f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c， f(x)在x＝2處取得極小值f(2)＝c－16. 由題設(shè)條件知16＋c＝28，解得c＝12. 此時(shí)f(－3)＝9

18、＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝－16＋c＝－4， 因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題 典例：(14分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax (a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值． 審題視角　(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值．(3)由于解析式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論． 規(guī)范解答　 解　(1)f′(x)

19、＝－a (x>0)，[1分] ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝－a>0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．[3分] ②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝， 當(dāng)00； 當(dāng)x>時(shí)，f′(x)＝<0， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為. [5分] (2)①當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. [9分] ②當(dāng)≥2，即0

20、 .[10分] ③當(dāng)1<<2，即

21、在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值； 第四步：將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較， 確定f(x)的最大值與最小值； 第五步：反思回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)在給定區(qū)間[1,2]上的最值，屬常規(guī)題型． (2)本題的難點(diǎn)是分類討論．考生在分類時(shí)易出現(xiàn)不全面，不準(zhǔn)確的情況． (3)思維不流暢，答題不規(guī)范，是解答中的突出問題. 方法與技巧 1． 注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí)，隱含恒成立思想． 2． 求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小． 3． 在實(shí)

22、際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較． 失誤與防范 1． 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能． 2． 函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論． 3． 題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好f′(x)＝0時(shí)的情況；區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1. 若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象

23、可能為 (　　) 答案　C 解析　根據(jù)f′(x)的符號，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f′(x)＝0的點(diǎn)可以排除B. 2． 設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則 (　　) A．a(chǎn)<－1 B．a(chǎn)>－1 C．a(chǎn)>－ D．a(chǎn)<－ 答案　A 解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)， 則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x>0時(shí)，－ex<－1，∴a＝－ex<－1. 3． 函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是 (

24、　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案　C 解析　∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ∴f(x)在[－1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1]上是減函數(shù)． ∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(0)＝2. 4． 若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)≤2 B．5≤a≤7 C．4≤a≤6 D．a(chǎn)≤5或a≥7 答案　B 解析　因?yàn)閒(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋

25、1， 所以f′(x)＝x2－ax＋a－1， 由題意知當(dāng)1

26、＝－37，f(2)＝－5.∴最小值為－37. 6． 已知函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m＝________. 答案?。? 解析　若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函數(shù)， 則m2－4＝0，m＝±2. 若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立， 則Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2. 7． 函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________． 答案　a>2或a<－1 解析　∵f(x)＝x3＋3ax2

27、＋3[(a＋2)x＋1]， ∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)． 令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. ∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值， ∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根． 即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1處有極值. 得　即解之得a＝，b＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定義域

28、是(0，＋∞)， 且f′(x)＝x－＝. 由f′(x)<0，得00，得x>1. 所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)， 單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)． 9． (12分)已知函數(shù)f(x)＝ln|x| (x≠0)，函數(shù)g(x)＝＋af′(x) (x≠0)． (1)求函數(shù)y＝g(x)的表達(dá)式； (2)若a>0，函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝ln|x|， 所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ln x，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)． 所以當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝， 當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＝·(－1)＝.

29、所以當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)y＝g(x)＝x＋. (2)由(1)，知當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝x＋. 所以當(dāng)a>0，x>0時(shí)，g(x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號． 所以函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2. 所以2＝2.解得a＝1. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是 (　　) 答案　C 解析　∵f(x)在x＝－2處取得極小值， ∴當(dāng)x<－2時(shí)，f(x)單

30、調(diào)遞減，即f′(x)<0； 當(dāng)x>－2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f′(x)>0. ∴當(dāng)x<－2時(shí)，y＝xf′(x)>0； 當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝xf′(x)＝0； 當(dāng)－20時(shí)，y＝xf′(x)>0. 結(jié)合選項(xiàng)中圖象知選C. 2． 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為 (　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　y′＝－e－x(x－1)， y′與y隨x變化情況如下表： x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 y′ ＋ 0 － y

31、 0  取極大值 當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y＝xe－x取到最小值0. 3． f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為 (　　) A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4) 答案　D 解析　令g(x)＝x·f(x)，則g(x)為奇函數(shù)且當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)＝f(x)＋ x·f′(x)<0， ∴g(x)的圖象的變化趨勢如圖所示： 所以xf(x)>0的解集為(

32、－∞，－4)∪(0,4)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])對應(yīng)的曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x＝±1處切線的斜率均為－1，則f(x)的最大值和最小值之和等于________． 答案　0 解析　由曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c (x∈[－2,2])過坐標(biāo)原點(diǎn)可知c＝0. ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得 解得a＝0，b＝－4， ∴f(x)＝x3－4x，f(x)在x∈[－2,2]上有最大值，最小值，且函數(shù)f(x)＝x3－4x為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝x3－4x的最大值和最小值之和為0. 5． 設(shè)

33、函數(shù)f(x)＝p－2ln x(p是實(shí)數(shù))，若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為______． 答案　[1，＋∞) 解析　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閒′(x)＝，要使f(x)為單調(diào)增函數(shù)，須f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥＝在(0，＋∞)上恒成立，又≤1， 所以當(dāng)p≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)． 6． 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 顯然a>0

34、，f′(x)＝3(x＋)(x－)， 由已知條件0<<1，解得00時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝ax2＋(a－1)x

35、－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0， 所以需f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合條件． 故a的取值范圍為0≤a≤1. (2)因?yàn)間(x)＝(－2ax＋1＋a)ex， 所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex. (i)當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e. (ii)當(dāng)a＝1

36、時(shí)，對于任意x∈(0,1)有g(shù)′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0. (iii)當(dāng)00. ①若≥1，即0