《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法(Ⅱ)試題 理 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法(Ⅱ)試題 理 蘇教版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法(Ⅱ)試題 理 蘇教版
一、填空題
1. 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn),則直線NO、AM的位置關(guān)系是________.
解析 建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),=(-1,1-t,-2),=(-2,0,1),·=0,則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直.
答案 異面垂直
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin〈,〉的值為
2、________.
解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),
cos〈,〉=-,
所以sin〈,〉=.
答案
3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________.
解析 建立坐標(biāo)系如圖,
則A(1,0,0),E(0,2,1),
B(1,2,0),C1(0,2,2).
=(-1,0,2),=(-1,2,1),
cos〈,〉==.
所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.
3、
答案
4.已知直二面角α-l-β,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足,若AB=2,AC=BD=1,則CD=________.
解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,由已知條件B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),由AB=2解得t=.
答案
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中點(diǎn),G是DD1中點(diǎn),F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB=BC,則GB與EF所成的角為________.
解析 如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz,
設(shè)DA=1,由已知條件
G,B,E,F(xiàn),=,
=,
cos〈,〉==0,
則⊥.
答案 90°
6.正四棱錐S -
4、ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為________.
解析 如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,
則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.
則=(2a,0,0),=,=(a,a,0).
設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),
則cos〈,n〉===.
∴〈,n〉=60°,
∴直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°.
答案 30°
7. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正
5、方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為________.
解析 以D為原點(diǎn),DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖:
設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,則P,C(0,a,0),
則MC=,
MP= .
由MP=MC得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y=x的一部分.
答案?、?
8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在線段BD1上,當(dāng)∠APC最大時(shí),三棱錐P-ABC的體積為________.
解析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA為x軸,BC為y軸,BB1為z軸建立空間直角坐
6、標(biāo)系(如圖所示).
設(shè)=λ,可得:P(λ,λ,λ).
再由cos ∠APC=可求得
當(dāng)λ=時(shí),∠APC最大.
故VP-ABC=××1×1×=.
答案
9.已知P是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn),分別在α、β平面上引射線PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小為________.
解析 不妨設(shè)PM=a,PN=b,如圖,
作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,
∵∠EPM=∠FPN=45°,
∴PE=a,PF=b,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=abcos 60°-a×bcos 45°-abcos 45°+a×b
7、
=--+=0,
∴⊥,∴二面角α-AB-β的大小為90°.
答案 90°
10.已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________.
解析 如圖,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)DA=1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn)
=,=
設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),
面AEF與面ABC所成的二面角為θ
由
令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3)
平面ABC的法向量為m=(0,0,-1)
cos θ=cos〈n,m〉=,tan θ=.
答案
8、
二、解答題
11. 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:A1B⊥AM;
(2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值.
解 (1)∵C1C⊥平面ABC,BC⊥AC,∴分別以CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則B(0,1,0),A1(,0,),A(,0,0),M.
∴=(-,1,-),=,
∴·=3+0-3=0,∴⊥.
即A1B⊥AM.
(2)由(1),知=(-,1,0),=(0,0,),
設(shè)平面AA1B1B的法向量為n=(x,y,z),
9、則不妨取n=(,3,0).
設(shè)直線AM與平面AA1B1B所成角為θ.
∴sin θ=|cos〈,n〉|==.
12. 如圖,已知正三棱柱ABC vA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上,點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上,且AE=2,BF=.
(1)求證:CF⊥C1E;
(2)求二面角E-CF-C1的大?。?
解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則由已知可得A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,3),E(0,0,2),F(xiàn)(,1,).
(1)證明?。?0,-2,-),=(,-1,).
·=0+2-2=0,
所以CF⊥C1E.
(2)解
10、=(0,-2,2),設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
由m⊥,m⊥,得
即解得
可取m=(0,,1),
設(shè)側(cè)面BC1的一個(gè)法向量為n,由n⊥,n⊥,及=(,-1,0),=(0,0,3),可取n=(1,,0).
設(shè)二面角E-CF-C1的大小為θ,于是由θ為銳角可得
cos θ===,所以θ=45°.
即所求二面角E-CF-C1的大小為45°.
13. 如圖所示,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大??;
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.
解 如圖所示,以D為原點(diǎn),DA為單位長(zhǎng)
11、度建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
則=(1,0,0),=(0,0,1).
連接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,延長(zhǎng)DP交B′D′于H.
設(shè)=(m,m,1)(m>0),由已知〈,〉=60°,即·=||||cos〈,〉,
可得2m=.解得m=,所以=.
(1)因?yàn)閏os〈,〉==,
所以〈,〉=45°,即DP與CC′所成的角為45°.
(2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是=(0,1,0).
因?yàn)閏os〈,〉==,
所以〈,〉=60°,
可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.
14.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA
12、⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-BD-A的大?。?
(1)證明 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),
∴=(0,0,3),=(2,6,0),=(-2,2,0).∴·=0,·=0.∴BD⊥AP,BD⊥AC.
又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.
(2)解 設(shè)平面ABD的法向量為m=(0,0,1),
設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),
則n·=0,n·=0.∵=(-2,0,3),
∴解得
令x=,則n=(,3,2),
∴cos〈m,n〉==.
∴二面角P-BD-A的大小為60°.